Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi."— Transcript presentasi:

1 Aplikasi Inklusi-Eksklusi

2 Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga ke himpunan hingga lainnya. Masalah derangement: penitipan topi (“the hatcheck problem”)

3 Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N. A i : subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat P i. banyaknya anggota dengan semua sifat maka banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat maka Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

4 Contoh 1 Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x 1 + x 2 + x 3 = 11 dengan x 1, x 2, x 3 bilangan bulat tak negatif dan x 1  3, x 2  4, dan x 3  6. Solusi. Misalkan P 1 : sifat x 1 > 3, P 2 : sifat x 2 > 4, dan P 3 : sifatx 3 > 6. Maka banyaknya solusi adalah:

5 Contoh 1… N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78 N(P 1 ): jumlah solusi dengan x 1  4 = C(3+7-1,7) = 36 N(P 2 ): jumlah solusi dengan x 2  5 = C(3+6-1,6) = 28 N(P 3 ): jumlah solusi dengan x 3  6 = C(3+5-1,5) = 15 N(P 1 P 2 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 2  5 = C(3+2-1,2) = 6 N(P 1 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4 dan x 3  7 = C(3+0-1,0) = 1 N(P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 2  5 dan x 3  7 = 0 N(P 1 P 2 P 3 ): jumlah solusi dengan x 1  4, x 2  5 dan x 3  7 = 0 Jadi, N(P 1 ’P 2 ’P 3 ’) = =6

6 The Sieve of Erotosthenes Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut. Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100. Solusi. Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10. Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.

7 The Sieve of Erotosthenes… Misalkan P 1 : sifat bilangan habis dibagi 2, P 2 : sifat bilangan habis dibagi 3, P 3 : sifat bilangan habis dibagi 5, dan P 4 : sifat bilangan habis dibagi 7. Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P 1 ’ P 2 ’ P 3 ’ P 4 ’) Jadi, menurut inklusi-eksklusi:

8 The Sieve of Erotosthenes…

9 Banyaknya fungsi pada Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota? Solusi. Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b 1, b 2, dan b 3. Misalkan P 1, P 2, dan P 3 adalah sifat bahwa b 1, b 2, dan b 3 tidak berada dalam range fungsi. Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P 1, P 2, atau P 3, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah

10 Banyaknya fungsi pada… N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 3 6. N(P i ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dalam range = 2 6. N(P i P j ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b i dan b j dalam range = 1 6 = 1. N(P 1 P 2 P 3 ): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b 1, b 2, dan b 3 dalam range = 0. Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah C(3,1) C(3,2) 1 – 0 = 540

11 Banyaknya fungsi pada & aplikasinya Teorema 1 Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m  n. Maka, terdapat n m - C(n,1) (n-1) m + C(n,2) (n-2) m – … + (-1) n-1 C(n,2) 1 m fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Soal 1. Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan? Soal 2. Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?

12 Derangements Derangement adalah permutasi obyek-obyek, di mana tidak ada obyek yang menempati tempat aslinya. Contoh 3. Permutasi adalah derangement dari Permutasi bukanlah derangement dari Misalkan D n menyatakan banyaknya derangement dari n obyek. Contoh 4. D 3 = 2

13 Banyaknya derangement dari n obyek Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat P i jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya. Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat P i, i=1,2,…,n. Jadi, oN: banyaknya permutasi dengan n anggota = n! oN(P i ): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)! oN(P i P j ): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)! oN(P i1 P j2 …P jm ): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)!

14 Banyaknya derangement dari n obyek … Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n anggota, maka o  N(P i ) = C(n,1) (n-1)! o  N(P i P j ) = C(n,2) (n-2)! oDan secara umum,  N(P i1 P j2 …P jm ) = C(n,m) (n-m)! Sehingga, Teorema 2. Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah

15 The Hatcheck Problem Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi suatu rumah makan menerima titipan topi dari n pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topi- topi tersebut. Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali.

16 The Hatcheck Problem… Solusi. Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali adalah Jika n membesar tanpa batas.


Download ppt "Aplikasi Inklusi-Eksklusi. Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif Banyaknya fungsi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google