Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA BAB 8 NEXT HOME.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA BAB 8 NEXT HOME."— Transcript presentasi:

1 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA BAB 8 NEXT HOME

2 1. FUNGSI LOGARITMA 2. PERSAMAAN LOGARITMA 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - DEFINISI LOGARITMADEFINISI LOGARITMA - GRAFIKGRAFIK - BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARITMABENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN - BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARITMABENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN BACK NEXT HOME

3 Di kelas X, kalian telah mempelajari logaritma. Pada pokok bahasan ini, kalian akan mempelajari labih lanjut tentang logaritma. Konsep – konsep dasar yang kita peroleh di kelas X akan digunakan disini. Materi yang akan kita bahas pada bab ini adalah fungsi logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma. BACK NEXT HOME

4 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA PERSAMAAN LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA DEFINISI BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARIMA BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARIMA GRAFIKPENYELESAIAN BACK NEXT HOME

5 - DEFINISI Logaritma adalah invers atau balikan dari perpangkatan (eksponen). Oleh karena itu, apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke a x (ditulis f(x)= a x bilangan real x ke a log x (ditulis g(x)= a log x. BACK NEXT HOME

6 Misal : Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3 x dengan daerah asal D f = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Hubungan antara x dan y = f(x) = 3 x dapat disajikan dalam tabel berikut. x f(x) = 3 x 1/271/91/ Terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3 x. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3 x merupakan fungsi bijektif. Maka terdapat fungsi invers f -1, seperti pada tabel : x1/271/91/ f(x) BACK NEXT HOME

7 Misalkan fungsi invers dari f(x) = 3 x disebut fungsi g(x), dengan demikian dapat ditentukan sebagai berikut. y = f(x) = 3 x ↔ log y = x log 3 ↔ x = log y/log 3 ↔ x = 3 log y ↔ f -1 (y)= 3 log y ↔ f -1 (x)= 3 log x Jadi, invers dari f(x) = 3 x adalah g(x) = f -1 (x)= 3 log x yang merupakan logaritma dengan bilangan pokok 3. Dari uraian di atas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = a log x, x>0, a>0 dan a≠1 merupakan fungsi logaritma. BACK NEXT HOME

8 1.Diketahui f(x) = 4 log (x 2 – 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan sumbu-sumbu berikut. a. Sumbu Xb. Sumbu Y Penyelesaian : a.Titik potong dengan sumbu X Syaratnya f(x) = 0. f(x) = 4 log (x 2 – 8x + 16) ↔0 = 4 log (x 2 – 8x + 16) ↔ 4 log (x 2 – 8x + 16) = 4 log 1 ↔ x 2 – 8x + 16 = 1 ↔ x 2 – 8x + 15 = 0 ↔(x – 5)(x – 3) = 0 ↔x = 5 atau x = 3 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5,0) dan (3,0) Contoh : BACK NEXT HOME

9 b. Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya, x = 0. f(x) = 4 log (x 2 – 8x + 16) = 4 log ((0) 2 – 8(0) + 16) = 4 log 16 = 4 log 4 2 = 2 Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2) BACK NEXT HOME

10 1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1 Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma : Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = a log x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x BACK NEXT HOME

11 Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 3 log x ! Penyelesaian : Tabel fungsi y = f(x) = 3 log x adalah sebagai berikut : x….9311/31/91/27…. y = f(x) = 3 log x… …. Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut. BACK NEXT HOME

12 Dari penjelasan di atas, nampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = a log x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x 1 ≤ x 2 maka a log x 1 ≤ a log x 2. dalam bentuk pertidaksamaan, dapat ditulis sebagai berikut. √ Jika a > 1 dan a log u(x) ≥ a log v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan a log u(x) ≤ a log v(x) maka u(x) ≤ v(x) (9,2) (3,1) (1,0) X Y y = 3 log x Grafiknya adalah : BACK NEXT HOME

13 2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1 Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = a log x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x Dengan memerhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = a log x, untuk 0 < x < 1, kita dapat mengetahui sifat-sifat fungsi logaritma f tersebut. BACK NEXT HOME

