Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Counting. 2 Combinatorics dan Counting  Kombinatorika  Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek  Bagian penting dari Matematika Diskrit  Enumerasi 

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Counting. 2 Combinatorics dan Counting  Kombinatorika  Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek  Bagian penting dari Matematika Diskrit  Enumerasi "— Transcript presentasi:

1 Counting

2 2 Combinatorics dan Counting  Kombinatorika  Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek  Bagian penting dari Matematika Diskrit  Enumerasi  Penghitungan obyek dengan sifat tertentu  Bagian penting dari Kombinatorika

3 3 Beberapa Permasalahan dalam Counting “Password dalam suatu sistem komputer terdiri dari 6, 7, atau 8 karakter. Setiap karakter adalah digit bilangan desimal atau huruf dalam alfabet. Setiap pasword harus memuat paling sedikit satu digit bilangan desimal. Ada berapa banyak password yang berbeda?” “Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan dalam memilih 11 pemain dalam suatu tim sepak bola yang memiliki 20 pemain?” Selain itu, counting adalah dasar dalam menghitung peluang dari kejadian-kejadian diskrit. (“Berapakah peluang untuk dapat memenangkan suatu lotere?”)

4 4 Dasar-dasar Counting  Aturan perkalian  Aturan penjumlahan  Prinsip inklusi-eksklusi  Diagram pohon

5 5 Aturan penjumlahan Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n 1 cara dan pekerjaan kedua dengan n 2 cara; serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat n 1 + n 2 cara untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut. Contoh: Departemen Matematika akan menghadiahkan sebuah komputer kepada seorang mahasiswa atau seorang dosen. Ada berapa cara memberi hadiah, jika terdapat 532 mahasiswa dan 54 dosen? Terdapat = 586 cara.

6 6 Generalisasi aturan penjumlahan Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T 1, T 2, …, T m yang dapat dilakukan dalam n 1, n 2, …, n m cara, dan tidak ada dua di antara pekerjaan-pekerjaan tersebut yang dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat n 1 + n 2 + … + n m cara untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas tersebut. Contoh: Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas proyek Matematika Diskrit dari tiga buah daftar, yang masing-masing berisikan 9, 21, dan 17 proyek. Ada berapa tugas proyek yang dapat dipilih?

7 7 Aturan perkalian dan generalisasinya Aturan perkalian Misalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua pekerjaan yang berurutan. Jika terdapat n 1 cara untuk melakukan tugas pertama dan n 2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah tugas pertama selesai dilakukan, maka terdapat n 1  n 2 cara untuk melakukan prosedur tersebut. Generalisasi aturan perkalian Jika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T 1, T 2, …, T m yang dapat dilakukan dalam n 1, n 2, …, n m cara, secara berurutan, maka terdapat n 1  n 2  …  n m cara untuk melaksanakan prosedur tersebut.

8 8 Contoh: Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda yang memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan desimal, dan dua huruf? Solusi: Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf pertama, 10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10 untuk digit kedua, dan 10 untuk digit ketiga, kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua dan 26 untuk huruf ketiga. Jadi, terdapat 26  10  10  10  26  26 = plat nomor kendaraan yang berbeda. Aturan perkalian dan generalisasinya (2)

9 9 Contoh soal 1. Ada berapa fungsi dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota? 2. Ada berapa fungsi satu-satu dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota? 3. Gunakan aturan perkalian untuk menunjukkan bahwa banyaknya subhimpunan yang berbeda dari suatu himpunan hingga S adalah 2 |S|.

10 10 Prinsip Dasar Counting Aturan penjumlahan dan perkalian juga dapat direpresentasikan dalam istilah himpunan. Aturan penjumlahan Misalkan A 1, A 2, …, A m himpunan yang saling lepas. Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari gabungan A 1  A 2  …  A m adalah jumlah dari banyaknya anggota setiap himpunan. |A 1  A 2  …  A m | = |A 1 | + |A 2 | + … + |A m |. Aturan perkalian Misalkan A 1, A 2, …, A m himpunan hingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari hasil kali Cartesian A 1  A 2  …  A m dilakukan dengan memilih satu anggota dari A 1, satu anggota dari A 2, …, dan satu anggota dari A m. |A 1  A 2  …  A m | = |A 1 |  |A 2 |  …  |A m |.

11 11 Soal 1 Setiap pengguna suatu sistem komputer memiliki sebuah password, yang terdiri dari 6 sampai 8 karakter, dengan setiap karakter adalah huruf kapital atau digit bilangan desimal. Jika setiap password harus memuat minimal satu digit bilangan desiamal, ada berapa banyak password yang mungkin?

12 12 Soal 2 Menghitung Internet Address Dalam Internet Protocol versi 4 (IPv4), suatu address adalah string yang terdiri dari 32 bit. Dimulai dengan network number (netid), dan diikuti oleh host number (hostid). Terdapat 3 bentuk address: kelas A, B, dan C dan 2 tambahan (kelas D dan E) dengan aturan: Ada berapa IPv4 address yang berbeda untuk komputer di internet? Bit number Kelas A0netidhostid Kelas B10netidhostid Kelas C110netidhostid Kelas D1110Multicast address Kelas E11110Address

13 13 Prinsip Inklusi-Eksklusi Berapa banyak string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00? Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1. Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), dua cara untuk memilih bit ketiga (0 or 1),... dua cara untuk memilih bit kedelapan (0 or 1). Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 12 7 = 128 cara.

14 14 Pekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00. Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1),... dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1), satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan satu cara untuk memilih bit kedelapan (0). Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan dalam = 64 cara. Prinsip Inklusi-Eksklusi

15 15 Karena terdapat 128 cara untuk melakukan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192 string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00 ? Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang bersamaan. Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan membuat string yang dimulai dengan 1, beberapa dari string tersebut diakhiri dengan 00. Jadi, kita kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2 pada saat yang bersamaan, sehingga aturan penjumlahan tidak berlaku. Prinsip Inklusi-Eksklusi

16 16 Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan, dalam kasus ini, kita harus mengurangkan kasus-kasus di mana Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang bersamaan. Ada berapa kasus, yaitu, ada berapa banyak string yang dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 00? Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua, …, bit keenam (0 atau 1), dan satu cara untuk bit ketujuh dan kedelapan (0). Aturan perkalian: Dalam 2 5 = 32 kasus, Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang sama. Prinsip Inklusi-Eksklusi

17 17 Karena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 2, dan dalam 32 dari kasus-kasus tersebut Pekerjaan 1 dan 2 diselesaikan pada saat yang bersamaan, maka terdapat – 32 = 160 cara untuk melakukan salah satu di antara kedua Tugas tersebut. Dalam teori bilangan, ini berkorespondensi dengan himpunan A 1 dan A 2 yang tidak saling lepas. Maka: |A 1  A 2 | = |A 1 | + |A 2 | - |A 1  A 2 | Ini disebut prinsip inklusi-eksklusi. Prinsip Inklusi-Eksklusi

18 18 Diagram Pohon Ada berapa string biner dengan panjang empat yang tidak memiliki dua 1 secara berurutan? bit ke-1bit ke-2 bit ke-3bit ke Jadi, terdapat 8 string.


Download ppt "Counting. 2 Combinatorics dan Counting  Kombinatorika  Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek  Bagian penting dari Matematika Diskrit  Enumerasi "

Presentasi serupa


Iklan oleh Google