MATRIKS Konsep Matriks Matrik.

Presentasi berjudul: "MATRIKS Konsep Matriks Matrik."— Transcript presentasi:

1 MATRIKS Konsep Matriks Matrik

2 MATRIX Concept of Matrix Matrik

3 Macam-macam Matriks Kompetensi Dasar : Indikator :
Mendeskripsikan macam-macam matriks Indikator : Matriks ditentukan unsur dan notasinya Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya Hal.: 3 Matriks Matrik

4 Kinds of Matrix Basic Competences : Indicators :
Describing the kinds of matrix Indicators : Matrix is determined by its elements and notations Matriks matrix is distinguished by its kinds and relations Hal.: 4 Matriks Matrik

5 Pengertian Matriks A = Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij
Macam – macam Matriks Pengertian Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a a12…….a1j ……a1n a a22 ……a2j…….a2n : : : : ai ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn A = baris Notasi: Matriks: A = [aij] Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n kolom Hal.: 5 Matriks Matrik

6 Kinds of Matrix Definition of Matrix
Matrix is the arrangement of numbers which consists of rows and columns. Each of the numbers in matrix is called as entry or element. Order (size) of matrix is the value of the row number multiplied by the number of column. a a12…….a1j ……a1n a a22 ……a2j…….a2n : : : : ai ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn A = rows Notation: Matrix: A = [aij] Element: (A)ij = aij Order A: m x n column Hal.: 6 Matriks Matrik

7 Macam-macam Matriks 1. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Hal.: 7 Matriks Matrik

8 Kinds of Matrix 1. Row matrix
Row matrix is a matrix which consists of one row. Hal.: 8 Matriks Matrik

9 Macam-macam Matriks 2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom 2 -7 9 2 1 Hal.: 9 Matriks Matrik

10 Kinds of Matrix 2. Column matrix
Column matrix is a matrix which consists of one column. 2 -7 9 2 1 Hal.: 10 Matriks Matrik

11 Macam – macam Matriks 3. Matriks Persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. Trace(A) = diagonal utama Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama Hal.: 11 Matriks Matrik

12 Kinds of Matrix 3. Square matrix
Square matrix is a matrix which has the same numbers of rows and columns. Trace(A) = Main diagonal Trace from matrix is the total numbers from the main diagonal elements. Hal.: 12 Matriks Matrik

13 Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol
Macam- macam Matriks 4. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol 0 0 0 0 Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0 I3 I4 I2 Hal.: 13 Matriks Matrik

14 4. Zero matrix Kinds of Matrix
zero matrix is a matrix which all of its elements are zero. 0 0 0 0 Matrix identity is a square matrix which its main diagonal element is 1 and the other element is 0. I3 I4 I2 Hal.: 14 Matriks Matrik

15 5. Matriks ortogonal (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT
Macam-macam Matriks 5. Matriks ortogonal Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1 A = 0 1 AT= = A-1 B = ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 = B-1 Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A AT (A-1)T = (AT)-1 Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1 Hal.: 15 Matriks Matrik

16 5. Orthogonal Matrix (A-1)T = (AT)-1 A-1 AT
Kinds of Matrix 5. Orthogonal Matrix Matrix A is orthogonal if and only if AT = A –1 A = 0 1 AT= = A-1 B = ½√2 -½√2 ½√2 ½√2 BT= ½√2 ½√2 -½√2 ½√2 = B-1 Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A AT (A-1)T = (AT)-1 If A is orthogonal matrix, so (A-1)T = (AT)-1 Hal.: 16 Matriks Matrik

17 Macam – macam Matriks [AT]ij = [A]ji Definisi:
A = AT = A’ = Definisi: Transpose matriks A adalah matriks AT, kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. Transpose matriks Transpose dari matriks adalah matriks baru yang kolom –kolom menjadi baris-baris.  Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik. Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekan  Berikan definisi umum dari transpose.  Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contoh  Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1, berikan contoh: matriks rotasi.  Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1 [AT]ij = [A]ji n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……….. Hal.: 17 Matriks Matrik

18 Kinds of Matrix [AT]ij = [A]ji Definisi:
A = AT = A’ = Definisi: Transpose matrix A is matrix AT, its columns are rows of A, its rows is columns of A. Transpose matriks Transpose dari matriks adalah matriks baru yang kolom –kolom menjadi baris-baris.  Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik. Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekan  Berikan definisi umum dari transpose.  Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contoh  Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1, berikan contoh: matriks rotasi.  Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1 [AT]ij = [A]ji n x m if A is matrix m x n, so matrix transpose AT should be ……….. Hal.: 18 Matriks Matrik

