Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matematika Diskrit. Matematika Diskrit Kuliah-12 Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matematika Diskrit. Matematika Diskrit Kuliah-12 Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi."— Transcript presentasi:

1 Matematika Diskrit

2 Matematika Diskrit Kuliah-12 Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika Bandung Isi : 1.Penalaran Matematika: logika, metoda dan pembuktian. 2.Analisis Kombinatorial: counting, analisis cmb 3.Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian objek diskrit 4.Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas 5.Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet.

3 Matematika Diskrit Kuliah-13 Rencana Penilaian Kehadiran 10 %Kehadiran 10 % Tugas Terstruktur20 %Tugas Terstruktur20 % Ujian Tengah Semester (UTS) 30 %Ujian Tengah Semester (UTS) 30 % Ujian Akhir Semester (UAS) 40 %Ujian Akhir Semester (UAS) 40 %

4 Matematika Diskrit Kuliah-14 Silabus Kuliah (1) 1.Logika, himpunan dan fungsi 2.Algoritma, Teori Bilangan dan matriks 3.Penalaran Matematika, Induksi dan Rekursi 4.Dasar-dasar Counting  UTS (?)

5 Matematika Diskrit Kuliah-15 Silabus Kuliah (2) 7.Teori Peluang Diskrit 8.Advanced Counting 9.Relasi 10.Graph 11.Tree dan aplikasinya 12.Aljabar Boole  UAS

6 Matematika Diskrit Kuliah-16 Tentang Handout Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari CS320-Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun ( Publikasi di internet telah dilakukan seijin Pof. Marc. Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari CS320-Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun (http://www.cs.umb.edu/~marc/). Publikasi di internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.http://www.cs.umb.edu/~marc/ This Lecture Notes is Indonesian translation and modification of Marc Pomplun’s CS320-Discrete Mathematics (http://www.cs.umb.edu/~marc/). Publication in my website has been permitted by Prof. Marc.

7 Matematika Diskrit Kuliah-17 Mengapa matematika diskrit ? Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit.Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit. Dengan demikian, baikDengan demikian, baik –Struktur (rangkaian) dan juga –Operasi (eksekusi algoritma) Dapat dijelaskan dengan matematika diskrit

8 Matematika Diskrit Kuliah-18 Perangkat Matematika Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit: Logika Matematika (Logic)Logika Matematika (Logic) Teori Himpunan (Set Theory)Teori Himpunan (Set Theory) Fungsi (Functions)Fungsi (Functions) Deretan (Sequences)Deretan (Sequences)

9 Matematika Diskrit Kuliah-19 Logika Berguna untuk melakukan penalaran matematikaBerguna untuk melakukan penalaran matematika Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik. Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi.Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi. Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya. Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah.Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah. Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0

10 Matematika Diskrit Kuliah-110 “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? BENAR Proposisi atau Pernyataan

11 Matematika Diskrit Kuliah-111 “520 < 111” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Proposisi atau Pernyataan

12 Matematika Diskrit Kuliah-112 “y > 5” Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan. Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK Proposisi atau Pernyataan Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

13 Matematika Diskrit Kuliah-113 “Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.” Apakah ini sebuah pernyataan? YA Apakah ini sebuah proposisi? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini? SALAH Proposisi atau Pernyataan

14 Matematika Diskrit Kuliah-114 “Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” TIDAK TIDAK Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi. Ini adalah sebuah permintaan. Apakah ini sebuah pernyataan? Apakah ini sebuah proposisi? Proposisi atau Pernyataan

15 Matematika Diskrit Kuliah-115 “x x.” Apakah ini pernyataan ? YA Apakah ini proposisi ? YA Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR … karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y. Proposisi atau Pernyataan

16 Matematika Diskrit Kuliah-116 Penggabung Proposisi Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan. Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika.

17 Matematika Diskrit Kuliah-117 Operator logika Kita akan membahas operator-operator berikut: Negasi (NOT) Negasi (NOT) Konjungsi (AND) Konjungsi (AND) Disjungsi (OR) Disjungsi (OR) Eksklusif OR (XOR) Eksklusif OR (XOR) Implikasi (jika – maka) Implikasi (jika – maka) Bikondisional (jika dan hanya jika) Bikondisional (jika dan hanya jika) Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator- operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

18 Matematika Diskrit Kuliah-118 Negasi (NOT) Operator Uner, Lambang:  P PPPP BenarSalah SalahBenar

19 Matematika Diskrit Kuliah-119 Konjungsi (AND) Operator Biner, Lambang:  PQ PQPQPQPQ BenarBenarBenar BenarSalahSalah SalahBenarSalah SalahSalahSalah

20 Matematika Diskrit Kuliah-120 Disjungsi (OR) Operator Biner, Lambang:  PQ PQPQPQPQ BenarBenarBenar BenarSalahBenar SalahBenarBenar SalahSalahSalah

