PROBABILITAS & STATISTIK MUG2D3

Presentasi berjudul: "PROBABILITAS & STATISTIK MUG2D3"— Transcript presentasi:

1 PROBABILITAS & STATISTIK MUG2D3
Tim Dosen (PPDU) : 1. Judi Alhilman, Drs., MSIE. 2. Agus Alex Yanuar, ST., MT. 3. ... Program Studi S1 – Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom University

2 DISTRIBUSI PELUANG BIVARIAT DAN DAN MARGINAL
DISTRIBUSI GABUNGAN DISTRIBUSI MARGINAL EKSPEKTASI KOVARIANSI BEBAS STATISTIK

3 Joint Distribution Function
DISTRIBUSI PELUANG BIVARIAT DAN MARGINAL Joint Distribution Function

4 Joint Distribution Function : PMF
Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint probability distribution dari variabel random diskrit X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) 2. 3. P(X=x, Y=y) = f(x, y) untuk setiap daerah pada bidang xy, P [(X,Y)  A] =

5

6 f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28

7 Joint Distribution Function : PDF
Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint density function dari variabel random kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) P[(X,Y)A] = untuk setiap daerah A yang diberikan pada bidang xy

8 Contoh 2 : Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in
Contoh 2 : Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in. Pada suatu hari pengamatan yang dipilih secara random, tetapkan X dan Y masing-masing sebagai proporsi waktu penggunaan dari fasilitas walk-in dan drive-in. Diperkirakan joint density function dari kedua variabel random ini adalah: Pertanyaan: Periksalah apakah f(x,y) merupakan sebuah joint density function ? Berapa probabilitas walk-in sibuk kurang dari setengah hari sedangkan drive in sibuk lebih dari seperempat dan kurang dari kurang dari setengah hari? Jawab: a.

9 Berapa probabilitas walk-in sibuk kurang dari setengah hari sedangkan drive in sibuk lebih dari seperempat dan kurang dari kurang dari setengah hari? Jawab: b.

10 Distribusi Marginal : PDF & PMF
Distribusi marjinal dari X saja dan dari Y saja adalah: g(x) = dan h(y) = untuk kasus diskrit, dan g(x) = dan h(y) = untuk kasus kontinu.

11 Dalam bentuk Tabel Distribusi Marginal:
Contoh 3 : Memperhatikan soal contoh 1, fungsi distribusi peluang gabungan dinyatakan dalam tabel di samping, tunjukkan peluang distribusi marginal dari X (baris) saja dan Y (lajur) saja untuk pmf dan pdf? Jawab: a. pmf f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 Dalam bentuk Tabel Distribusi Marginal:

12 Jawab: b. Pdf Menurut definisi, maka g(x) = Untuk 0  x  1 dan g(x) = 0, untuk x lainnya. Dan h(y) = Untuk 0  y  1 dan h(y) = 0, untuk y lainnya.

13 Ekspektasi Joint Distribution Function : PMF & PDF
Jika X dan Y variabel random dengan peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan g(X,Y) adalah: untuk kasus diskrit, dan untuk kasus kontinu.

14 Contoh 4 : Misal X dan Y variabel dengan distribusi peluang gabungan pada contoh 1. Hitunglah nilai harapan g(X,Y) = XY? Jawab: Pandanglah distribusi peluang gabungan pada tabel di samping. f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 Memperhatikan definisi Ekspektasi peluang gabungan pmf, maka dapat dituliskan:

15 Contoh 5 : Hitunglah: Jawab:

16 Kovariansi Joint Distribution Function : PDF & PMF

17 Contoh 6 : Misal X dan Y variabel dengan distribusi peluang gabungan pada contoh 1. Hitunglah kovariansi X dan Y? Jawab: Diperoleh E(XY) = 3/14 f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 dan jadi

18 Contoh 7 : Bagian pelari pria X dan wanita Y yang menempuh lomba maraton telah dengan pdf: Carilah kovariansi X dan Y Jawab: Distribusi marginal untuk pdf: Dengan: Diperoleh Ekspektasi distribusi gabungan untuk pdf: Jadi Kovariansi :

19 Statistical Independence : PMF/PDF
Diberikan dua variabel random X dan Y, diskrit ataupun kontinu (pmf/pdf), dengan joint distribution function, f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y), berturut-turut. Variabel random X dan Y dikatakan independen secara statistika, jika dan hanya jika: f (x,y) = g(x)h(y) untuk semua (x,y) dalam rentang yang ada. Dengan nilah harapan: E(XY) = E(X).E(Y)

20 peluang f(0,1), g(0) dan h(1), yaitu:
Contoh 8 : Tunjukkan bahwa variabel random pada contoh 1 tidak bebas statistik? Jawab: Pandanglah titik (0,1) dari tabel di di samping, diperoleh ketiga f(x,y) y g(x) 1 2 x 3/28 6/28 1/28 10/28 9/28 6/24 15/28 h(y) 12/28 peluang f(0,1), g(0) dan h(1), yaitu: Jelas bahwa: f(0,1)  g(0)h(1), jadi X dan Y tidak bebas statistik.