KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF

Presentasi berjudul: "KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF"— Transcript presentasi:

1 KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF
Oleh Isty Yulianti JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010

2 LATAR BELAKANG TEORI BILANGAN TEOREMA EULER ORDER BILANGAN BULAT
AKAR PRIMITIF

3 Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif?
RUMUSAN MASALAH Bilangan bulat modulo m yang bagaimanakah yang memiliki akar primitif? 1 Berapa banyak akar primitif yang ada pada suatu bilangan bulat modulo m? 2

4 ORDER BILANGAN BULAT MODULO m
Misalkan a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an ≡1 mod m.

5 Contoh Order dari 2 modulo 7 dapat diperoleh dengan mencari pangkat positif dari 2 yang menghasilkan residu 1 (modulo 7). Maka, 21 ≡ 2 mod 7, 22 ≡ 4 mod 7, dan 23 ≡ 1 mod 7. Jadi order dari 2 modulo 7 adalah 3, yang dinotasikan dengan ord72 = 3.

6 Bagaimanakah hubungan dari n dan 𝜱(m)?
TEOREMA EULER Jika ppb(a, m) = 1, maka a(m) mod m = 1 atau a(m)  1 (mod m). DEFINISI ORDER Jika a, m dengan m > 0 dan ppb(a,m) = 1. Order dari a modulo m, dinotasikan dengan ordma adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga an  1 (mod m). Bagaimanakah hubungan dari n dan 𝜱(m)?

7 AKAR PRIMITIF Jika ada suatu bilangan bulat r dan order dari r modulo m adalah 𝜱(m), maka r disebut akar primitif modulo m Ordmr = 𝜱(m)

8 Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?
Apakah akar primitif modulo 7? Perhatikan Bilangan Bulat Modulo 7! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 7 adalah 6 1 bukan akar primitif modulo 7 karena ord71 = 1 ≠ 𝜙(7). 2 bukan akar primitif modulo 7 karena ord72 = 3 ≠ 𝜙(7). 3 adalah akar primitif modulo 7 karena ord73 = 6 = 𝜙 (7). Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?

9 Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif
Perhatikan Modulo 8! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 adalah 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga 𝜙 (8) = 4. Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8. ord81 = 1 ord83 = 2 ord85 = 2 dan ord87 = 2 Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif. Tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif

10 Apakah akar primitif modulo m itu unik?
Perhatikan Modulo 14! Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 adalah 6 yaitu 1, 3, 5, 9, 11, dan 13. Berdasarkan definisi, uji bilangan bulat yang relatif prim dengan 14 tersebut! ord141 = 1 karena 11  1 (mod 14) ord143 = 6 karena 36  1 (mod 14) ord145 = 6 karena 56  1 (mod 14) ord149 = 3 karena 93  1 (mod 14) ord1411 = 3 karena 113  1 (mod 14) ord1413 = 2 karena 132  1 (mod 14) Jadi, 3 dan 5 adalah akar primitif modulo 14.

11 Bagaimana cara mengatahui berapa banyak akar primitif pada bilangan bulat modulo m?
TEOREMA Jika akar primitif modulo m ada, maka terdapat tepat sebanyak 𝜙 (𝜙(m)) akar primitif yang tidak saling kongruen _______

12 Bagaimanakah akar primitif pada bilangan prima?
Misal p sebuah bilangan prima dan d∊ 𝜡 dengan d > 0 dan d‌‌∣ p -1. Maka terdapat tepat sebanyak 𝜙(d) bilangan bulat yang tidak saling kongruen yang mempunyai order d modulo p.

13 akar primitif dari suatu bilangan prima selalu ada
Misal p bilangan prima, maka terdapat tepat sebanyak 𝜙(p – 1) akar primitif yang tidak saling kongruen modulo p.

14 Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif?
Dari contoh sebelumnya, Modulo 7 memiliki akar primitif Modulo 8 tidak memiliki akar primitif Semua bilangan prima memiliki akar primitif Adakah bilangan lain yang memiliki akar primitif?

15 Modulo 2 Modulo 4 Modulo 2n Modulo 8 Modulo 16

16 Tidak ada akar primitif modulo 2n dimana n ∊ 𝜡 dan n ≥ 3.
_________

17 Bagaimana akar primitif pada bilangan yang berbentuk mn
dengan m dan n yang relatif prim? Contoh 1. Diketahui 1 dan 2 saling relatif prim. Maka akar primitif modulo (1.2) atau modulo 2 adalah 1. 11  1 (mod 2) ⇒ ord21 = 1 = 𝜙(2) Contoh 2. Diketahui 3 dan 4 saling relatif prim. Maka akan dicari akar primitif modulo (3.4) atau modulo 12. 𝜙(12)= 4 yaitu 1, 5, 7 dan 11. 11  1 (mod 12) ⇒ ord121 = 1 ≠ 𝜙(12) 52  1 (mod 12) ⇒ ord125 = 2 ≠ 𝜙(12) 72  1 (mod 12) ⇒ ord127 = 2 ≠ 𝜙(12) 112  1 (mod 12) ⇒ ord1211 = 2 ≠ 𝜙(12) Jadi, modulo 12 tidak memiliki akar primitif

18 Tidak ada akar primitif modulo mn
dimana m, n ∊ 𝜡 , m, n > 2 dan ppb(m, n)=1. _______

19 TEOREMA AKIBAT Misalkan m dengan m > 0. Jika m dapat dibagi oleh dua bilangan prima ganjil yang berbeda atau m dapat dibagi oleh bilangan prima ganjil dan 4, maka tidak akan ada akar primitif modulo m.

20 KARAKTERISTIK BILANGAN BULAT MODULO m YANG MEMILIKI AKAR PRIMITIF
Jika akar primitif modulo m ada, maka m harus sama dengan 1, 2, 4, pn, atau 2pn dimana p adalah bilangan prima ganjil dan n adalah bilangan bulat positif.