Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN."— Transcript presentasi:

1 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN

2 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.

3 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan

4 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Menurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen terhadap n”. Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara kedua bilangan itu. Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan a ≡ b (mod n) jika n | (a – b) Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7) Contoh 2: 25 ≡ 12 (mod 7) /

5 TUJUAN MATERI ILUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari ! Di dalam kongruensi a ≡ b (mod n) Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ? Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a, b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ? Kita mengetahui bahwa –33 ≡ 9 (mod 7) –33 ≡–12 (mod 7) –33 ≡ 2 (mod 7) Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ? Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah tentukan sisa pembagian dibagi dengan 7

6 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat (1) a ≡ a (mod n) (2) a ≡ b (mod n)  b ≡ a (mod n) (3) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)  a ≡ c (mod n) (4) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  a + c ≡ b + d (mod n) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  ac ≡ bd (mod n) (5) a ≡ b (mod n)  a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n) (6) a ≡ b (mod n)  a k ≡ b k (mod n) untuk k  N

7 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7. Pembahasan Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0  a < 7 sehingga ≡ a (mod 7) Perhatikan 53 ≡ 4 (mod 7)  53 3 ≡ 4 3 (mod 7)  53 3 ≡ 1 (mod 7)  (53 3 ) 670 ≡ (mod 7)  ≡ 1 (mod 7)  ≡ (mod 7)  ≡ 53 2 (mod 7)  ≡ 2 (mod 7) Ini artinya dibagi 7 sisanya adalah 2

8 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa 7 | 5 2n n-2 Pembahasan Kita akan membuktikan bahwa 5 2n n-2 ≡ 0 (mod 7) Perhatikan 5 2 ≡ 4 (mod 7)  5 2n ≡ 4 n (mod 7) (1) Sedangkan 2 5 ≡ 4 (mod 7)  2 5(n – 1) ≡ 4 (n – 1) (mod 7)  2 5(n – 1). 2 3 ≡ 4 (n – 1). 2 3 (mod 7) Dari (1) dan (2) : 5 2n n-2 ≡ 4 n n-1 (mod 7) Ini artinya 7 | 5 2n n-2  2 5n – 2 ≡ 4 (n – 1) (mod 7)  n – 2 ≡ 3. 4 (n – 1) (mod 7) (2)  5 2n n-2 ≡ 4. 4 n n-1 (mod 7)  5 2n n-2 ≡ 7. 4 n-1 (mod 7)  5 2n n-2 ≡ 0 (mod 7)

9 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN 1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini: a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m) b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n) c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d) 2.Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a 2 ≡ b 2 (mod n) tida perlu mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n) 3.Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n) 4. Carilah sisanya apabila 2 50 dan dibagi dengan 7 5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan dibagi dengan 4.

10 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN 7.Buktikan bahwa dapat dibagi dengan 39, dan bahwa dapat dibagi dengan 7. 8.Untuk n > 1, gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian di bawah ini a. 13 | 3 n n+1 b. 27 | 2 5n n+2 c. 43 | 6 n n+1 9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa 89| 2 44 – 1 dan 97 | 2 48 –1 10.Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n). 11.Jika a ≡ b (mod n 1 ) dan a ≡ c (mod n 2 ), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana bilangan bulat n = fpb(n 1, n 2 )

11 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN Terima kasih


Download ppt "TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI POKOK BAHASAN."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google