19 A = B C ≠ D E = F jika x = 1 G = H Kesamaan dua matriks
Macam – macam Matriks Kesamaan dua matriks Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama. A = B = A = B C = D = C ≠ D E = x F = E = F jika x = 1 2 2 2 H = ? ? ? 2 2 5 6 9 0 7 G = 4 5 6 G = H 9 7 Hal.: 19 Matriks Matrik

20 Similarity of two matrixes
Kind of Matrix Similarity of two matrixes Two matrix are similar if its size is similar and each symmetrical entry is similar A = B = A = B C = D = C ≠ D E = x F = E = F if x = 1 2 2 2 H = ? ? ? 2 2 5 6 9 0 7 G = 4 5 6 G = H 9 7 Hal.: 20 Matriks Matrik

21 Macam-macam Matriks Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT A = A’ = A simetri Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A = = AT Hal.: 21 Matriks Matrik

22 Symmetrical matrix Matrix A is called symmetric if and only if A = AT
Kinds of Matrix Symmetrical matrix Matrix A is called symmetric if and only if A = AT A = A’ = A symmetric Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya. A = = AT Hal.: 22 Matriks Matrik

23 Sifat-sifat transpose matriks
Macam-macam Matriks Sifat-sifat transpose matriks Transpose dari A transpose adalah A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Contoh: Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri Hal.: 23 Matriks Matrik

24 properties of transpose matrix
Kinds of Matrix properties of transpose matrix Transpose of A transpose is A: (AT )T = A A (AT)T = A AT Example: Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri Hal.: 24 Matriks Matrik

25 = (A+B)T AT BT Macam-macam Matriks 2. (A+B)T = AT + BT A B A+B T T T +
2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya Hal.: 25 Matriks Matrik

26 = (A+B)T AT BT Kinds of Matrix 2. (A+B)T = AT + BT A B A+B T T T +
2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya Hal.: 26 Matriks Matrik

27 (kA)T = k(A)T Macam-macam Matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k k T
3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya (kA)T = k(A)T Hal.: 27 Matriks Matrik

28 (kA)T = k(A)T Kinds of Matrix 3. (kA)T = k(A) T for scalar k k T T kA
3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya (kA)T = k(A)T Hal.: 28 Matriks Matrik

29 = (AB)T AB = BTAT Macam-macam Matriks 4. (AB)T = BT AT B T T A AB T
4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B. (AB)T AB = BTAT Hal.: 29 Matriks Matrik

30 = (AB)T AB = BTAT Kinds of Matrix 4. (AB)T = BT AT B T T A AB T
4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B. (AB)T AB = BTAT Hal.: 30 Matriks Matrik

31 Macam-macam Matriks Soal : Isilah titik-titik di bawah ini
A simetri maka A + AT= …….. ((AT)T)T = ……. (ABC)T = ……. ((k+a)A)T = …..... (A + B + C)T = ………. Kunci: 2A AT CTBTAT (k+a)AT AT + BT + CT QUIZMAKER Hal.: 31 Matriks Matrik

32 Kind of Matrix Quiz : Fill in the blanks bellow
A symmetric then A + AT= …….. ((AT)T)T = ……. (ABC)T = ……. ((k+a)A)T = …..... (A + B + C)T = ………. Answer keys: 2A AT CTBTAT (k+a)AT AT + BT + CT QUIZMAKER Hal.: 32 Matriks Matrik

33 OPERASI MATRIKS Kompetesi Dasar Indikator
Menyelesaikan Operasi Matriks Indikator Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau pengurangannya Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya Hal.: 33 Matriks Matrik

34 OPERATION OF MATRIX Basic competence Finishing operation matrix
Indicators Two or more matrixes is defined by the result of their addition or subtraction Two or more matrixes is defined by the result of their multiplication Hal.: 34 Matriks Matrik

35 Penjumlahan dan pengurangan dua matriks
OPERASI MATRIKS Penjumlahan dan pengurangan dua matriks Contoh : A = B = A + B = = A - B = = Hal.: 35 Matriks Matrik

36 Addition and subtraction of two matrixes
OPERATION OF MATRIX Addition and subtraction of two matrixes Example: A = B = A + B = = A - B = = Hal.: 36 Matriks Matrik

