Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai dan Vektor Eigen.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai dan Vektor Eigen."— Transcript presentasi:

1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai dan Vektor Eigen

2 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Mengingat kembali: perkalian matriks Diberikan matriks A 2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula v dan Av sejajar Jawab: w dan Aw sejajar u dan Au TIDAK sejajar

3 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan 1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0

4 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia AxAx Perkalian vektor dengan matriks A x = x λ x AxAx x x dan Ax sejajar

5 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Perkalian vektor dengan matriks y x 1 4 y x y x =2 =1 = k Au = 2u Av = vAw ≠ kw

6 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di R n disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Syarat perlu: v ≠ 0 (1) λ ≥ 1(2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1

7 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A, Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ A x sejajar x A x = x λ

8 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A. A = Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol x λ x x vektor tak nol Ax = λx

9 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen 1. nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x 3.SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det( I-A) = 0

10 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n-2 λ n-2 + …+ c 1 λ+ c 0 suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n-2 λ n-2 + …+ c 1 λ+ c 0 = 0 disebut persamaan karakteristik Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. A-λI det λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n-2 λ n-2 + …+ c 1 λ+ c 0 λIλIA - = = 0 persamaan karakteristik A-λI =

11 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Contoh Mencari semua nilai eigen A= Mencari semua penyelesaian persamaan Mencari penyelesaian persamaan karakteristik Nilai eigen A adalah det 2 - λ0 = λ ( )( ) = λ 1 - λ λ1 - λ

12 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: 1.Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ + c n-1 λ n-1 +c n-2 λ n-2 + …+ c 1 λ+ c 0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.

13 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi 1.Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 2.Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: 3.Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Nilai-nilai eigen A: λ 1 = 0 λ 2 = 2 λ 3 = 3 Nilai-nilai eigen A: λ 1 = 0 λ 2 = 2 λ 3 = 3

14 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Persamaan karakteristik: Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama)

15 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A 4 nilai eigen A

16 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Kelipatan skalar vektor eigen Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A Ax = 2 xA(10x) = 2 (10x) A =x λ x A = (10) λ xx

17 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Kelipatan skalar vektor eigen Ax = 2 xA(1/2 x) = 2 (1/2 x) A =x λ x Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama A = (1/2) λ xx

18 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Menentukan semua vektor eigen E λ Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Null(A - λ I) Null(A - λ I)-{0} Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Himpunan semua vektor eigen bersesuaian dengan λ 0

19 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Ruang Eigen 0 Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Null ( A - λ I)x Ruang Eigen Eλ Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Null(A - λ I) = E λ Menentukan E λ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

20 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Menentukan ruang eigen E λ Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. SPL (A - 3 I)x = 0 Penyelesaian Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : Himpunan penyelesaian

21 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai eigen matriks pangkat Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. Tentukan nilai eigen untuk Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A 2 x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A 2 x = λ 2 x jadi, λ 2 merupakan nilai eigen A 2 Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λ n adalah nilai eigen A n

22 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai eigen matriks singular Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse. Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse.

23 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai eigen matriks transpose Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A,  maka det(A- I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,  maka det(A- I) T = 0 Karena (A- I) T = (A T - I),  maka det(A T - I)= 0 Jadi, adalah nilai eigen dari A T A dan A T mempunyai nilai eigen yang sama det(B) = det(B T ) (A- I) T = (A T - I) det(B) = det(B T ) (A- I) T = (A T - I) A dan A -1 mempuyai nilai eigen yang sama

24 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P -1 AP = D adalah matriks diagonal. Contoh: P -1 AP= Matriks diagonal A dapat didiagonalkan

25 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Kapan matriks A dapat didiagonalkan? Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1)  (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P -1 AP = D matriks diagonal

26 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P -1 AP = D, kalikan dengan P -1, AP = PD AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ 1, λ 2, λ 3, …,λ n merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman.

27 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Prosedur mendiagonalkan matriks Diberikan matriks A nxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP -1 = D. Prosedur 1.Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p 1, p 2, p 3, …, p n 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p 1, p 2, p 3, …, p n 3. Mariks D = P -1 AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ 1, λ 2, λ 3, …,λ n dengan λ j adalah nilai eigen bersesuaian dengan p j untuk j = 1, 2, 3, …, n

28 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Contoh: mendiagonalkan matriks Diberikan matriks A nxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP -1 = D. Prosedur 1.Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ 1 = 2 dan λ 2 = -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh 2.Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas. 3. Matriks D = P -1 A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ 1, λ 2 berturut-turut

29 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen Masalah vektor eigen Diberikan matriks A nxn, apakah terdapat basis di R n terdiri atas vektor-vektor eigen? Masalah diagonalisasi Diberikan matriks A nxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga nP -1 AP adalah matriks diagonal? Teorema: A nxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di R n merupakan basis R n. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi


Download ppt "Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai dan Vektor Eigen."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google