Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya."— Transcript presentasi:

1 MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya

2 PENGERTIAN  Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku.  Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.  Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil.  Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

3 Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis: atau penulisan yang lebih singkat : dengan i=1, 2,..., m dan j=1, 2,..., n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

4 Berapa Ordo Matriks A dan B ? A= B= Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2 a 23 = 1032 b 23 = tidak ada b 21 = sin x

5 Jenis Matriks (1/7)  Matrik Bujursangkar  banyak baris = banyak kolom  Matrik Segitiga Atas, Matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol Diagonal Utama

6 Jenis Matriks (2/7)  Matrik Segitiga Bawah, matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol  Matrik Diagonal, matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

7 Jenis Matriks (3/7)  Matrik Satuan, matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: I n, n menyatakan ordo matrik satuan  Matrik skalar, matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c  0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c. I4=I4= I3=I3= I2=I2=

8 Jenis Matriks (4/7)  Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O 53 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 5x3 =c=c= cI n O 23 = O 53 =

9 Jenis Matriks (5/7)  Matrik Invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A -1 Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:, maka A -1 = A=, maka A -1 = =

10 Jenis Matrik (6/7) Untuk mencari invers matrik bujur sangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin. Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.

11 Contoh  Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

12 Jawab  Termasuk matrik segitiga atas  Termasuk matrik segitiga bawah  Termasuk matrik diagonal  Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua

13 Jenis Matriks (7/7)  Matrik Simetri, yaitu matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = A T  Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat A T = -A.

14 LATIHAN Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c A = Jawab: A T = = = -A Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

15 Operasi Matriks  Penjumlahan Matrik Penjumlahan Matrik  Perkalian Matrik dengan Skalar Perkalian Matrik dengan Skalar  Transpos Matrik Transpos Matrik  Perkalian Dua Matrik Perkalian Dua Matrik  Trase Matrik Trase Matrik

16 Penjumlahan matrik Jika A=[a ij ], dan B=[b ij ] Jumlah matrik A dan B ditulis: C = A + B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: c ij =a ij +b ij {entri yang seletak dijumlahkan}

17 CONTOH A=, B=, C= Hitung: A+B, B+C Jawab: A+B= + = A+B= B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B back

18 Perkalian dengan Skalar A=[a ij ] dan k skalar, maka: kA=[ka ij ] {semua entri dikalikan dengan k} (-4) = = Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back

19 Transpos matrik A=[a ij ], i=1, 2,..., n ; j=1, 2,..., m Jika B=A T, dan B=[b ji ], maka b ji = a ji { kolom matrik A menjadi baris matrik A T } A = A T = back

20 Perkalian dua Matrik A =[a ij ], i=1, 2,..., n dan j=1, 2,..., m B=[b jk ], k=1, 2,..., p {banyak kolom A=banyak baris B} C=AB c ik =a i1 b 1k + a i2 b 2k + …+a im b mk = vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah: c ik =

21 Contoh Perkalian Matrik (1/ 2) A=, B=, dan C=AB c 23 = c 21 = c 13 = = 4 – 1 – 35 = -32 = 0 – = 9 = = 23

22 Contoh Perkalian Matrik (2/2) c 12 = = – 24 = -29 C=AB = = back

23 HITUNG !!! Sehingga: AB  BA Apakah AB=BA??? Buktikan Jika:

24 Trase matrik A=[a ij ], i=1, 2,..., n dan j=1, 2,..., n { harus matrik bujur sangkar } Trase(A)=a 11 + a 22 + …+ a nn { penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama } A =, trase(A)= 2 – = 1

25 Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar 1. A+B=B+A{ sifat komutatif } 2. (A+B)+C=A+(B+C) { sifat asosiatif } 3. A+O=O+A=A{ sifat matrik nol, identitas penjumlahan } 4. A+(-A)= -A+A=O{ sifat negatif matrik } 5. k(A+B)=kA+kB{ sifat distributif terhadap skalar k } 6. (k+l)A=kA+lA{ sifat distributif terhadap skalar k dan l } 7. (kl)A=k(lA){ sifat asosiatif terhadap perkalian skalar } 8. 1A=A{ sifat perkalian dengan skalar 1 (satu) } Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

26 Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) 9. AB  BA {tidak berlaku komutatif perkalian} 10. (AB)C=A(BC){sifat asosiatif} 11. AI=IA=A{sifat matrik satuan, identitas perkalian} 12. AO=OA=O{sifat matrik nol} 13. (A+B) T = A T + B T {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} 14. Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O 15. (kA)B=k(AB)=A(kB)

27 Contoh AB=0 =, berarti AB=O Tetapi =, berarti BA  O

28 Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) 16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B) 17. trase(A T ) = trase(A) 18. trase(kA) = k trase(A) 19. trase(I nxn ) = n

29 Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) 20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB 22. (AB) T = B T A T {urutan operasi dibalik} 23. (kA) T =kA T 24. A n = AA … A, jika n  0, dan I, jika n=0 25. A r A s =A r+s, jika r dan s bilangan asli 26. Sebanyak n

30 Contoh Tambahan (1/3) Jika A =, dan B = (A + B) T = = A T + B T = + = (AB) T = = A T B T = = B T A T = =

31 Contoh Tambahan (2/3) (½B) T = = ½ B T = ½ = –2 A = –2IA == A =, dan B =

32 Contoh Tambahan (3/3) trase(A) = = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 trase(A+B) = trase( ) = = 7 A 2 = AA== A 3 = A 2 A = = A =, dan B =

33 Determinan  Determinan Matriks Persegi Berordo 2 Matriks A = Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping. Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc

34 Contoh Jika A = maka det A = = ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10

35 Determinan  Determinan Matriks Persegi Berordo 3 Matriks A = Cara menentukan det A sebagai berikut : det A =

36 Determinan Menggunakan aturan Saurrus det A =


Download ppt "MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google