37 OPERASI MATRIKS Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? Jawab:
Ordo dua matriks tersebut sama A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij Hal.: 37 Matriks Matrik

38 OPERATION OF MATRIX What is the condition so that two matrixes can be added? Answer: The ordo of the two matrixes are the same A = [aij] dan B = [bij] have the same size, A + B is defined: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij Hal.: 38 Matriks Matrik

39 OPERASI MATRIKS Jumlah dua matriks K = L = D = C = C + D = ? ? ? D + C = K + L = ? ? ? L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif? Hal.: 39 Matriks Matrik

40 The quantity of two matrixes
OPERATION OF MATRIX The quantity of two matrixes K = L = D = C = C + D = ? ? ? D + C = K + L = ? ? ? L + K = What is your conclusion? Is the addition of matrixes commutative? Hal.: 40 Matriks Matrik

41 OPERASI MATRIKS Soal: Feedback: -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6
C + E = … A + B = … -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 -1 8 4 E = 7 2 5 2 6 0 0 0 A = 0 0 0 B = 6 -1 2 9 9 8 C +D = Feedback: Hal.: 41 Matriks Matrik

42 OPERATION OF MATRIX Exercise: Feedback: -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2
C + E = … A + B = … -8 0 4 7 2 -1 8 4 C = D = 7 2 5 2 6 -1 8 4 E = 7 2 5 2 6 0 0 0 A = 0 0 0 B = 6 -1 2 9 9 8 C +D = Feedback: Hal.: 42 Matriks Matrik

43 Hasil kali skalar dengan matriks
OPERASI MATRIKS Hasil kali skalar dengan matriks 5x5 5x6 5x1 25 30 5 A = 5A = = 5x5 5x2 5x3 35 10 15 Apa hubungan H dengan A? H = H = 50 A Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: (cA)ij = c.(A)ij = caij Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama) Hal.: 43 Matriks Matrik

44 The multiplication result of scalar matrix
OPERATION OF MATRIX The multiplication result of scalar matrix 5x5 5x6 5x1 25 30 5 A = 5A = = 5x5 5x2 5x3 35 10 15 What is the relation between H and A? H = H = 50 A Given matrix A = [aij] and scalar c, the multiplication of scalar cA have the following entries: (cA)ij = c.(A)ij = caij Note: In the set of Mmxn, the matrix multiplication with scalar have closed properties (it will have matrix with the same ordo) Hal.: 44 Matriks Matrik

45 OPERASI MATRIKS 4K = 5K = K 3 x 3 1 4 -9 3 7 0 K = 5 9 -13 4 16 -36
K = 4K = 5K = Hal.: 45 Matriks Matrik

46 OPERATION OF MATRIX 4K = 5K = K 3 x 3 1 4 -9 3 7 0 K = 5 9 -13
K = 4K = 5K = Hal.: 46 Matriks Matrik

47 OPERASI MATRIKS Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? Contoh: 0 0 0 A = A = 7 2 5 2 6 c = 7 c = 0 cA = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 cA = 7*0 7*0 7*0 0 0 0 = kesimpulan Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja. Hal.: 47 Matriks Matrik

48 OPERATION OF MATRIX Known that cA is zero matrix. What is your conclusion about A and c? Example: 0 0 0 A = A = 7 2 5 2 6 c = 7 c = 0 cA = 0*2 0*7 0*2 0*5 0*2 0*6 cA = 7*0 7*0 7*0 0 0 0 = Conclusion Case 1: c = 0 and A is any matrix Case 2: A is zero matrix and c can be any number Hal.: 48 Matriks Matrik

49 OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks Definisi:
Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 (C)ij = (AB)ij = A B AB Syarat: m x r r x n m x n B = A = Tentukan AB dan BA Hal.: 49 Matriks Matrik

50 OPERATION OF MATRIX Multiplication between matrix Definition:
If A = [aij] have size m x r , and B = [bij] have size r x n, then the matrix which is from the multiplication result between A and B, yaitu is C = AB has elements that defined as follows: r ∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj k = 1 (C)ij = (AB)ij = A B AB Condition: m x r r x n m x n B = A = Define AB and BA Hal.: 50 Matriks Matrik

51 Perkalian matriks dengan matriks
OPERASI MATRIKS Perkalian matriks dengan matriks Contoh : B = A = = A B = = BA tidak didefinisikan Hal.: 51 Matriks Matrik

