Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Deret Taylor & Maclaurin.  Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x),..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Deret Taylor & Maclaurin.  Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x),..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f."— Transcript presentasi:

1 Deret Taylor & Maclaurin

2  Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x),..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f (n+1) (x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b.  Maka berlaku: dimana R n adalah sisanya yang berbentuk:

3 Deret Taylor & Maclaurin dimana   (a, x)

4

5 Deret Taylor & Maclaurin  Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa : )

6 Deret Taylor & Maclaurin  Kemudian akan ditunjukkan bahwa mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy

7 Deret Taylor & Maclaurin  Untuk membuktikan persamaan 1) digunakan induksi matematika.  Untuk n = 0

8 Deret Taylor & Maclaurin  Misalkan berlaku untuk n = k

9 Deret Taylor & Maclaurin  Untuk n = k + 1 Perhatikan bentuk misal:

10 Deret Taylor & Maclaurin

11  dari n = k, diperoleh

12 Deret Taylor & Maclaurin  Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mempunyai 2 bentuk

13 Deret Taylor & Maclaurin  Menurut teorema nilai rata-rata untuk integral  Misalkan maka

14 Deret Taylor & Maclaurin  Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu

15 Deret Taylor & Maclaurin  Misalkan maka

16 Deret Taylor & Maclaurin  Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk sisa, yaitu

17 Deret Taylor & Maclaurin  Sewaktu n berubah, maka umumnya  juga berubah. Jika untuk semua x dan  di dalam [a, b] kita mempunyai, maka persamaan di awal dapat ditulis:  Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin

18 Deret Taylor & Maclaurin  Walaupun semua turunan f(x) ada di x = a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).

19 Deret Taylor & Maclaurin  Contoh: Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x  0

20 Deret-Deret Penting  Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan dll

21 Deret Binomial  Bentuknya adalah a) Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir b) Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1

22 Deret Binomial c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1 d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1 Tugas: Tunjukkan sifat (a), (b), (c), dan (d)


Download ppt "Deret Taylor & Maclaurin.  Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x),..., f (n) (x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google