14 Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2 log x ! Penyelesaian : Terlebih dahulu dibuat tabel f(x) = 1/2 log x. X….1/81/41/21248…. y = f(x) = 1/2 log x… …. Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas, kemudian menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi logaritma f(x) = 1/2 log x seperti pada gambar berikut. BACK NEXT HOME

15 X Y y = 1/2 log x (2,-1) (4,-2) (8,-3) X Y Grafiknya adalah : BACK NEXT HOME

16 Fungsi logaritma f(x) = a log x, dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena jika x 1 ≤ x2 maka a log x1 ≥ a log x2. dalam bentuk pertidaksamaan, kita dapat menuliskannya sebagai berikut. √ Jika 0 < a < 1 dan a log u(x) ≥ a log v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan a log u(x) ≤ a log v(x) maka u(x) ≥ v(x) BACK NEXT HOME

17 3. Grafik fungsi f(x) = a log x dan g(x) = 1/a log x Jika grafik fungsi logaritma y = f(x) = a log x dan grafik fungsi y = g(x) = 1/a log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut. Dari gambar di samping, dapat kita katakan sebagai berikut : a.Grafik fungsi logaritma f(x) = a log x dan g(x) = 1/a log x simetri terhadap sumbu X. hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = 1/a log x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a log x terhadap sumbu X atau sebaliknya. Y (2,-1) (4,-2) (8,-3) (2,1) (4,2) (8,3) (1,0) BACK NEXT HOME

18 b. Grafik fungsi f(x) = a log x dan grafik fungsi g(x) = 1/a log x melalui titik (1,0) c. Grafik fungsi f(x) = a log x dan grafik fungsi g(x) = 1/a log x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (- ∞,∞) e. Fungsi f(x) = a log x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/a log x merupakan fungsi turun. f. Grafik fungsi f(x) = a log x dan grafik fungsi g(x) = 1/a log x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut. BACK NEXT HOME

19 4. Grafik Fungsi f(x) = a x dan g(x) = a log x Jika grafik logaritma f(x) = 2 x dan g(x) = 2 log x, serta grafik f(x) = (1/2) x dan grafik 1/2 log x digambarkan dalam satu bidang kartesius, hasilnya adalah sebagai berikut. o (1,0) (0,1) X Y y = 2 log x y = 2 x y = x o (1,0) (0,1) X Y y = 1/2 log x y = (1/2) x y = x BACK NEXT HOME

20 Beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = a x dan grafik fungsi logaritma g(x) = a log x, sebagai berikut. a. Grafik fungsi eksponen f(x) = a x dan grafik fungsi logaritma g(x) = a log x simetris terhadap garis y = x. Hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = a log x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a x terhadap garis y = x atau sebaliknya. b. Fungsi eksponen f(x) = a x merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = a log x atau sebaliknya. BACK NEXT HOME

21 Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya) memuat variabel x atau persamaan yang bilangan pokok atau numerusnya memuat variabel x. Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritma yang kita pelajari, sebagai berikut. a. a log f(x) = a log p b. a log f(x) = a log g(x) c. a log f(x) = b log f(x) d. A { a log x} 2 + B { a log x} + C = 0 Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi aljabar dengan f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A, B, C bilangan real, A ≠ 0. - DEFINISI BACK NEXT HOME

22 a. Persamaan logaritma berbentuk a log f(x) = a log p Misalkan diberikan persamaan a log f(x) = a log p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena a log f(x) = a log p maka a a log p = f(x) atau f(x) = a a log p. Akibatnya f(x) = p. Himpunan penyelesaian persamaan a log f(x) = a log p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p. BACK NEXT HOME

23 Contoh : Tentukan penyelesaian dari persamaan – persamaan logaritma berikut. a. 2 log (3x – 1) = 3b. 2 log (x – 5) + 2 log (x – 2) = 9 log 81 Penyelesaian : a. 2 log (3x – 1) = 3 ↔ 2 log (3x – 1) = 2 log 2 3 ↔ 2 log (3x – 1) = 2 log 8 dalam hal ini, syarat 3x – 1 > 0 dan 8 > 0 sudah dipenuhi karena 3x – 1 = 8 > 0 BACK NEXT HOME