52 The multiplication between matrixes
OPERATION OF MATRIX The multiplication between matrixes Example: B = A = = A B = = BA is not define Hal.: 52 Matriks Matrik

53 OPERASI MATRIKS ABmxm ABnxn n x k m x n n x k m x n
1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? A B n x k m x n B A n x k m x n m = k AB dan BA matriks persegi ABmxm ABnxn 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? A = B = AB = AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol Hal.: 53 Matriks Matrik

54 OPERATION OF MATRIX ABmxm ABnxn n x k m x n n x k m x n
1. Given A and B, AB and BA is defined. What is your conclusion? A B n x k m x n B A n x k m x n m = k AB and BA square matrix ABmxm ABnxn 2. AB = O is zero matrix, is one of (A or B) is zero matrix? A = B = AB = AB is zero matrix. Matrix A and B is not certain zero matrix Hal.: 54 Matriks Matrik

55 OPERASI MATRIKS Contoh 1: Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.
A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? A = B = C = D = Hal.: 55 Matriks Matrik

56 OPERATION OF MATRIX Example 1:
Define the multiplication result if it defined: A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? A = B = C = D = Hal.: 56 Matriks Matrik

57 OPERASI MATRIKS Contoh 2: A0 = I An = A A A …A n faktor An+m = An Am
A = A2 = A3 = A x A2 = A0 = I An = n faktor An+m = An Am A A A …A Hal.: 57 Matriks Matrik

58 OPERATION OF MATRIX Example 2: A0 = I An = A A A …A n factor
A = A2 = A3 = A x A2 = A0 = I An = n factor An+m = An Am A A A …A Hal.: 58 Matriks Matrik

59 Kompetensi Dasar: Indikator : DETERMINAN DAN INVERS
Menentukan determinan dan invers Indikator : Matriks ditentukan determinannya Matriks ditentukan inversnya Hal.: 59 Matriks Matrik

60 DETERMINANT AND INVERSE
Basic Competence: Define the determinant and inverse Indicator : Matrix is defined by its determinant Matrix is defined by its inverse Hal.: 60 Matriks Matrik

61 DETERMINAN DAN INVERS = ad - bc Determinan Matriks ordo 2 x 2
Nilai determinan suatu matriks ordo 2 x 2 adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen pada diagonal kedua. Misalkan diketahui matriks A berordo 2 x 2, A = Determinan A adalah det A = = ad - bc Hal.: 61 Matriks Matrik

62 DETERMINANT AND INVERSE
Determinant Matrix ordo 2 x 2 Determinant value of a matrix ordo 2 x 2 is the multiplication result of the main diagonal elements and subtract by the multiplication result of the second diagonal. For example, known matrix A ordo 2 x 2, A = Determinant A is det A = = ad - bc Hal.: 62 Matriks Matrik

63 Contoh: Invers matriks 2x2
DETERMINAN DAN INVERS Contoh: Invers matriks 2x2 A = Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2 A-1 = = I Hal.: 63 Matriks Matrik

64 Example: Matrix inverse 2x2
DETERMINANT AND INVERSE Example: Matrix inverse 2x2 A = Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2 A-1 = = I Hal.: 64 Matriks Matrik

65 DETERMINANT DAN INVERSE
Contoh : 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai invers? ad-bc = 0 2. Tentukan invers matriks berikut ini a. 2/ /5 -1/ /3 a. b. b. tidak mempunyai invers QUIZMAKER c. c. tidak mempunyai invers d. d. Hal.: 65 Matriks Matrik

66 DETERMINANT AND INVERSE
Example : 1. When matrix Doesn’t have inverse? ad-bc = 0 2. Define the following matrix inverse a. 2/ /5 -1/ /3 a. b. b. Doesn’t have inverse QUIZMAKER c. c. Doesn’t have inverse d. d. Hal.: 66 Matriks Matrik

67 I DETERMINAN DAN INVERS
B adalah invers dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1 A A-1 A-1 A I = = Jika A = , maka Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? Hal.: 67 Matriks Matrik

68 DETERMINANT AND INVERSE
B is inverse of matrix A, if AB = BA = I matrix identities, it is written B = A-1 A A-1 A-1 A I = = If A = , then Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? Hal.: 68 Matriks Matrik

69 DETERMINAN DAN INVERS Jawab : Contoh 1 : Tentukan invers dari matriks
det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , sehingga matriks B tidak memiliki invers Hal.: 69 Matriks Matrik

