Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Teknik Counting Lanjut. Pendahuluan Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Teknik Counting Lanjut. Pendahuluan Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan."— Transcript presentasi:

1 Teknik Counting Lanjut

2 Pendahuluan Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang merpati. Misalnya: Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan? Untuk memecahkan ini, misalkan a n = banyaknya string tsb panjang n. Dapat ditunjukkan kemudian bhw a n+1 = a n + a n-1. Dengan memecahkan persamaan ini kita dapat mencari a n.

3 Relasi Recurrence Definisi. Relasi Recurrence untuk barisan {a n } adalah persamaan yang menyatakan a n dalam salah satu atau lebih bentuk a 0, a 1, …, a n-1 untuk semua n dengan n  n 0 dimana n 0 bilangan bulat non- negatif. Barisan {a n } tersebut dikatakan sebagai solusi dari relasi recurrence ini bila a n memenuhi relasi recurrence.

4 Pemodelan dengan relasi recurrence Misalkan seseorang menabung Rp. 100,000 di bank dengan bunga 12% per tahun. Berapa banyak uangnya setelah 30 tahun? Solusi. Misal P n menyatakan banyaknya uang dalam tabungan setelah n tahun. Maka, P n = P n P n-1 = (1.12) P n-1, dengan P 0 = 100,000. Dengan pendekatan iteratif: P 1 = (1.12)P 0 P 2 = (1.12)P 1 = (1.12) 2 P 0 P 3 = (1.12)P 2 = (1.12) 3 P 0  P n = (1.12)P n-1 = (1.12) n P 0

5 Kelinci dan Bilangan Fibonacci Sepasang kelinci ditaruh di suatu pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap sepasang menghasilkan sepasang yg lain setiap bulannya. Tentukan relasi recurrence dari jumlah pasangan setelah n bulan, bila tidak ada kelinci yg mati. Solusi. Misalkan f n : jumlah pasangan kelinci setelah n bulan. Maka, f 1 = 1, f 2 = 1. Untuk mencari f n, tambahkan jumlah pasangan pada bulan sebelumnya, f n-1, dengan jumlah pasangan yang baru lahir, f n-2. Jadi, f n = f n-1 + f n-2.

6 Menara Hanoi Merupakan sebuah puzzle populer yang ditemukan oleh seorang matematikawan Perancis Edouard Lucas pada abad 19, dan disebut Menara Hanoi. Terdapat menara dengan 3 tiang untuk meletakkan sejumlah disk berukuran berbeda. Awalnya semua disk terletak secara terurut pada tiang pertama dengan disk terbesar paling bawah Aturan: Satu disk dapat dipindahkan setiap waktu dari satu tiang ke tiang lain selama disk tsb tidak berada di atas disk yang lebih kecil. Tujuan: Memindahkan semua disk ke tiang kedua dengan disk terbesar di urutan paling bawah.

7 Menara Hanoi…  Misalkan H n : banyaknya langkah yg diperlukan untuk memindahkan n disk dalam masalah menara Hanoi.  Kita mulai dengan n disk pada tiang 1. Kita dapat memindahkan n-1 disk paling atas dengan mengikuti aturan ke tiang 3 dalam H n-1 langkah.  Kemudian, dengan menggunakan 1 langkah kita bisa memindahkan disk terbesar ke tiang 2.  Selanjutnya, pindahkan n-1 disk dari tiang 3 ke tiang 2, dengan mengikuti aturan dalam H n-1 langkah. Sehingga kita telah memecahkan puzzle dengan banyak langkah: H n = 2H n dan H 1 = 1.

8 Menara Hanoi…  Untuk mencari solusinya, dilakukan proses iteratif: H n = 2H n = 2(2H n-2 + 1)+1 = 2 2 H n = 2 2 (2H n-3 +1) = 2 3 H n : = 2 n-1 H n n-3 + … = 2 n n n-3 + … (deret geometri) = 2 n - 1  Jadi, untuk memindahkan 64 disk diperlukan langkah sebanyak: = 18,446,744,073,709,551,615.

9 Variasi Menara Hanoi Terdapat banyak variasi dari masalah Menara Hanoi. Yang tertua dan paling menarik adalah Reve’s puzzle (Henry Dudeney, 1907). Reve’s puzzle: Sama seperti masalah Menara Hanoi namun menggunakan 4 tiang.  Hingga kini belum ditemukan jumlah langkah minimum untuk puzzle dengan n disk.  Frame’s conjecture (Frame dan Stewart, 1939).

10 Contoh Ada berapa banyak string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan? Misalkan a n string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan. Tentukan relasi recurrence untuk a n. Solusi. Periksa: a 1 = 2 dan a 2 = 3. Ada dua cara mendapatkan string biner dengan panjang n yang tidak memuat 2 angka nol berurutan: string biner dengan panjang n-1 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan string biner dengan panjang n-2 yang tidak memuat 2 angka nol berurutan a n-1 a n-2 a n = a n-1 + a n

11 Contoh (Enumerasi Codeword) Suatu string desimal merupakan katakode yang valid dalam suatu sistem komputer jika string tersebut memuat sejumlah genap digit 0. Contoh valid dan tidak valid. Misalkan a n banyaknya katakode valid dengan panjang n. Tentukan relasi recurrence untuk a n. Solusi. Periksa: a 1 = 9. Ada dua cara mendapatkan katakode valid panjang n: Menambahkan 1 digit selain ‘0’ pada katakode valid panjang n-1 Menambahkan 1 digit ‘0’ pada katakode tak valid panjang n-1 9a n-1 10 n-1 - a n-1 a n = 8a n n-1

12 Soal (Bilangan Catalan) C n adalah banyaknya cara untuk mengelompokkan perkalian n+1 bilangan x 0. x 1. x 2 … x n, untuk menentukan urutan perkalian. Tentukan relasi recurrence untuk C n.


Download ppt "Teknik Counting Lanjut. Pendahuluan Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google