21 Matematika Diskrit Kuliah-121 Eksklusif Or (XOR) Operator Biner, Lambang:  PQ PQPQPQPQ BenarBenarSalah BenarSalahBenar SalahBenarBenar SalahSalahSalah

22 Matematika Diskrit Kuliah-122 Implikasi (jika - maka) Operator Biner, Lambang:  PQ PQPQPQPQ BenarBenarBenar BenarSalahSalah SalahBenarBenar SalahSalahBenar

23 Matematika Diskrit Kuliah-123 Bikondisional (jika dan hanya jika) Operator Biner, Lambang:  PQ PQPQPQPQ BenarBenarBenar BenarSalahSalah SalahBenarSalah SalahSalahBenar

24 Matematika Diskrit Kuliah-124 Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. PQ PPPP QQQQ (  P)  (  Q) BenarBenarSalahSalahSalah BenarSalahSalahBenarBenar SalahBenarBenarSalahBenar SalahSalahBenarBenarBenar

25 Matematika Diskrit Kuliah-125 Pernyataan dan Operasi PQ PQPQPQPQ  (P  Q) (  P)  (  Q) BenarBenarBenarSalahSalah BenarSalahSalahBenarBenar SalahBenarSalahBenarBenar SalahSalahSalahBenarBenar Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

26 Matematika Diskrit Kuliah-126 Pernyataan-pernyataan yang ekivalen PQ  (P  Q) (  P)  (  Q)  (P  Q)  (  P)  (  Q) BenarBenarSalahSalahBenar BenarSalahBenarBenarBenar SalahBenarBenarBenarBenar SalahSalahBenarBenarBenar Pernyatan  (P  Q) dan (  P)  (  Q) adalah ekivalen secara logis, karena  (P  Q)  (  P)  (  Q) selalu benar.

27 Matematika Diskrit Kuliah-127 Tautologi dan Kontradiksi Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar Contoh: R  (  R)R  (  R)  (P  Q)  (  P)  (  Q)  (P  Q)  (  P)  (  Q) Jika S  T sebuah tautologi, kita tulis S  T. JIka S  T sebuah tautologi, kita tulis S  T.

28 Matematika Diskrit Kuliah-128 Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. Contoh: R  (  R)R  (  R)  (  (P  Q)  (  P)  (  Q))  (  (P  Q)  (  P)  (  Q)) Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi. Kontradiksi

29 Matematika Diskrit Kuliah-129 Latihan Kita tahu tautologi berikut:  (P  Q)  (  P)  (  Q) Latihan di kelas : Tunjukkan bahwa  (P  Q)  (  P)  (  Q). Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De Morgan

30 Matematika Diskrit Kuliah-130 Proposisi dan Fungsi Fungsi proposisi (kalimat terbuka) : Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih. Contoh : x - 3 > 5. Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dimana P adalah predikat dan x adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? Salah Salah Benar Apakah nilai kebenaran dari P(8) ? Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?

31 Matematika Diskrit Kuliah-131 Fungsi Proposisi Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: x + y = z. Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah variabel. Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? Benar Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ? Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ? Salah Benar

32 Matematika Diskrit Kuliah-132 Kuantifikasi Universal Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Kalimat yg dikuantifikasi secara universal : Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar. Dengan kuantifier universal  :  x P(x) “untuk semua x P(x)” atau “untuk setiap x P(x)” (Catatan:  x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi.)

33 Matematika Diskrit Kuliah-133 Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti dari  x (S(x)  G(x)) ? “Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai” atau “Semua mahasiswa IT pandai.” Kuantifikasi Universal

34 Matematika Diskrit Kuliah-134 Kuantifikasi Eksistensial Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial: Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) benar. Dengan peng-kuantifikasi eksistensial  :  x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).” “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).” hingga P(x).” (Catatan:  x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.)

35 Matematika Diskrit Kuliah-135 Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT. G(x): x adalah seorang yang pandai. Apakah arti  x (P(x)  G(x)) ? “Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.” atau “Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.” Kuantifikasi Eksistensial

36 Matematika Diskrit Kuliah-136 Kuantifikasi Contoh lain : Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil. Apakah arti dari  x  y (x + y = 320) ? “Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.” Apakah pernyataan ini benar ? Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Ya Tidak

37 Matematika Diskrit Kuliah-137 Disproof dengan counterexample Counterexample dari  x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. Pernyataan seperti  x (P(x)  Q(x)) dapat di- disproof secara sederhana dengan memberikan counterexample-nya. Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.” Disproved dengan counterexample: Penguin.

38 Matematika Diskrit Kuliah-138 Negasi  (  x P(x)) ekivalen scr logis dengan  x (  P(x)).  (  x P(x)) ekivalen scr logis dengan  x (  P(x)). Lihat Table 3 dalam Section 1.3. Latihan soal pada Exercises 5 dan 9, Section 1.3.


Download ppt "Matematika Diskrit. Matematika Diskrit Kuliah-12 Textbook: Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, Mc.Graw Hill, 5 th Ed. Rinaldi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google