Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bab 7 Limit Fungsi 10 December 2014. Terdiri atas membahas Sifat-Sifat Limit Limit Fungsi Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan Trigonometri Perkalian Sekawan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bab 7 Limit Fungsi 10 December 2014. Terdiri atas membahas Sifat-Sifat Limit Limit Fungsi Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan Trigonometri Perkalian Sekawan."— Transcript presentasi:

1 Bab 7 Limit Fungsi 10 December 2014

2 Terdiri atas membahas Sifat-Sifat Limit Limit Fungsi Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan Trigonometri Perkalian Sekawan x → ax → SubstitusiPenyederhanaanDengan Rumus Substitusi, asalkanhasil tidak 0 0 Pemfaktoran Memerhatikan Koefisien Pangkat Tertinggi (untuk Bentuk Pecahan) Dengan Rumus 10 December 2014

3 1. Sederhanakan bentuk. 2. Rasionalkan penyebut bentuk. 3. Diketahui fungsi f(x) = x 2 – 4 dan a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5; –0,05; – 0,001; – 0,0001. b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5; 0,05; 0,001; 0,0001. c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)? 10 December 2014

4 . Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09. Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut. Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20. x1,911,951,992,012,052,09 f(x)f(x)19,119,519,920,120,520,9 10 December 2014

5 Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut. Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real. diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x) mendekati L. 10 December 2014

6 Jika dan maka x → a - maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri) x → a + maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan) 10 December 2014

7 Contoh: Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai? Jawab: Misalkan x → 2 - (nilai-nilai x < 2) Tampak bahwa untuk x → 2 -, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, x 1,901,951,961,9911,9951,999 f(x) 6,806,906,926,986,996, December 2014

8 Misalkan x → 2 + (nilai-nilai x > 2) Tampak bahwa untuk x → 2 +, nilai f(x) = 2x + 3 → 7. Jadi, Tampak bahwa untuk x → 2 +, nilai f(x) makin mendekati 7. Artinya, x2,102,092,052,012,001 f(x)f(x)7,207,187,107,027, December 2014

9 Karena maka 10 December 2014

10 Perhatikan fungsi. Fungsi ini tidak mempunyai nilai di x = 1 (mengapa?). Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1? Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidak memperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limit fungsi g(x) = x + 1 pada x = December 2014

11 Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut. 10 December 2014

12 1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan faktor sekawannya. 10 December 2014 a.Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi untuk setiap nilai x maka nilai limit dapat ditentukan dengan substitusi.

13 1. Jika dan maka 2. Jika dan maka 3. Jika dan maka 10 December 2014 Penting untuk diingat!

14 b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran Misalkan fungsi Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor- an, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x 2 – y 2 = (x – y)(x + y) 2) x 2 – 2xy + y 2 = (x – y) 2 3) x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 4) x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2 ) 5) x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) 10 December 2014

15 Contoh: Tentukan nilai. Jawab:. 10 December 2014

16 c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan 1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 3) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 4) faktor sekawan dari dan sebaliknya. 5) sekawan dan dan sebaliknya. Ingat: (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b December 2014

17 Contoh: Tentukan nilai Jawab: 10 December 2014

18 2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan) Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh, yaitu. Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x) adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah x m. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut. 10 December 2014

19 Contoh: Tentukan nilai-nilai limit fungsi Jawab: 10 December 2014

20 Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut. Untuk f(x) = ax m + bx m-1 + … + a 0 dan g(x) = px n + qx n-1 + … + b 0, berlaku untuk m = n untuk m > n dan a > 0 untuk m > n dan a < 0 untuk m < n 10 December 2014

21 Contoh: Tentukan nilai Jawab: f(x) = x 2 – 2x + 1 dan g(x) = x Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1. Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada bentuk limit lain, yaitu. 10 December 2014

22 Contoh: Tentukan. Jawab: Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5. Dengan menggunakan rumus, diperoleh 10 December 2014

23 1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif 10 December 2014 Perhatikan gambar! Jika sudut x makin lama makin kecil (mendekati 0), panjang a juga makin mengecil (mendekati 0) sehingga nilai limit sin x, untuk x mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai sin x adalah panjang sisi di depan sudut x dibagi dengan sisi miringnya). Jadi, diperoleh dan

24 2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Substitusi Contoh: Tentukan nilai. Jawab: 10 December 2014

25 3.Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Cara Menguraikan atau Menyederhanakan Contoh: Tentukan nilai. Jawab Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung, diperoleh. Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih dahulu. 10 December 2014

26

27 4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan Rumus Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut. 10 December 2014

28 Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga berlaku untuk limit fungsi trigonometri. a. b. c. d. e. f. g. 10 December 2014

29 Contoh: Tentukan nilai dari. Jawab: 10 December 2014

30 Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta. 10 December 2014

31 Misalkan titik P(x 1, y 1 ) dan Q(x 2, y 2 ) digambarkan pada gambar di atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien garis g adalah m, nilai m adalah 10 December 2014

32 Sekarang perhatikan Gambar (b). Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak mendekati P maka (Δx = x 2 – x 1 → 0 dibaca: delta x mendekati nol). Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi 10 December 2014

33 Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien (kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat ditentukan dengan limit berikut. Δx biasanya juga dituliskan dengan h. Materi ini akan dipelajari di Bab December 2014


Download ppt "Bab 7 Limit Fungsi 10 December 2014. Terdiri atas membahas Sifat-Sifat Limit Limit Fungsi Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan Trigonometri Perkalian Sekawan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google