Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM."— Transcript presentasi:

1 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

2 TUGAS WORKSHOP SMA KELAS X SEMESTER 1 GEOMETRI DOSEN PENGAMPU : Drs. DJOKO PURNOMO, M.M

3

4 STANDAR KOMPETENSI: Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga KOMPETENSI DASAR:  Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga  Menentukan jarak dari titik ke garis, dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga  Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

5 6-1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG 6-2 MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG6-3 MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG

6 6-1-1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang 6-1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

7 6-2 MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang, dan Bidang ke Bidang

8 6-3 MENENTUKAN SUDUT DALAM RUANG Sudut antara Garis dan Garis Sudut antara Bidang dan Bidang6-3-2 Sudut antara Garis dan Bidang

9 6-1-1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang A.Titik sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (tidak berdimensi) B.Garis garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar C.Bidang dikatakan bidang jika mempunyai panjang dan lebar

10 D.Aksioma Garis dan Bidang Aksioma atau Postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sisitem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian Aksioma-Aksioma Euclides g B A

11 g B A α C BA α

12 Dalil 1 Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang Dalil 2 sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis) Dalil 3 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan Dalil 4 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

13 α C B A Dalil 1 Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang

14 α g A Dalil 2 sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis)

15 α h g Dalil 3 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan

16 α h g Dalil 4 sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

17 6-1-2 Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang A.Kedudukan Titik Terhadap Garis Titik Terletak Pada Garis Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g A g Titik di Luar Garis Jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B berada di luar garis h h B

18 g Segmen atau ruas garis AB sebagai wakil garis g a.Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis g adalah titik A dan titik B b.Titik-titik sudut kubus yang berada di luar garis g adalah titik- titik C, D, E, F, G, dan H Contoh: Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping A H G F E D C B

19 α B.Kedudukan Titik Terhadap Bidang Titik Terletak Pada Bidang Jika titik A dilalui oleh bidang α, maka titik A dikatakan terletak pada bidang α Titik di Luar Bidang Jika titik B tidak dilalui oleh bidang β, maka titik B berada di luar bidang β B β A

20 U Contoh: Simaklah kubus ABCD.EFGH pada gambar disamping Bidang DCGH sebagai wakil bidang U a.Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C, D, G, dan H b.Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang U adalah titik-titik A, B, F, dan E A H G F E D C B

21 6-1-3 Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidang A.Kedudukan Garis Terhadap Garis lain Dua Garis Berpotongan A α h g Dua Garis Berhimpit g α h Dua Garis sejajar g α h Dua Garis Bersilangan A α h g

22 α A h g Titik A berada diluar garis g. melalui titik A dan garis g dapat dibuat bidang α (dalil 2). Selanjutnya melalui titik A dapat dibuat sebuah garis h yang sejajar terhadap garis g Aksioma 4 melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu

23 k // l l // m k // m l k m Dalil 5 Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m

24 α k l g k // h dan k memotong g l // h dan l memotong g k, l, dan g terletak pada sebuah bidang Dalil 6 Jika garis k sejajar garis h dan memotong garis g, garis I sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang

25 α Q F l k k // l l menembus bidang α k menembus bidang α Dalil 7 Jika garis k sejajar garis l dan garis l menembus bidang α, maka garis k juga menembus bidang α

26 B.Kedudukan Garis Terhadap Bidang Garis Terletak Pada Bidang α A B g g Garis Sejajar Bidang α Garis Memotong atau menembus Bidang α A g

27 α g // h h terletak pada bidang α g // bidang α g h Dalil 8 Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α

28 β α g α melalui g g // bidang β ( α,β) // g (α,β)(α,β) Dalil 9 Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar bidang β maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g

29 α g // h h // bidang α g // bidang α Dalil 10 jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar dengan bidang α, maka garis g sejajar terhadap bidang α h g