70 DETERMINANT AND INVERSE
Example 1 : Defined the inverse of matrix Answer : det B = (-5) . (-4) – (-2) . (-10) = 20 – 20 = 0 , So, matrix B doesn’t have inverse Hal.: 70 Matriks Matrik

71 DETERMINAN DAN INVERS Contoh 2 : Diketahui matriks
Tunjukkan bahwa A.A-1 = A-1.A = I dan B.B-1 = B-1. B = I ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 = = A A-1 A-1 A I Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? ½ -½ -½ -½ ½ -½ -½ -½ = = B B-1 B-1 B I Hal.: 71 Matriks Matrik

72 DETERMINANT AND INVERSE
Example 2 : Known matrix Show that A.A-1 = A-1.A = I and B.B-1 = B-1. B = I ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 = = A A-1 A-1 A I Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas? Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks. B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1). Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I. B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I. Masalah berikutnya adalah: Apakah setiap matriks mempunyai inverse? Jika mempunyai, bagaimana menentukannya? Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga? ½ -½ -½ -½ ½ -½ -½ -½ = = B B-1 B-1 B I Hal.: 72 Matriks Matrik

73 DETERMINAN DAN INVERS Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Matriks ordo 3 x 3
Dengan aturan Sarrus, determinan A adalah sebagai berikut. _ _ _ + + + Hal.: 73 Matriks Matrik

74 DETERMINANT AND INVERSE
Matrix ordo 3 x 3 Matrix Determinant Ordo 3 x 3 With Sarrus rule, determinant A is as follows _ _ _ + + + Hal.: 74 Matriks Matrik

75 DETERMINAN DAN INVERS Misal SPL
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks Misal SPL Persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks berikut Hal.: 75 Matriks Matrik

76 DETERMINANT AND INVERSE
The equation of linear with two variable using matrix For example SPL The equation can be changed into the following matrix Hal.: 76 Matriks Matrik

77 DETERMINAN DAN INVERS Misalkan maka dapat ditulis Hal.: 77 Matriks

78 DETERMINANT AND INVERSE
Example Then can be written as Hal.: 78 Matriks Matrik

79 DETERMINAN DAN INVERS Contoh : Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear Jawab : Sistem persamaan Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi Hal.: 79 Matriks Matrik

80 DETERMINANT AND INVERSE
Example: Define the value of x and y that fulfill the equation of linear system answer : Equation system If in matrix Hal.: 80 Matriks Matrik

81 DETERMINAN DAN INVERS Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan
Jadi nilai x = 5 dan y = 2 Hal.: 81 Matriks Matrik

82 DETERMINANT AND INVERSE
The matrix multiplication in the form of AP = B with So, the value of x = 5 and y = 2 Hal.: 82 Matriks Matrik

83 DETERMINAN DAN INVERS Maka dengan aturan Cramer, diperoleh
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan determinan atau aturan Cramer. Misal SPL Maka dengan aturan Cramer, diperoleh dan Hal.: 83 Matriks Matrik

84 DETERMINANT AND INVERSE
The solution of linear equation system with two variables using determinant or Cramer rule For example SPL Then, with Cramer rule, we get and Hal.: 84 Matriks Matrik

85 DETERMINAN DAN INVERS Contoh :
Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear Jawab : Dengan aturan Cramer diperoleh Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}. Hal.: 85 Matriks Matrik

86 DETERMINANT AND INVERSE
Example : Use the Cramer rule to define the solution set of linear equation system answer : With cramer Rule, we get So, the solution set is {(1,2)}. Hal.: 86 Matriks Matrik

87 DETERMINAN DAN INVERS Ax = b
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan menggunakan Matriks SPL dalam bentuk: Dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn = x1 x2 : xn b1 b2 : bn x b A: matriks koefisien Ax = b Hal.: 87 Matriks Matrik

88 DETERMINANT AND INVERSE
Finishing the equation of linear system with three variables using matrix SPL in the form of: It can be written in the form of matrix equation: a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm a11 a12……...a1n a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn = x1 x2 : xn b1 b2 : bn x b A: matrix coefficient Ax = b Hal.: 88 Matriks Matrik

89 DETERMINAN DAN INVERS SPL Contoh :
x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL Dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut 1.x1 +2.x x3 0.x x2 + 1.x3 4.x1 +2.x x3 6 1 4 x1 x2 x3 6 1 4 = = Hal.: 89 Matriks Matrik

