Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia."— Transcript presentasi:

1

2

3 Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

4 Mahasiswa mampu 1. Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut. 2. Merepresentasikan sebuah fungsi dua peubah sebagai grafik permukaan, dan membuat sketsa kurva ketinggian dengan bantuan TIK. 3. Memvisualisasikan grafik permukaan dan kurva ketinggian secara tepat. 4. Menghitung turunan parsial dan gradien 5. Menggunakan gradien untuk mencari bidang singgung, turunan berarah, dan menginterpretasikan secara geometri Hanya digunakan di Universitas Indonesia

5 Mahasiswa mampu: 6. Menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi turunan fungsi n peubah. 7. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis dari fungsi multivariabel dengan menggunakan uji turunan kedua. 8. Menggunakan metode Lagrange untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi multivariabel dengan kendala. 9. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk melakukan prediksi. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

6

7 Fungsi dua variabel : adalah aturan f yang mengaitkan setiap pasangan terurut di daerah asal D yang berupa bidang dengan tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan. disebut variabel bebas fungsi dan z adalah variabel terikat. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

8 Tentukanlah daerah asal dari fungsi Hanya digunakan di Universitas Indonesia. Penyelesaian Daerah asal dari f adalah semua (x,y) sedemikian sehingga y ^2 -x ≥0 dan titik (2,0) tidak termasuk. Dari ketaksamaan y^ 2- x diperoleh daerah adadaaa.

9 Grafik fungsi dua variabel adalah gambar dari persamaan berupa permukaan di ruang dengan koordinat titiknya adalah yang memenuhi persamaan. Setiap titik di daerah asal berkorespondensi dengan tepat satu titik z. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

10 Sketsalah grafik dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia Penyelesaian : Cari titik-titik potong bidang terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut : Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah : (0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).

11 Sketsalah grafik dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia. Penyelesaian Mula-mula gambar grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan. Berikutnya gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda, misalnya z=1, z=2, z=3, dst., dengan daerah alas berbentuk lingkaran x^2/+/y^2/=/9-z/

12 Bila kita perhatikan kedua grafik ini, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

13 Sketsalah grafik dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia.. Penyelesaian Grafik ini ekivalen dengan grafik persamaan 2x^2+y^2+2z^2=4 di atas bidang z=0 Gambar dulu grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan y^2+2z^2=4 Gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips

14 Grafik persamaan f menjadi grafik elipsioda. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

15 Untuk menggambar permukaan dari fungsi seringkali amat sukar. Cara lain yang lebih mudah adalah dengan menggambarkan peta kontur. Setiap bidang z=c memotong permukaan di suatu kurva. Proyeksi kurva ini di bidang-xy disebut kurva ketinggian. Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah yang disebut sebagai peta kontur. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

16 Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3. Penyelesaian: Gambarlah kurva-kurva dari pada ketinggian z=-4; -3; -2; - 1; 0; 1; 2; 3; dan 4 Kurva-kurva ini berbentuk lingkaran. Hanya digunakan di Universitas Indonesia Peta kontur

17 Hanya digunakan di Universitas Indonesia Peta Kontur

18 Hanya digunakan di Universitas Indonesia

19 Secara intuitif, ide limit untuk fungsi dua variabel serupa dengan ide limit pada fungsi satu variabel. Suatu nilai fungsi f(x,y) dikatakan mendekati L apabila (x,y) juga mendekati titik (a,b). Masalah : pada limit fungsi dua variabel, (x,y) menghampiri (a,b) dari segala arah. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

20 Fungsi f(x,y) dikatakan memiliki limit L apabila (x,y) mendekati (a,b) jika: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap (x,y) di daerah asal f yang memenuhi maka Penulisannya adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

21 Misalkan dan Maka: Jika m, n adalah bilangan bulat dan n≠0, maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

22 Bila sifat limit kita aplikasikan pada fungsi polinom atau fungsi rasional, maka menghitung limit fungsi apabila dapat dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di. Contoh: Carilah Penyelesaian: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

23 1. Carilah 2. Tunjukkan Hanya digunakan di Universitas Indonesia

24 Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan sebagai tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Penyelesaian: ◦ Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali di titik asal (0,0). ◦ Nilai f di sumbu-x, kecuali di titik asal, adalah ◦ Akibatnya, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

25 Nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal dari sumbu-y adalah Jadi, fungsi f tidak memiliki limit di (0,0) karena terdapat sembarang titik dekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat dengan (0,0) memiliki nilai -1. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

26 Jika fungsi memiliki nilai limit yang berbeda dari dua lintasan mendekati, maka tidak ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

27 Tunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Petunjuk: ◦ Carilah nilai fungsi f di garis y=mx, dengan m konstanta yang berubah-ubah dan x≠0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

28 Untuk setiap nilai m, fungsi f bernilai konstan sepanjang garis y=mx, x≠0 karena Hanya digunakan di Universitas Indonesia Nilai limit fungsi f pada saat y=mx berubah-ubah sesuai dengan nilai m, sebab f tidak punya limit di (0,0). Akibatnya, f tidak punya limit di (0,0).