30 α β α berpotongan dengan β α // g β // g ( α,β) // g (α,β)(α,β) Dalil 11 jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing- masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang α dan bidang β akan sejajar dengan garis g g

31 α β (α,β)(α,β) B A P g Titik Tembus garis dan Bidang yang Berpotongan

32 6-1-4 Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain Dua bidang Berimpit (α,β)(α,β) Dua bidang Sejajar α β Dua bidang Berpotongan (α,β)(α,β) α β

33 a // g b // h a dan b berpotongan pada bidang α g dan h berpotongan pada bidang β Bidang α // bidang β β α g a b h Dalil 12 jika garis a sejajar garis g dan garis b sejajar garis h, garis a dan garis b berpotongan terletak pada bidang α, garis g dan garis h berpotongan terletak pada bidang β, maka bidang α sejajar bidang β

34 bidang α // bidang β bidang γ memotong bidang α bidang β (α,γ) // (β,γ) α β (α,γ)(α,γ) (β,γ)(β,γ) Dalil 13 jika bidang α sejajar bidang β dan dipotong oleh bidang γ, maka garis potong (α,γ) sejajar dengan garis potong (β,γ)

35 g menembus α bidang α // bidang β g menembus bidang β Dalil 14 jika garis g menembus bidang a dan bidang a sejajar bidang b, maka garis g juga menembus bidang b α β A B g

36 Dalil 15 jika garis g sejajar bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga sejajar bidang β g sejajar bidang α bidang α // bidang β g // bidang β α β g

37 Dalil 16 jika garis g terletak pada bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g sejajar bidang β g terletak pada bidang α bidang α // bidang β g // bidang β α β g

38 Dalil 17 jika bidang α sejajar bidang β dan bidang γ memotong bidang α, maka bidang γ memotong bidang β bidang α // bidang β bidang γ memotong bidang α bidang γ juga memotong bidang β α β γ

39 Dalil 18 jika bidang α sejajar bidang β, dan bidang β sejajar bidang γ, maka bidang α sejajar bidang γ bidang α // bidang β bidang β // bidang γ bidang α // bidang γ α β γ

40 bidang α // bidang U bidang β // bidang V α dan β berpotongan pada garis ( α,β ) U dan V berpotongan pada garis (U,V) ( α,β ) // (U,V) Dalil 19 jika bidang α sejajar bidang U dan bidang β sejajar bidang V, bidang α dan bidang β berpotongan pada garis ( α,β ), bidang U dan bidang V berpotongan pada garis (U,V), maka garis ( α,β ) sejajar garis (U,V) β α (α,β)(α,β) V U ( U,V )

41 6-1-5 Menyelesaikan Soal-soal Lukisan Bidang CONTOH: Diketahui bidang U dan bidang V saling berpotongan. Titik A terletak pada bidang U, titik B dan C terletak pada bidang V seperti pada gambar disamping Lukislah bidang α yang melalui tiga titik. Titik A, titik B dan titik C S A B C V U

42 A B C V U ( α,U) R P Q ( β,V) α JAWAB: Analisis:  Bidang a melalui titik A,B, dan C, maka bidang a dan bidang V mempunyai titik persekutuan B dan C. dengan demikian (a,V) melalui titik B dan titik C yang diwakili oleh ruas garis PQ  Ruas garis PQ menembus bidang U di titik Q, sehingga bidang a dan bidang U mempunyai titik persekutuan di A dan Q. dengan demikian (a,U) melelui titik A dan titik Q yang diwakili oleh ruas garis QR  Bidang a yang diminta dilukis melalui ruas garis PQ dan ruas garis QR yang berpotongan di titik Q (ingat dalil 3). Gambar bidang a diwakili oleh jajargenjang PQRS

43 P g U V R Q Contoh: Diketahui bidang U dan bidang V saling berpotongan. Titik P terletak pada bidang U, garis g menembus bidang U di titik Q dan bidang V di titik R. Lukislah bidang a yang melalui garis g dan titik P

