TRANSFORMASI PEUBAH ACAK

Presentasi berjudul: "TRANSFORMASI PEUBAH ACAK"— Transcript presentasi:

1 TRANSFORMASI PEUBAH ACAK
P.MAT 2012 Bahan ajar Statistika Matematis Oleh: ENDANG LISTYANI

2 STATISTIKA MATEMATIS Referensi
INTRODUCTION TO PROBABILITY ANG MATHEMATICAL STATISTICS Lee J. Bain Max Engelhardt Chapter 6 sd 9

3 Bab 6Transformasi Peubah Acak dan Statistik Urutan
Bab 7 Distribusi Limit Bab 8 Distribusi Sampling Bab 9 Estimasi Titik Bobot Penilaian USEM 40% USIP 35% TUGAS 25%

4 Transformasi Peubah Acak
Jika Y = u(X) merupakan fungsi satu-satu, maka Y mempunyai invers, yaitu X = = w(y) Teorema. (Untuk Peubah acak Diskret) Andaikan X peubah acak diskret dengan fp dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu, maka fp dari Y adalah y B, dengan

5 Transformasi Peubah Acak Diskret
Bukti Misalkan XGEO(p), Jika Y = X  1, tentukan fungsi peluang untuk Y Jawab Y = X – 1 fungsi satu-satu sehingga Y mempunyai invers X = w(y) = y + 1 P(Y=y) = P(u(X) =y) Contoh

6 Transformasi Peubah Acak Diskret
Sehingga

7 Transformasi Peubah Acak Diskret
Soal 2 Misalkan X ~ Bin(n,3/4). Jika Y = 3X, tentukan f.p dari Y Jawab

8 Transformasi Peubah Acak Diskret
Soal 3 Peubah acak X berdistribusi poisson dengan parameter Jika Y = ½ X – 3, tentukan fungsi peluang dari Y Jawab

9 Transformasi Peubah Acak Diskret
Soal 4 Peubah acak Tentukan fungsi peluang dari

10 Langkah penyelesaian, menentukan: f.p bersama dari
f.p bersama dari Y dan Z dengan Z = atau Z = 3. f.p batas/marginal dari Y

11 Penyelesaian

12 Penyelesaian y = 0,1,2, z= 0,1,2, . . . z y

13 Transformasi Peubah Acak
Teorema. (Utk p.a. Kontinu) Andaikan X peubah acak kontinu dengan fkp dan Y = u(X) adalah fungsi satu-satu dari ke dengan fungsi invers x = w(y). Jika turunan kontinu dan tidak nol pada B, maka fkp dari Y adalah y B

14 Transformasi Peubah Acak
Bukti Jika Y=u(X) monoton naik P(Y≤ y) = P(u(X) ≤ y) = P(X ≤ )

15 Y=u(X) y u(X) x

16 Transformasi Peubah Acak
Jika Y = u(X) monoton turun P(Y y) = P(u(X) y) = P(X > w(y)) = 1 – P(X w(y) ) = 1 -

17 y Y=u(X) u(X) x

18 Transformasi Peubah Acak
Karena maka Soal 1 Jika X p.a. dengan f.p = 2x untuk 0 < x < 1, dan Y = 2x, tentukan f.p dari Y

19 Soal- soal Soal 2 Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x) untuk x >0 dan 0 untuk x yang lain, tentukan f.p dari Y = exp(-x) Soal 3 Jika p.a X ~ N(µ, ) dan Y = a + bX Tentukan f.p dari Y

20 Jika X p.a. dengan f.p f(x) = 2x untuk
Penyelesaian Soal 1 Jika X p.a. dengan f.p f(x) = 2x untuk 0 < x < 1, dan Y = 2X, tentukan f.p dari Y Jawab w(y) = X= ½ y dx/dy= ½ f(y) = 2. ½ y . ½ = ½ y , 0 < y < 2

21 Penyelesaian Soal 2 Jika p.a X mempunyai f.p f(x) = exp(-x) untuk x >0 dan 0 untuk x yang lain, tentukan f.p dari Y = exp(-x) Jawab

22 w(y) = x = - ln y dx/dy = - 1/y

23 Penyelesaian Soal 3 Jika p.a X ~ N(µ, ) dan Y = a + bX Tentukan f.p dari Y Jika p.a X ~ N(µ, )

24 TRANSFORMASI P.A KONTINU BIVARIAT
Dilakukan dengan langkah-langkah sbb Menentukan 1) fp bersama dari

25 4) Daerah batas untuk Y1 dan Y2

26

27 X1 dan X2 p.a salaing bebas dengan f.p
Contoh X1 dan X2 p.a salaing bebas dengan f.p Tentukan fp dari Y1 = X1 + X2

28 Penyelesaian = 1

29 Daerah batas untuk Y1 dan Y2
x1>0 , 0< x2 <1 maka y1-y2 > 0 dan 0<y2<1 Y2 y1=y2 Y1

30 F.p bersama dari Y1 dan Y2

31

32 Soal 1)

33 Penyelesaian

34 Y2 y1=y2 Y1 y1=-y2

35

36