APLIKASI INTEGRAL.

Presentasi berjudul: "APLIKASI INTEGRAL."— Transcript presentasi:

1 APLIKASI INTEGRAL

2 INTEGRAL Standar kompetensi :
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: Memahami konsep integral tak tentu dan tentu Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar a. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. b. Menghitung volume benda putar.

3 PENERAPAN INTEGRAL Standar kompetensi :
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Tacoma Bridge, Washington, 1940 Encarta Encyclopedia

4 History of Tacoma Bridge
The original Tacoma Narrows Bridge stretched 1,810 m (5,940 ft) across a narrow channel of Puget Sound near Tacoma, Washington. After two years of construction, the bridge opened to traffic on July 1, Four months later the bridge collapsed during a windstorm with gusts that reached 68 km/h (42 mph). The catastrophe was attributed to faulty design. Instead of allowing the wind to pass through, the suspended girders caught the wind, causing the bridge to buck and roll. The bucking motion earned the bridge the nickname Galloping Gertie. The stronger the wind blew, the more violently the structure oscillated, until it finally broke apart and crashed into the water. In 1992 the bridge’s sunken remains were placed on the United States National Register of Historic Places. Encarta Encyclopedia Archive Photos Microsoft ® Encarta ® © Microsoft Corporation. All rights reserved.

5 The Akashi Kaikyo Bridge in Japan is the longest suspension bridge in the world. Completed in 1998, it measures 1.99 km (1.24 mi) between its two supporting towers. The bridge connects the city of Kōbe with Awaji Island and carries both road and rail traffic. Built to withstand earthquakes, the bridge survived a 1995 tremor measuring 7.2 on the Richter scale.Microsoft ® Encarta ® © Microsoft Corporation. All rights reserved.

6 Minaret of the Great Mosque at Sāmarrā’ This spiral minaret, where the muezzin once called the faithful to prayer, is the only surviving feature of the Great Mosque at Sāmarrā’, Iraq. At the time of its construction ( ), the Great Mosque at Sāmarrā’ was the largest Islamic mosque in the world. SEF/Art Resource, NY .

7 The Golden Gate Bridge links the city of San Francisco with Marin County to the north. The suspension bridge was opened in 1937 and since then has been one of the principal landmarks of both San Francisco and California

8 PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : Luas daerah
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. Luas daerah

9 PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : Volume benda putar
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. Volume benda putar

10 PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR :
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : 1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. 2. Menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. 3. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. 4. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

11 PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR :
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. Indikator 1 Indikator 2 9 Luas daerah di bawah kurva Volume benda putar, jika kurva diputar mengelilingi sumbu Y

12 Teorema Dasar Kalkulus
Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus Hitunglah nilai dari Contoh 1 : Jawab = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – = 12 Next Back Home

13 Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral y y Tentukan limitnya n   x a x b a b x Next Back Home

14 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: Gambar daerahnya. Partisi daerahnya Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi Jumlahkan luas partisi L   f(xi) xi 5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral xi y Li x xi a Next Back Home

15 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 1. Jawab Langkah penyelesaian : Gambarlah daerahnya Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi Ambil limit jumlah luasnya L = lim  xi2 xi Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y xi Li x 3 xi Next Back Home

16 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4 Contoh 2. Jawab Langkah penyelesaian : Gambarlah daerahnya Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya L  xi.y 4. Jumlahkan luasnya L   y. y Ambil limit jumlah luasnya L = lim  y. y Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya y x 4 xi Next Back Home

17 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 6 Contoh 3. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar dan Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj 3. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan A   -(4xj - xj2)xj 4. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi dan A = lim  -(4xj - xj2)xj 5. Nyatakan dalam integral y xi Li xj x 6 4 xj xi Aj Next Back Home

18 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
y x 6 4 xi Li xi xj Aj xj Next Back Home

19 Kesimpulan :  Latihan 9 hal 35 no 1 – 25
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah Kesimpulan : y y xi x y xi x  Latihan 9 hal 35 no 1 – 25 Next Back Home

20 LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu y x Li x b a x Next Back Home

21 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Contoh 4. Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (2 - x - x2)x 5. Nyatakan dalam integral tertentu Jawab y 1 2 3 4 5 x Li x x 1 2 -1 -2 -3 Next Back Home

22 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
x 1 2 -1 -2 -3 y 3 4 5 Li x Next Back Home

23 Luas daerah = Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. y x Li x Ai x a b Luas daerah = Next Back Home

24 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y d y Li x c Luas daerah = Next Back Home

25 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 5. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (6 - y - y2)y 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 6 2 y y Li Luas daerah = x 6 Next Back Home

26 Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah
2 y 6 x Li y Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah =  Latihan 10 hal. 38 no. 1 – 25 Home Back Next

27 PENERAPAN INTEGRAL INDIKATOR : Volume benda putar
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. Volume benda putar

28 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4 Home Next Back

29 Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : Metode cakram Metode cincin Metode kulit tabung y x 1 2 -2 -1 3 4 Next Back Home

30 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Next Back Home

31 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2h atau V   f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x y x a x h=x x y x Next Back Home

32 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y x a y x y x y x x h=x y h=y y x x Next Back Home

33 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 6. Jawab 1 Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Nyatakan dalam bentuk integral. y y x 2 h=x x x x x Next Back Home

34 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y h=x x Next Back Home

35 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 7. Jawab Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 2 y y x y h=y y x Next Back Home

36 Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y = x2 x y h=y 2 Next Back Home

37 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Next Back Home

38 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h h r R dan Next Back Home

39 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 8. Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Jawab y y y = 2x 4 2 x 2x x x2 x x Next Back Home

40 Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar V  (R2 – r2) h
V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x 4 y y = 2x 2 x x r=x2 R=2x y x Next Back Home

41 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 9. Jawab Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 1 2 3 4 x x2 x 1 2 x Next Back Home

42 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. x 1 2 y 3 4 y r=x R = 2 y 1 2 3 4 x 1 2 -2 -1 Home Back Next

43 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Next Back Home

44 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
h a b h V = 2rhΔr Δr 2r Next Back Home

45 Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
x 1 2 x x2 y 3 4 x 1 2 y 3 4 x r = x h = x2 V  2rhx V  2(x)(x2)x V   2x3x V = lim  2x3x Next Back Home