Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

OPTIMASI DENGAN KENDALA KESAMAAN Oleh : TIM Matematika.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "OPTIMASI DENGAN KENDALA KESAMAAN Oleh : TIM Matematika."— Transcript presentasi:

1 OPTIMASI DENGAN KENDALA KESAMAAN Oleh : TIM Matematika

2 BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a 1 X 1 + a 2 X 2 Contoh: Y = ,50 X 1 + 0,60 X 2 II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X X 2 - 2X X 1.X 2 – 2X Fungsi Eksponen : Y = ao.a 1 X1.a 2 X2 Y = 5. 0,8 X1. 0,4 X2

3 Lanjutan: 2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X 1 a1.X 2 a2 Contoh: Y = 50.X 1 0,7.X 2 0, Fungsi Transedental : Y = ao.X 1 a1.X 2 a2.e b1X1.e b2X2 Y = 50.X 1 0,7.X 2 0,4. e 0,6X1.e. 0,5X2

4 BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA  Fungsi Tak Berkendala  Fungsi Berkendala

5 PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA Contoh : Fungsi Keuntungan : π = Keuntungan Q1 = Output Q1 Q2 = Output Q2

6 Dari fungsi ini :  Variabel Q 1 dan Q 2 independen (tidak saling tergantung)  Besaran Q 1 dan Q 2 tidak ada pembatas  Titik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”

7 Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0

8 Substitusi (1) & (2), didapat :

9 PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Fungsi Berkendala: Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan; ……… Fungsi Tujuan

10 Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

11 Lanjutan: Keuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala”

12 Lanjutan: Cara menentukan titik optimum terkendala : 1. Cara substitusi (eliminasi) 2. Pendekatan diferensial total 3. Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

13 PENGERTIAN DAN EFEK DARI SUATU KENDALA (PEMBATAS) Dalam usaha mencapai suatu tujuannya, perusahaan /produsen atau konsumen selalu menghadapi kendala atau pembatas. Contoh (1): Untuk mencapai keuntungan maksimum sebagai Fungsi Tujuan: Menghadapi kendala terbatasnya kapasitas produksi (kuota produksi) Q 1 + Q 2 = 950

14 Contoh (3) : Untuk mencapai kepuasan maksimum (Fungsi Utilitas Sebagai Fungsi Tujuan): Menghadapi kendala terbatasnya anggaran (Budget-Line sebagai persamaan pembatas);

15 Contoh (2): Untuk memaksimum produksi (Isoquant sebagai Fungsi Tujuan) : Menghadapi kendala terbatasnya biaya (Iso-cost) sebagai persamaan pembatas) :

16 Dengan adanya kendala-kendala tersebut, maka : (1). Variabel bebas (Q1 dan Q2) saling tergantung. Contoh: kendala terbatasnya kapasitas produksi (kuota produksi): Q 1 + Q 2 = 950 Q 1 naik maka Q 2 turun, atau sebaliknya Q 1 turun dan Q 2 naik. (2) Titik optimum fungsi disebut “Titik Optimum Terkendala”

17 I. FUNGSI UTILITAS  U = f (Q 1, Q 2 )………Fungsi Tujuan P 1.Q 1 + P 2.Q 2 = C…..Pers.Kendala.  Fungsi Lagrange: U = f(Q 1,Q 2 ) + λ (C – P 1.Q 1 – P 2.Q 2 )

18 Lanjutan: Turunan Pertama dari Fungsi Lagrange:

19 Lanjutan: Fungsi Utilitas Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q 1. Q Q 1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P 1.Q 1 + P 2.Q 2 = M Q 1 + 2Q 2 = 60. Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

20 Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu) BL: Pers.Kendala (garis Anggaran) Q1 Q2 Q1* Q2* 0

21 Cara Menentukan Nilai Optimum: (1). Metode Substitusi/ Eliminasi; (2). Metode Diferensial Total; (3). Metode Pengali Lagrange.