24 b. 2 log (x – 5) + 2 log (x – 2) = 9 log 81 Syarat yang harus dipenuhi adalah x – 5 > 0 ↔ x > 5 dan x – 2 > 0 ↔ x > 2. Akibatnya, x > 5. 2 log (x – 5) + 2 log (x – 2) = 9 log 81 ↔ 2 log (x – 5) (x – 2) = 9 log 9 2 ↔ 2 log (x – 5) (x – 2) = 2 ↔ 2 log (x – 5) (x – 2) = 2 log 2 2 ↔x 2 – 7x + 10 = 4 ↔x 2 – 7x + 6 = 0 ↔(x – 1)(x – 6) = 0 ↔x = 1 atau x = 6 Namun, karena x > 5 maka yang memenuhi adalah x = 6. BACK NEXT HOME

25 Problem solving Diketahui persamaan log (x x) = 1. Jika x 1 dan x 2 merupakan akar – akar persamaan itu, tentukan nilai – nilai berikut. Penyelesaian log (x x) = 1 ↔ log (x x) = log 10 ↔ x x = 10 Dalam hal ini syarat x x > 0 dan 10 > 0 sudah terpenuhi karena x x = 10 > 0. selanjutnya, x x = 10 ↔ x x – 10 = 0. BACK NEXT HOME

26 Bentuk terakhir merupakan bentuk persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan ax 2 + bx + c = 0, untuk a = 1, b = 11, dan c = Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai – nilai berikut. a. x 1 + x 2 = –b /a = –11/1 = –11 b. x 1 x 2 = c/a = –10/1 = –10 c. x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) x 1 x 2 = (-11) 2 – 2(-10) = 141 d. 3/x 1 + 3/x 2 = 3x 1 + 3x 2 / x 1 x 2 = 3(x 1 + x 2 )/x 1 x 2 = 3(-11)/-10 = 3,3 BACK NEXT HOME

27 b. Persamaan logaritma berbentuk a log f(x) = a log g(x) Misalkan diberikan persamaan a log f(x) = a log g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), g(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena a log f(x) = a log g(x) maka a a log g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x). Akibatnya f(x) = g(x). Himpunan penyelesaian persamaan a log f(x) = a log g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x). BACK NEXT HOME

28 Contoh : 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma log (x 2 + 5x – 7) = log (x – 2) Penyelesaian : log (x 2 + 5x – 7) = log (x – 2) ↔ x 2 + 5x – 7 = x – 2 ↔ x 2 + 5x – 5 = 0 ↔(x + 5)(x – 1) = 0 ↔x = -5 atau x = 1 Jika x = - 5 disubstitusikan pada x 2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai bentuk itu negatif, berarti x = - 5 bukan merupakan penyelesaian. Jika x = 1 disubstitusikan pada x 2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai negatif berarti x = 1 juga bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya { } atau ф (himpunan kosong). BACK NEXT HOME

29 c. Persamaan logaritma berbentuk a log f(x) = b log f(x) Misalkan diberikan persamaan a log f(x) = b log f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan a log f(x) = r maka a r = f(x). Demikian juga, b log f(x) = r maka b r = f(x). Berarti, a r = b r. Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dan a ≠ b maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1. Himpunan penyelesaian persamaan a log f(x) = b log f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = 1. BACK NEXT HOME

30 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. 2 log (2x + 7) = 3 log (2x + 7) b. 3 log (x 2 – 6x + 10) = 5 log (x 2 – 6x + 10) Penyelesaian : a. 2 log (2x + 7) = 3 log (2x + 7) ↔ 2x + 7 = 1 Dalam hal ini, syarat 2x + 7 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena 2x + 7 = 1 > 0, 2x + 7 = 1 ↔ 2x = - 6 ↔ x = - 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 } BACK NEXT HOME

31 b. 3 log (x 2 – 6x + 10) = 5 log (x 2 – 6x + 10) ↔ x 2 – 6x + 10 = 1 Syarat x 2 – 6x + 10 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena x 2 – 6x + 10 = 1 > 0, x 2 – 6x + 10 = 1 ↔ x 2 – 6x + 9 = 0 ↔ (x – 3) 2 = 0 ↔ x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }. BACK NEXT HOME