90 DETERMINANT AND INVERSE
Example : x1 + 2x2 + x3 = 6 -x2 + x = 1 4x1 + 2x2 + x3 = 4 SPL It can be written in the form of the following matrix 1.x1 +2.x x3 0.x x2 + 1.x3 4.x1 +2.x x3 6 1 4 x1 x2 x3 6 1 4 = = Hal.: 90 Matriks Matrik

91 Perkalian dengan matriks identitas
DETERMINAN DAN INVERS Perkalian dengan matriks identitas A= A.I = X = Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas? Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya? Apa kesimpulanmu? Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif. Hasil kalinya sama dengan matriks A. X = I.A = Hal.: 91 Matriks Matrik

92 The multiplication of identity matrix
DETERMINANT AND INVERSE The multiplication of identity matrix A= A.I = X = Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas? Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya? Apa kesimpulanmu? Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif. Hasil kalinya sama dengan matriks A. X = I.A = Hal.: 92 Matriks Matrik

93 DETERMINAN DAN INVERS AB = A dan BA = A, maka B = I
AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? = = QUIZMAKER Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama B adalah matriks identitas A I I A A = = AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas) Hal.: 93 Matriks Matrik

94 DETERMINANT AND INVERSE
AB = A and BA = A, what is your conclusion? = = QUIZMAKER Feedback: A dan B matriks persegi dengan ordo sama B adalah matriks identitas A I I A A = = AB = A and BA = A, then B = I (I identity matrix ) Hal.: 94 Matriks Matrik

95 DETERMINAN DAN INVERS Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers.
½ -½ -½ 1 = A A-1 I a b c d A-1 = Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2. Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse? A-1 d -b -c a 1 ad - bc = = Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai invers. Hal.: 95 Matriks Matrik

96 DETERMINANT AND INVERSE
½ -½ -½ 1 = A A-1 I a b c d A-1 = Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2. Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse? A-1 d -b -c a 1 ad - bc = = If ad –bc = 0 then A doesn’t have inverse Hal.: 96 Matriks Matrik

97 ? DETERMINAN DAN INVERS (A-1)-1
Invers dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C (A-1)-1 2. (A-1)-1 = A A = ½ -½ -½ 1 ? = A-1 = ½ -½ -½ 1 A-1 Sifat-sifat matriks inverse Jika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal. Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n. 1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.  Link ke bukti sifat 1, 2 A Hal.: 97 Matriks Matrik

98 DETERMINANT AND INVERSE
If there is inverse of matrix is only one: If B = A-1 and C = A-1, then B = C (A-1)-1 2. (A-1)-1 = A A = ½ -½ -½ 1 ? = A-1 = ½ -½ -½ 1 A-1 Sifat-sifat matriks inverse Jika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal. Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n. 1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.  Link ke bukti sifat 1, 2 A Hal.: 98 Matriks Matrik

99 DETERMINAN DAN INVERS Jika A mempunyai invers maka An mempunyai invers dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… A = ½ -½ -½ 1 A-1 = A3 = = (A3)-1 = Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya. sama (A-1)3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 = Hal.: 99 Matriks Matrik

100 DETERMINANT AND INVERSE
If A have inverse then An have inverse and (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,… A = ½ -½ -½ 1 A-1 = A3 = = (A3)-1 = Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya. The same with (A-1)3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 = Hal.: 100 Matriks Matrik

101 DETERMINAN DAN INVERS 4. (AB)-1 = B-1 A-1 3 5 2 2 B = B-1 = ½ 5/4
B = B-1 = ½ /4 ½ ¾ A = (AB)-1 = -1 = Jika A dan B dapat dikalikan dan masing-masing mempunyai inverse, maka AB juga mempunyai inverse. Inverse AB sama dengan hasil kali B inverse deang A inverse (urutan terbalik) ½ /4 ½ ¾ ½ -½ -½ 1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ /4 ½ ¾ A-1 B-1 = = Hal.: 101 Matriks Matrik

102 DETERMINANT AND INVERSE
4. (AB)-1 = B-1 A-1 B = B-1 = ½ /4 ½ ¾ A = (AB)-1 = -1 = Jika A dan B dapat dikalikan dan masing-masing mempunyai inverse, maka AB juga mempunyai inverse. Inverse AB sama dengan hasil kali B inverse deang A inverse (urutan terbalik) ½ /4 ½ ¾ ½ -½ -½ 1 B-1 A-1 = = ½ -½ -½ 1 ½ /4 ½ ¾ A-1 B-1 = = Hal.: 102 Matriks Matrik