Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI. 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI. 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:"— Transcript presentasi:

1 BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

2 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:

3 Contoh 4.1

4 Contoh 4.2: 1. Buktikan bahwa 2.Buktikan bahwa Secara umum: dan

5 4.2. Fungsi Kontinu Definisi 4.2.1: Akibat Definisi 4.2.1:

6 Contoh: 1.f ( x ) = 3 – 4 x adalah kontinu di setiap titik c  R. 2. kontinu di setiap c  R 3. kontinu di (0,  ).

7 Teorema 4.2.2: Teorema f(x) kontinu di x = c jika dan hanya jika setiap (x n ) yang konvergen ke c maka (f(x n )) konvergen ke f(c).

8 Contoh 4.4:

9

10 Teorema 4.2.4:

11 Teorema 4.2.5:

12 Teorema 4.2.6: Jika f(x) kontinu di x = c dan g(x) kontinu di x = c, maka f + g dan f – g, juga kontinu di c. Teorema 4.2.7: Jika kontinu di c dan kontinu di f(c), maka kontinu di c.

13 Akibat Teorema 4.2.7: Jika f fungsi kontinu maka  f  dan juga fungsi kontinu. Bukti:

14 4.3. Keterbatasan Fungsi Kontinu Keterbatasan suatu fungsi pada suatu interval tidak menjamin kekontinuan fungsi tersebut, dan Sebaliknya. Sebagai contoh, fungsi: 1. f(x) = x 2 kontinu di R walaupun tdk trbatas di R. 2. tidak terbatas dan tidak kontinu di [0,  ). 3. adalah terbatas tapi tidak kontinu di R. 4. f(x) = x 2 kontinu dan sekaligus terbatas di [0, 1].

15 Teorema 4.3.1: Jika f(x) kontinu di c, maka ada  > 0 sehingga f(x) terbatas di. Teorema 4.3.2: Jika f(x) kontinu di x = c dan g(x) kontinu di x = c, maka f. g dan f/g dengan syarat g(c)  0, juga kontinu di c.

16 Definisi 4.3.3:

17 Contoh: Fungsi kontinu kanan tapi tidak kontinu kiri pada setiap bilangan bulat x

18 Contoh: Dalam hal ini f kontinu kanan di x = 0 tapi tidak kontinu kiri di x = 0. Fungsi f kontinu kanan di x = 0 dan juga kontinu kiri di x = 0, sehingga f kontinu di setiap bilangan real x

19 Akibat Definisi 4.3.3: f(x) adalah kontinu di interval tutup [a, b] jika 1. f kontinu di (a, b) 2. f kontinu kanan di a 3. f kontinu kiri di b

20 Teorema 4.3.4: Teorema 4.3.5: Jika f(x) kontinu pada interval tutup dan terbatas [a, b], maka f(x) terbatas di [a, b].

21 Akibat Teorema 4.3.5: Jika f(x) kontinu di [a, b], maka f(x) terbatas di [a, b], sehingga f(x) mempunyai supremum dan infimum di [a, b].

22 Contoh:

23 f(x) terbatas di [0, 3] karena ada M = 6 sehingga

24 Teorema (Teorema Nilai Rata-Rata Bolzano): Jika f(x) kontinu di [a, b] dan ada bilangan k  R sehingga k terletak antara f(a) dan f(b), maka ada c  (a, b) sehingga f(c) = k.

25 Bukti: Definisikan fungsi g(x) = f(x) – k, sehingga g(a) = f(a) – k dan g(b) = f(b) – k. Karena f(a) < k < f(b), maka g(a) < 0 < g(b). Selanjutnya karena g(x) juga fungsi kontinu, maka pasti ada c  (a, b) sehingga g(c) = 0. Artinya g(c) = f(c) – k = 0, sehingga f(c) = k.

26 4.4. Kontinu Seragam Definisi 4.4.1: Catatan:  =  (  ) berarti  hanya tergantung pada  saja.

27

28 Contoh : 1.f(x) = 5 – 4x kontinu seragam di R Namun demikian f(x) kontinu seragam di interval [0, 4]

29 Kriteria Tidak Kontinu Seragam Misalkan f : A  R sebuah fungsi, maka pernyataan berikut adalah ekivalen: i. f tidak kontinu seragam di A.

30 Contoh:

31 Teorema 4.4.2: Jika f kontinu seragam di A maka f kontinu di setiap titik dalam A. Bukti: Jelas, dari definisi. ■ Teorema 4.4.3: Jika f kontinu pada interval tutup dan terbatas [a, b], maka f kontinu seragam pada [a, b].

32 Definisi 4.4.4: Fungsi f : A  R disebut fungsi Lipschitz ( atau memenuhi syarat Lipschitz) apabila terdapat sebuah konstanta K > 0 sehingga untuk semua x, u  A.

33 Contoh: f(x) = x 2 adalah fungsi Lipschitz pada interval [0, a], karena ada K = 2a > 0 sehingga

34 Teorema 4.4.5: Jika f : A  R fungsi Lipschitz, maka f kontinu seragam di A Bukti:

35 Latihan:

36 Latihan (lanjutan)

37

38


Download ppt "BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI. 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google