29 Fungsi f dikatakan kontinu di titik (a,b) jika 1.f terdefinisi di (a,b) 2. ada 3. Fungsi f dikatakan kontinu apabila f kontinu di setiap titik di daerah asal. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

30 Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif atau perilaku tak terbatas di sekitar (a,b). Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang. Fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang kecuali di titik-titik yang memberikan nilai pembaginya sama dengan nol. Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa pembagi nol diabaikan). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

31

32 Bidang y=y 0 (PQR) memotong permukaan z=f(x,y) di kurva z=f(x,y 0 ) (busur QR). Kurva ini adalah grafik dari fungsi z=f(x,y 0 ) yang merupakan fungsi satu variabel x. Turunan parsial f terhadap x di titik (x 0,y 0 ) adalah turunan biasa dari f(x,y 0 ) terhadap x di x 0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

33 Nilai turunan parsial dari f terhadap x pada titik (x 0,y 0 ) memiliki arti geometri: 1. Kemiringan kurva z=f(x,y 0 ) (busur QR) di titik pada bidang y=y 0 (PQR). ATAU 2. Laju perubahan dari f di (x 0,y 0 ) terhadap x dengan menganggap y tetap yaitu y=y 0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

34 Turunan Parsial terhadap xTurunan Parsial terhadap y Turunan parsial f(x,y) terhadap x pada titik (x 0,y 0 ) adalah dengan asumsi limitnya ada. Turunan parsial f(x,y) terhadap y pada titik (x 0,y 0 ) adalah dengan asumsi limitnya ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

35 Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari Penyelesaian : Hanya digunakan di Universitas Indonesia Untuk mencari ∂f/∂x, pandang y sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap x : Untuk mencari ∂f/∂y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y:

36 1. Cari turunan parsial dan di dari 2. Tentukan dan dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia

37 Pada fungsi satu variabel,jika fungsi terturunkan di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua atau lebih variabel, turunan parsial terhadap x dan terhadap y di suatu titik tidak menjamin kekontinuan fungsi di titik tersebut. Jika turunan parsial dari z=f(x,y) ada dan turunan parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang berpusat di (x 0,y 0 ), barulah kita katakan fungsi kontinu di (x 0,y 0 ). Perhatikanlah contoh berikut. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

38 Misalkan dan ada di titik asal (0,0), yaitu: Nilai f sepanjang garis adalah 0, kecuali di titik (0,0). Maka, Karena dan maka f tak kontinu di (0,0). Namun demikian, turunan parsial dan ada di titik asal (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

39 Ada 4 macam turunan orde dua dari fungsi dua variabel

40 Carilah turunan parsial kedua dari fungsi Hanya digunakan di Universitas Indonesia Penyelesaian :

41 Pada fungsi dua variabel, keterturunan juga berkaitan dengan eksistensi bidang singgung. Namun, keterturunan fungsi dua variabel memerlukan lebih dari sekedar turunan parsial yang hanya menyatakan perilaku f dari dua arah saja. Dengan demikian, eksistensi turunan parsial tidak menjamin keterturunan suatu fungsi dua variabel. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

42

43 Aturan Rantai

44 Hanya digunakan di Universitas Indonesia Misalkan dengan,, carilah Penyelesaian Fungsi z,x,dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan maka

45 Jika dengan,, carilah ∂z/∂s dan ∂z/∂t. Penyelesaian Karena fungsi x dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan dan z adalah fungsi logaritma yang juga terturunkan, maka ∂z/∂s dan ∂z/∂t ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

46

47 Misalkan mendefinisikan secara implisit y sebagai fungsi dari x. Maka turunannya: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

48 Carilah dy/dx dari persamaan berikut : Penyelesaian Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut. Kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita peroleh nilai dy/dx, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

49

50

51 Turunan parsial fungsi dua variabel terhadap-x memiliki arti geometri sebagai laju perubahan f dalam arah i (arah sumbu- x) Bagian ini adalah mempelajari laju perubahan f dalam sebarang arah vektor u Limit ini, jika ada, adalah turunan berarah dari f di p dalam arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

52 Vektor u menyatakan garis L pada bidang-xy yang melalui (x 0, y 0 ). Bidang yang melalui L dan tegak lurus bidang-xy memotong permukaan z=f(x,y) pada kurva C. Garis singgung di titik (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) memiliki kemiringan D u f(x 0, y 0 ). Jadi, D u f(x 0, y 0 ) menyatakan laju perubahan f pada arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

53 Misalkan dan turunan parsial di. Gradien dari f di p adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

54 Gradien dari f di p,, adalah suatu vektor Di setiap titik pada domain, adalah vektor normal terhadap kurva ketinggian yang melalui Hanya digunakan di Universitas Indonesia

55 Perkalian dengan konstanta α Penjumlahan dan pengurangan Perkalian Pembagian Hanya digunakan di Universitas Indonesia

56 Misalkan f terturunkan di Maka f mempunyai turunan berarah di p dengan arah vektor satuan dan yaitu Hanya digunakan di Universitas Indonesia

57 Carilah turunan berarah dari di titik dengan arah Penyelesaian Gradien dari f adalah Gradien f di adalah Jadi, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

58


Download ppt "Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google