32 d. Persamaan logaritma berbentuk A { a log x} 2 + B { a log x} + C = 0 Pada persamaan logaritma A { a log x} 2 + B { a log x} + C = 0; dengan a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jika dimisalkan y = a log x maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam variabel y. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. log 2 x – 2 log x = 24 b. 5 log 2 x – 5 log x = 0 BACK NEXT HOME

33 Penyelesaian : a. log 2 x – 2 log x = 24 ↔log 2 x – 2 log x - 24 = 0 ↔(log x) 2 – 2 log x – 24 = 0 Misalkan log x = p. persamaan tersebut berubah menjadi bentuk berikut. p 2 – 2p – 24 = 0 ↔(p + 4)(p – 6) = 0 ↔p = - 4 atau p = 6 Untuk p = - 4 → log x = - 4 ↔ log x = log ↔ x = ↔ x = 0,0001 Untuk p = 6 → log x = 6 ↔ log x = log 10 6 ↔ x = 10 6 ↔ x = 1,000,000 Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya {0,0001; 1,000,000} BACK NEXT HOME

34 b. 5 log 2 x – 5 log x = 0 ↔ ( 5 log x) 2 – 6 ( 5 log x) + 5 = 0 Misalkan 5 log x = p. Persamaan tersebut akan menjadi bentuk berikut. p2 – 6p + 5 = 0 ↔(p – 1)(p – 5) = 0 ↔p = 1 atau p = 5 Untuk p = 1 → 5 log x = 1 ↔ 5 log x = 5 log 5 ↔ x = 5 Untuk p = 5 → 5 log x = 5 ↔ 5 log x = 5 log 5 5 ↔ x = 5 5 = Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi himpunan penyelesaiannya { 5; } BACK NEXT HOME

35 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaian pertidaksamaan logaritma, antara lain. √ Jika a > 1 dan a log u(x) ≥ a log v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan a log u(x) ≤ a log v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan a log u(x) ≤ a log v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan a log u(x) ≥ a log v(x) maka u(x) ≤ v(x) Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda pertidaksamaan √ Fungsi logaritma a log u(x) terdefinisi jika u(x) > 0. BACK NEXT HOME

36 Contoh Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan logaritma berikut. a. 1/2 log (2x – 1) < - 1 b. 2 log (x 2 + 5x + 6) > 1 c. 1/2 log (x 2 – 5x + 4) > - 2 BACK NEXT HOME

37 Penyelesaian : a. 1/2 log (2x – 1) < - 1 ↔ 1/2 log (2x – 1) < 1/2 log (1/2) - 1 ↔ 1/2 log (2x – 1) < 1/2 log 2 ↔2x – 1 < 2 …………………………(karena a = ½, berarti 0 < a < 1) ↔2x > 3 ↔x > 3/2 Disamping itu, harus dipenuhi syarat berikut. 2x – 1 > 0 ↔ 2x > 1 ↔ x = 1/2 Jika digambarkan dalam garis bilangan seperti pada gambar di samping ! Dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya dari 1/2 log (2x – 1) 3/2 3/2 1/2 BACK NEXT HOME

38 b. 2 log (x 2 + 5x + 6) > 1 ↔ 2 log (x 2 + 5x + 6) > 2 log 2 ↔ x 2 + 5x + 6 > 2 …………………..(a = 2 > 1) ↔ x 2 + 5x + 4 > 0 ↔ (x +4)(x + 1) > 0 ↔ x - 1 Syarat 2 log (x 2 + 5x + 6) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x 2 + 5x + 6) > 0 ↔ (x + 3)(x + 2) > 0 ↔ x - 2 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah x - 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I x - 1, x є R} BACK NEXT HOME

39 c. 1/2 log (x 2 – 5x + 4) > - 2 ↔ 1/2 log (x 2 – 5x + 4) > 1/2 log 4 ↔ (x 2 – 5x + 4) < 4 ↔ x 2 – 5x < 0 ↔ x(x – 5) < 0 ↔ 0 < x < 5 Syarat agar 1/2 log (x 2 – 5x + 4) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x 2 – 5x + 4) > 0 ↔ (x – 1)(x – 4) > 0 ↔ x 4 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah 0 < x < 1 atau 4 < x < 5. jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I 0 < x < 1 atau 4 < x < 5, x є R} BACK HOME


Download ppt "FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA BAB 8 NEXT HOME."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google