44 P g U V R Q α N K M L (α, V) (α, U) Ingat dalil 2 Melalui sebuah garis dan sebuah titik (titik diluar garis) hanya dapat dibuat sebuah bidang  Bidang a (bidang yang akan dilukis) dan bidang U mempunyai titik persekutuan P dan Q maka (a, U) melalui titik P dan titik Q yang diwakili oleh ruas garis KL  Ruas garis KL menembus bidang V di titik L, sehingga bidang a dan bidang V mempunyai titik persekutuan L dan R. dengan demikian (a,V) melalui titik L dan titik R yang diwakili oleh ruas garis LM  Bidang a yang diminta dilukis melalui ruas garis KL dan rias garis LM yang berpotongan di titik L. Ingat dalil 3. gambar bidang a diwakili oleh jajargenjang LMKN

45 h P k V U g Contoh: Garis g terletak pada bidang U dan garis h terletak pada bidang V, garis k memotong garis g dan menembus bidang V di titik P Lukislah garis x yang sejajar garis k serta memotong garis g dan h

46 h P k V U g Q x α R Jawab: Garis g dan garis k berpotongan, membentuk bidang a ( dalil 3) Garis h menembus bidang a di titik Q Melalui titik Q dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis k (aksioma 4) garis itu adalah garis x yang diminta, yaitu garis yang melalui titik Q dan R

47 Jarak Titik A ke Titik B A (x ₁,y₁) d B (x ₂,y₂)

48 Jarak Titik P ke garis g g ≡ ax + by + c = 0 P(x ₁,y₁)

49 Jarak Titik A ke Bidang α Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α Garis g menembus bidang α di titik Q Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta Q α d g A

50 Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan rusuk CG. Hitung jarak a)Titik A ke Titik BTitik A ke Titik B b)Titik A ke Titik CTitik A ke Titik C c)Titik A ke Titik DTitik A ke Titik D d)Titik A ke Titik GTitik A ke Titik G e)Titik A ke Titik PTitik A ke Titik P f)Titik B ke Titik PTitik B ke Titik P A H G F E D P C B

51 a)Jarak titik A ke titik B = Panjang ruas garis AB = Panjang rusuk AB = 5 cm A H G F E D C B A H G F E D C B

52 c)Jarak titik A ke titik D = Panjang ruas garis AD = panjang rusuk AD = 5 cm A H G F E D C B A H G F E D P C B

53 A H G F E D P C B

54 A H G F E D P C B

55 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. titik P pertengahan rusuk CG. Hitung jarak: a)Titik A ke garis BCTitik A ke garis BC b)Titik A ke garis FGTitik A ke garis FG c)Titik C ke garis FHTitik C ke garis FH d)Titik P ke garis CDTitik P ke garis CD e)Titik P ke garis BFTitik P ke garis BF f)Titik P ke garis BDTitik P ke garis BD A H G F E D P C B

56 a)Jarak titik A ke garis BC = AB = 5 cm A H G F E D C B A H G F E D C B

57 H A G F E D O C B O F C

58 e)Jarak titik P ke garis BF = PQ = CB = 5 cm A H G F E D P C B A H G F E D P C B Q

59 A H G F E D P C B R C R P

60 Bidang alas limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang, AB=4cm, BC=3cm, dan TA=TB=TC=TD=6,5cm Hitunglah: a)Panjang ACPanjang AC b)Jarak titik puncak T ke bidang alas ABCDJarak titik puncak T ke bidang alas ABCD 4 cmBA O D C T 3 cm 6,5 cm

61 4 cmBA O D C T 3 cm 6,5 cm

62 4 cmBA O D C T 3 cm 6,5 cm

63 6-2-2 Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang, Bidang ke Bidang A.Jarak Dua Garis SejajarJarak Dua Garis Sejajar B.Jarak Dua Garis BersilanganJarak Dua Garis Bersilangan C.Jarak Garis dan Bidang yang SejajarJarak Garis dan Bidang yang Sejajar D.Jarak Dua Bidang SejajarJarak Dua Bidang Sejajar