22 Ad.(1). Metode Substitusi: Fungsi Tujuan: U = Q 1. Q 2 + 2Q 1 ……………(1) Persamaan Kendala: 4Q 1 + 2Q 2 = 60; kendala diubah: 2Q 2 = - 4Q Q 2 = -2Q …………..... (2)

23 Substitusikan (1) ke (2): Substitusikan (2) ke (1): U = Q 1 (-2Q ) + Q 1 U = -2Q Q 1 +2Q 1 U = -2Q Q1 ………….(3) Turunan (Derivatif) Pertama = 0 U’ = dU/dQ1 = - 4Q = 0 - 4Q = 0 ……Q 1 * = 8

24 Substitusikan Q1* ke persamaan (1): Substitusikan Q* 1 = 8 ke persamaan (2): Q 2 = -2Q = -2(8)+30 …….Q 2 * = 14. U* = Q 1.Q 2 + 2Q 1 = ………U* = 128.

25 Ad.2. Metode Diferensial Total : Diketahui Fungsi Tujuan: U = Q1.Q2 + 2Q1. Persamaan Kendala: 4Q1+ 2Q2 = 60; Tentukan : Q1 dan Q ? Jawab: Kondisi Optimum Dicapai Pada Saat: (dU/dQ 1 )/P 1 = (dU/dQ 2 )/P 2 MU 1 / P 1 = MU 2 / P 2 Dari Contoh Soal di atas: MU 1 = dU/dQ 1 = f 1 = Q MU 2 = dU/dQ 2 = f 2 = Q 1

26 Lanjutan: Persamaan Kendala : 4Q 1 + 2Q 2 = 60; jadi: P 1 = 4 dan P 2 = 2. Dengan Menggunakan Rumus : MU 1 / P 1 = MU 2 / P 2 (Q 2 + 2)/ 4 = (Q 1 )/ 2 2Q2 + 4 = 4Q1 Q 1 = ½ Q …………………(1)

27 Substitusikan (1) ke Pers.Kendala: Persamaan (1) substitusikan ke persamaan kendala: 4(1/2Q 2 + 1) + 2Q 2 = Q 2 = Q 2 * = 14. Substitusikan Q2*=14 ke persamaan (1): Q 1 * = ½ (14) + 1 jadi : Q 1 * = 8 Untuk Menentukan λ* : λ* = f 1 / P 1 atau λ* = f 2 / P 2

28 Lanjutan : Untuk Menentukan λ* : λ* = f 1 / P 1 atau λ* = f 2 / P 2. λ* = f1/Pq1 =(Q 2 + 2)/ 4 = (14+2)/ 4 = 4 atau λ* = (Q 1 )/ 2 = 8/2 = 4.

29 Ad.3. Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q 1.Q 2 + 2Q 1 + λ ( 60 – 4Q 1 - 2Q 2 ). Turunan Petama Fungsi = 0. dU/dQ 1 = f1 = Q – 4 λ = 0 ……(1) dU/dQ 2 = f2 = Q λ = 0...….(2) dU/d λ = f λ = 60 – 4Q 1 – 2Q 2 = 0….(3)

30 Subtitusikan (1) ke (2): Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1)....dU/dQ 1 = Q – 4 λ = 0 …......( x1) (2)....dU/dQ 2 = Q λ = 0 ……...(x2) Jadi : (1)....Q – 4 λ = 0 (2)....2Q λ = 0. jadi: Q – 2Q1 = 0 Q 2 = 2Q 1 – 2 ……………(a)

31 Substitusikan (a) ke Persamaan kendala: Substitusikan (a) ke persamaan (3): dU/d λ = 60 – 4Q 1 – 2Q 2 = 0…….(3) Jadi: 60 – 4Q 1 – 2 (2Q1 – 2) = 0 60 – 8Q = 0………Q 1 * = 8. (3)… – 4(8) – 2Q 2 = 0 28 – 2Q 2 = 0 ……..Q 2 * = 14.

32 Cara Pembuktian Optimum Maksimum atau Minimum: Menggunakan Determinan Hessian Bertepi (Burder Hessian): 0 g1 g2 H = g1 f11 f12 Apabila: H > 0 (Maks) g2 f21 f22 H = 0 (Tdk) H < 0 (Min)

33 Lanjutan: Turunan Kedua (Turunan dari f 1 dan f 2 ): dU/dQ 1 = f 1 = Q – 4 λ = 0 …..…(1) df 1 /dQ 1 = f 11 = 0 ; dan df 1 /dQ 2 = f 12 = 1. dU/dQ 2 = f 2 = Q λ = 0...……(2) df 2 /dQ 1 = f 21 P Q1 = g 1 = 4 dan P Q2 = g 2 = 2. = 1 dan df2/dQ2 = f22 = 0.

