Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi."— Transcript presentasi:

1 Aplikasi Inklusi-Eksklusi

2 Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga ke himpunan hingga lainnya. Masalah derangement: penitipan topi (“the hatcheck problem”)

3 Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N. A i : subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat P i. banyaknya anggota dengan semua sifat maka banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat maka Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

4 Contoh 1 Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x 1 + x 2 + x 3 = 11 dengan x 1, x 2, x 3 bilangan bulat tak negatif dan x 1  3, x 2  4, dan x 3  6. Solusi. Misalkan P 1 : sifat x 1 > 3, P 2 : sifat x 2 > 4, dan P 3 : sifatx 3 > 6. Maka banyaknya solusi adalah:

5 Contoh 1… N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78 N(P 1 ): jumlah solusi dengan x 1  4 = C(3+7-1,7) = 36 N(P 2 ): jumlah solusi dengan x 2  5 = C(3+6-1,6) = 28 N(P 3 ): jumlah solusi dengan x 3  6 = C(3+5-1,5) = 15 N(P 1 P 2 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 2  5 = C(3+2-1,2) = 6 N(P 1 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 3  7 = C(3+0-1,0) = 1 N(P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 2  5 dan x 3  7 = 0 N(P 1 P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4, x 2  5 dan x 3  7 = 0 Jadi, N(P 1 ’P 2 ’P 3 ’) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6

6 The Sieve of Erotosthenes Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut. Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100. Solusi. Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10. Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.

7 The Sieve of Erotosthenes… Misalkan P 1 : sifat bilangan habis dibagi 2, P 2 : sifat bilangan habis dibagi 3, P 3 : sifat bilangan habis dibagi 5, dan P 4 : sifat bilangan habis dibagi 7. Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P 1 ’ P 2 ’ P 3 ’ P 4 ’) Jadi, menurut inklusi-eksklusi:

8 The Sieve of Erotosthenes… 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899 100 123579 1113151719 2123252729 3133353739 4143454749 5153555759 6163656769 7173757779 8183858789 9193959799 12357 11131719 232529 313537 41434749 535559 616567 71737779 838589 919597 12357 11131719 2329 3137 41434749 5359 6167 71737779 8389 9197 12357 11131719 2329 3137 414347 5359 6167 717379 8389 97

9 Banyaknya fungsi pada Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota? Solusi. Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b 1, b 2, dan b 3. Misalkan P 1, P 2, dan P 3 adalah sifat bahwa b 1, b 2, dan b 3 tidak berada dalam range fungsi. Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P 1, P 2, atau P 3, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

10 Banyaknya fungsi pada… N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 3 6. N(P i ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dalam range = 2 6. N(P i P j ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dan b j dalam range = 1 6 = 1. N(P 1 P 2 P 3 ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b 1, b 2, dan b 3 dalam range = 0. Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah 3 6 - C(3,1) 2 6 + C(3,2) 1 – 0 = 540

11 Banyaknya fungsi pada & aplikasinya Teorema 1 Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m  n. Maka, terdapat n m - C(n,1) (n-1) m + C(n,2) (n-2) m – … + (-1) n-1 C(n,2) 1 m fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Soal 1. Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan? Soal 2. Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?

12 Derangements Derangement adalah permutasi obyek-obyek, di mana tidak ada obyek yang menempati tempat aslinya. Contoh 3. Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456. Permutasi 653124 bukanlah derangement dari 123456. Misalkan D n menyatakan banyaknya derangement dari n obyek. Contoh 4. D 3 = 2

13 Banyaknya derangement dari n obyek Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat P i jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya. Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat P i, i=1,2,…,n. Jadi, oN: banyaknya permutasi dengan n anggota = n! oN(P i ): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)! oN(P i P j ): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)! oN(P i1 P j2 …P jm ): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)!

14 Banyaknya derangement dari n obyek … Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n anggota, maka o  N(P i ) = C(n,1) (n-1)! o  N(P i P j ) = C(n,2) (n-2)! oDan secara umum,  N(P i1 P j2 …P jm ) = C(n,m) (n-m)! Sehingga, Teorema 2. Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah

15 The Hatcheck Problem Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi suatu rumah makan menerima titipan topi dari n pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topi- topi tersebut. Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali.

16 The Hatcheck Problem… Solusi. Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali adalah Jika n membesar tanpa batas.


Download ppt "Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google