64 d h g B A α ⌞ ⌜ A.Jarak Dua Garis Sejajar h g α

65 B.Jarak Dua Garis Bersilangan h P β α g ⌝ d g h k Q P ⌝ β α g’

66 C.Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar α ⌜ Q P k g d α

67 D.Jarak Dua Bidang Sejajar β α β α ⌜ k Q d P

68 6-3-1Sudut Antara Garis dan Garis A.Sudut antara Dua Garis BerpotonganSudut antara Dua Garis Berpotongan B.Sudut antara Dua Garis BersilanganSudut antara Dua Garis Bersilangan 6-3-2Sudut Antara Garis dan Bidang 6-3-1Sudut Antara Bidang dan Bidang

69 A.Sudut antara Dua Garis Berpotongan Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α langkah-langkah menentukan sudut :  Ambil sebarang titik A pada garis g dan sebarang titik B pada garis h  Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h α g h A B P

70 B.Sudut antara Dua Garis Bersilangan Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Garis g menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α langkah-langkah menentukan sudut :  Ambil sebarang titik O pada bidang α  Melalui titik O, buatlah garis g’ sejajar dengan garis g dan garis h’ sejajar dengan garis h  Sudut tang dibentuk oleh garis g’ dan h’ ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan α g h O P g’ h’

71 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. hitung besar sudut antara: a)AH dan BF b)DE dan BG Jawab: a)Garis AH dan garis BF bersilangan. ∠(AH,BF)=∠(AH,AE)=∠EAH, sebab AE//BF Garis AH adalah diagonal sisi ADHE(berbentuk persegi) sehingga besar ∠EAH=45ᵒ A H G F E D C B jadi besar sudut antara garis AH dan garis BF adalah ∠ (AH,BF)=45 ᵒ

72 b)Garis DE dan garis BG bersilangan. ∠(DE,BG)=∠(DE,AH)=∠EOH, sebab AH//BG Garis AH dan garis DE adalah diagonal-diagonal sisi ADHE (berbentuk persegi) sehingga garis AH dan garis DE berpotongan tegak lurus di titik O, dengan demikian besar ∠EOH=90ᵒ jadi besar sudut antara garis DE dan garis BG adalah ∠ (DE,BG)=45 ᵒ. Dikatakan garis DE dan garis BG bersilangan tegak lurus A H G F E D C B O

73 6-3-2Sudut Antara Garis dan Bidang

74 Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm a)Hitung besar ∠ (AH, bidang ABCD) b)Jika sudut antara diagonal ruang AG dengan bidang alas ABCD adalah α, hitung sin α, cosα, tanα Jawab: a) ∠ (AH, bidang ABCD)= ∠ DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH dan garis AD. Sebab AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD ∆ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga ∠ DAH=45 ᵒ A H G F E D C B

75 A H G F E D C B

76 6-3-3Sudut Antara Bidang dan Bidang

77 Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm a)Hitung besar sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD b)Titik-titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengan rusuk tegak BF dan CG, hitung sinus sudut antara bidang EPQH dan bidang EFGH Jawab: a)Sudut antara bidang ADGF dengan ABCD adalah ∠ BAF atau ∠ CDG, ∠ BAF =45 ᵒ karena AF merupakan diagonal sisi ABFE jadi besar sudut antara ADGF dengan bidang ABCD =45 ᵒ A H G E C B F D

78 A H G E C B F D P Q

79 Pada limas segi empat T.ABCD, bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB= 8 cm, BC= 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. sudut β adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD. Htung cos β: 8 cm BA O D C T 6 cm 13 cm β Q R

80 SELAMAT BELAJAR


Download ppt "PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google