Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si."— Transcript presentasi:

1 Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si.

2 Optimasi Satu Variabel

3 Titik Maksimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x 0 - h) BP = f(x 0 ) CR = f(x 0 + h)

4 P disebut titik maksimum bila : BP > AQ f(x 0 ) > f(x 0 - h) BP > CR f(x 0 ) > f(x 0 + h) Dari Q ke P kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f ’ (x) > 0 Dari P ke R kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f ’ (x) < 0

5 Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) > 0 ke f’(x) < 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik maksimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

6 Titik Minimum (Ekstrim) Kurva y = f(x) kontinyu untuk semua x pada interval a  x  b AQ = f(x 0 - h) BP = f(x 0 ) CR = f(x 0 + h)

7 P disebut titik minimum bila : BP < AQ f(x 0 ) < f(x 0 - h) BP < CR f(x 0 ) < f(x 0 + h) Dari Q ke P kurva turun  untuk semua x dari titik-titik diantara Q dan P mempunyai f ’ (x) < 0 Dari P ke R kurva naik  untuk semua x dari titik-titik diantara P dan R mempunyai f ’ (x) > 0

8 Oleh karena kurva kontinyu  perubahan dari f’(x) 0, harus melalui f’(x) = 0 Sehingga dapat disimpulkan bahwa: Titik minimum P, f’(x) = 0  garis singgung di P pada sumbu x

9 Teorema  Syarat perlu I Adanya titik ekstrim sebagai titik optimum  f’(x) = 0 Pada kejadian : Maksimum : f(x) > f(x+h) Minimum : f(x) < f(x+h)

10 Dengan Deret Taylor Pada titik ekstrim : f’(x) = 0, h diambil cukup kecil sehingga h 3, h 4, h 5,...=0 atautergantung dari

11 Teorema  Syarat Cukup II f’’(x)  0 f’’(x) < 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik maximum f’’(x) > 0, kejadian titik ekstrim sebagai titik minimum Pada titik belok f’’(x) = 0; f’’’(x)  0

12 Contoh Soal 1.Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 12x x x Jawab : f’(x) = 60(x 4 - 3x 3 + 2x 2 ) f’(x) = 60x 2 (x-1)(x-2) f’(x) = 0  60x 2 (x-1)(x-2) = 0 f’(x) = 0  x = 0; x =1, x = 2

13 Untuk mencari titik x yang mana yang min or max f’’(x) = 60(4x 3 - 9x 2 + 4x) di x = 1  f’’(x) = -60  f’’(x) < 0 maka dikatakan sebagai titik maximum dengan nilai f max = f(1) = 12 di x = 2  f’’(x) = 240  f’’(x) > 0 maka dikatakan sebagai titik minimum dengan nilai f min = f(2) = -11 di x = 0  f’’(x) = 0 f’’’(x) = 60(12x x) untuk x  0 f’’’(x) = 60 karena f’’’(x)  0, maka x = 0 dikatakan sebagai titik belok

14 2. Tentukan titik optimum dari f(x) = x 2 - 6x + 5 Jawab : f’(x) = 2x – 6 f’(x) = 0  2x – 6 = 0  x = 3 f’’(x) = 2, untuk semua x, khususnya f’’(3) = 2 f(3) = -4  merupakan minimum lokal

15 3. Tentukan titik optimum dari f(x) = 2x 3 - 3x 2 – 12x + 5 Jawab : f’(x) = 6x 2 - 6x – 12 = 6(x+1)(x-2) f’’(x) = 12x - 6 f’(x) = 0  x = -1; x = 2 f’’(-1) = -18, diperoleh f(-1) = 12 sebagai titik maks lokal f’’(2) = 18, diperoleh f(2) = -15 sebagai titik min lokal

16 4. Tentukan nilai optimum dari f(x) = x 2 - 2x – 1 pada [-1, 2] Jawab : ?????

17 5. Pencarian Titik Optimum untuk Fungsi Pecahan titik optimum pada titik ekstrim untuk fungsi pecahan jika  juga merupakan pecahan syarat agar fungsi tersebut merupakan titik ekstrim p(x) = 0; q(x) = 0 jenis titik ekstrimnya ditentukan oleh keadaan f’’(x) 

18 5. Tentukan titik ekstrim dari Jawab: (Bentuk yang disederhanakan untuk titik nol dari p(x)) minimum maximum

19 jadi titik-titik ekstrimnya : Sehingga : minimum maximum

20 Titik Ekstrim dari fungsi parameter Fungsi x =  (t) dan y =  (t) merupakan nilai ekstrim jika berlaku :  ’(t) = 0;  ’(t)  0 Fungsi tersebut mempunyai nilai : Maximum jika :  ’’(t) < 0 Minimum jika :  ’’(t) > 0

21 Contoh Tentukan titik ekstrim dari fungsi x = a cos t =  (t) y = b sin t =  (t)

22 Jawab  (t) = a cos t   ’(t) = -a sin t  (t) = b sin t   ’(t) = b cos t dan  ’’(t) = - b sin t  ’(t) = 0  b cos t = 0 dengan  ’(t 1 )  0 ;  ’(t 2 )  0


Download ppt "Optimasi Fungsi Tanpa Kendala Eneng Tita Tosida, M.Si."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google