34 Lanjutan: H = ; H = – (2.0.2) – (4.4.0) – ( 0.1.1) ………H = 16 > 0 (Optimum Maksimum)

35 II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P 1.X 1 + P 2.X 2 ………Fungsi Tujuan (Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost) Dengan Kendala Quota Produksi: Q0 = f ( X 1, X 2 )…………Pers.Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)

36 Fungsi Lagrange: C = P 1.X 1 + P 2.X 2 + λ [ Qo – f (X 1,X 2 )] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: dC/dX 1 = f 1 = 0 …………..(1) dC/dX 2 = f 2 = 0 …………..(2) dC/d λ = f 3 = 0 ………….(3) Solusi Optimal: a. Metode Substitusi; b. Metode Diferensial Total c. Metode Pengali Lagrange.

37 Contoh Soal : Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6 X X 2 2 Dengan Kendala: X 1 + X 2 = 18 Tentukan : a. Nilai X 1*, X 2 * yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

38 Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6 X X λ ( 18 – X 1 – X 2 ) Turunan Pertama = 0 dC/ dX 1 = f 1 = 12X 1 – λ = 0……….(1) dC/ dX 2 = f 2 = 6X 2 - λ = 0…………(2) dC/ d λ = f 3 = 18 –X 1 – X 2 = 0..…(3)

39 Solusi optimal dengan Metode Determinan: Persamaan Matriks Persamaan Turunan I: X X2 = λ -18 Rumus : X 1 = IX 1 I / IPI; dan X 2 = IX 2 I / IPI; λ = I λI / IPI ;

40 Menentukan Determinan: IX 1 I = = …….? IX 2 I = = ……..?

41 Lanjutan: IλI = = ………..? X 1 = IX 1 I / IPI = ……; X 2 = IX 2 I / IPI = ……; X λ = I λI / IPI = …….;

42 Menentukan Optimum Maksimum/ Minimum: f 1 = 12X 1 – λ …….f 11 = 12 dan f 12 = 0; f 2 = 6X 2 – λ ………f 21 = 0 dan f 22 = 6. Pers. Kendala: 1.X X 2 = 18; jadi: g 1 = 1 dan g 2 = 1. Determinan Hessian Bertepi: H = = - 18 < 0 (Minimum)

43 SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA 1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q1 2 +5Q Q 2 ; dan persamaan kendala: Q 1 + 2Q 2 = 18; Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

44 Lanjutan: soal latihan 2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6Q Q 2 2 ; dengan kendala : Q 1 + Q 2 =18; Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

45 Lanjutan: soal latihan 3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q Q Q 1.Q 2 ; dengan kendala: Q 1 +Q 2 =8. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

46 Lanjutan: Soal latihan 4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X X 1.X 2 -7X X 1 ; kendala X 1 +X 2 =1. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

47 Lanjutan: soal latihan 5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X X 1.X 2 - 4X 2 2, dengan kendala: 2X 1 +3X 2 =74. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

48 Lanjutan: Soal jawab 6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

49 Lanjutan: Soal jawab 7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q 1.Q 2 – Q 2 2 ; dan Kendala: 2Q 1 + 5Q 2 = 11. Tentukan : a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

50 Lanjutan: soal latihan 8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = Q 1.Q 2 – 2Q 1 2 – Q 2 2. dengan kendala: Q 1 +Q 2 = 9. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

51 Lanjutan: soal latihan 9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q Q 2 – Q 1 2 – Q 2 2. Kendala: 3Q 1 + 4Q 2 = 26. Tentukan: a.Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

52 Lanjutan: Soal jawab 10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = Q Q Q 1.Q 2. Dengan kendala:5Q Q 2 = 90. Tentukan: a. Jumlah Q 1 dan Q 2 yang memaksimum Utilitas; b. Tentukan U optimum; c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.

53 Lanjutan: soal latihan 11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4Q 1 Q 2 – Q 1 2 – 3Q 2 2 Fungsi Anggaran : 2Q 1 + 3Q 2 = 45 Tentukan: a. Q 1 dan Q 2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.

54 lanjutan TERIMAKASIH


Download ppt "OPTIMASI DENGAN KENDALA KESAMAAN Oleh : TIM Matematika."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google