Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

SUB RUANG.. Definisi Sub Ruang Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "SUB RUANG.. Definisi Sub Ruang Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah."— Transcript presentasi:

1 SUB RUANG.

2 Definisi Sub Ruang Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah penambahan dan perkalian skalar yang didefisikan pada V

3 2) u + v = v + u 3) u + (v+w) = (u+v)+w 7) k(u+v) = ku + kv 8) (k+l) u = ku + lu 9) kl (u) = k (lu) 10) 1u = u Aksioma warisan

4 Aksioma bukan warisan 1) 4) 5) 6)

5 Teorema 4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi berikut berlaku : a)Jika u dan v adalah vektor vektor pada W, maka u + v terletak di W b)Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W

6 Bukti Pembuktian dari aksioma 1) dan 6) aksioma 1) 6) Untuk mendapatkan aksioma 5) dapat kita peroleh dari aksioma 6) Ambil k = -1 aksioma 5)

7 aksioma 1) Untuk mendapatkan aksioma 4) dapat kita peroleh dari aksioma 1) atau aksioma 6) Ambil v = -u aksioma 4) aksioma 6) Ambil k = 0

8 Contoh Soal Misalkan: u dan v adalah vector-vektor sembarang pada W,dan W adalah bidang sembarangyang melewati titik asal. Maka u+v harus terletak pada W karena vector ini merupakan dan paralelogram yang dibentuk oleh u dan v, dan vector ku harus terletak pada W untuk scalar sembarang k karena ku terletak pada garis yang melewati u. jadi, w tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, sehingga merupakan sub ruang R 3. Vector u + v dan ku keduanya terletak pada satu bidang yang sama dengan u dan v

9 Misalkan W adalah himpunan semua titik (x,y) pada R 2 sedemikian hingga dan. Titik ini adalah titik-titik pada kuadran pertama. Himpunan W bukan merupakan su ruang dari R 2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar. Sebagai contoh, v = (1,1) terletak pada W, tetapi bentuk negatifnya (-1)v = -v = (-1,-1) tidak terletak pada W. Contoh bukan sub ruang

10 Soal 1 Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut apakah merupakan subruang R 3 ? Jawab : R 3 merupakan ruang vektor Ambil sebarang dua elemen pada W 1

11 Ambil sebarang skalar k dan Jadi W 1 Subruang pada R 3

12 Semua vektor yang berbentuk (a,b,c), dimana b=a+c+1 Gunakan teorema 4 untuk menentukan bentuk berikut apakah merupakan subruang R 3 ? Jawab : R 3 merupakan ruang vektor Ambil sebarang dua elemen pada W 2 W 2 bukan sub ruang R 3 Soal 2

13 1.Misal U merupakan himpunan semua matrik 2x2 yang berbentuk dengan syarat a= 0 dan d= 0. Tunjukkan bahwa U subruang dri ruang vektor matrik 2x2! Jawab: AAmbil a,b U, akan ditunjukkan bahwa a+b U,karena a U maka dipenuhi a= Dengan syarat a 1 = 0 dan d 1 = 0, dan karena B U maka dipenuhi b= Soal 3

14 Dengan syarat a 2 = 0 dan d 2 = 0. maka a+b=, karena a 1 = 0 dan a 2 = 0, Maka a 1 + a 2 = 0,sert dikarenakan d 1 = 0 dan d 2 = 0, maka d 1 + d 2 = 0. jadi a + b U. AAmbil a U, ambil k R akan ditunjukan bahwa ka U, karena a U maka dipenuhi a= dengan syarat a 1 = 0 dan d 1 = 0. Maka ka=, berarti ka 1 = 0 dan kd 1 = 0 Jadi ka U Sehingga U subruang dari ruang vektor 2x2.

15 Soal 4 Misalkan U himpunan semua matrik 2x2, berbentuk dengan syarat ad=0. Apakah U sub ruang dari ruang vektor matrik 2x2? Jawab: U bukan sub ruang dari matrik 2x2, karena itu dibutuhkan contoh penyangkal. dan Jadi U bukan sub ruang dari matrik 2 x 2

16 Misalkan U himpunan semua solusi sistem persamaan linier homogen, dengan A berordo nxn dan tetap. Tunjukkan bahwa U sub ruang R n. Jawab : 1.Ada vektor nol, 0, sehingga A0 = 0. Jadi, U≠ ∅. 2. Ambil, berarti memenuhi dan. Akan ditunjukkan bahwa berarti {sifat distributif perkalian matrik} {karena dan } Jadi, Soal 5

17 3. Ambil, berarti memenuhi. Akan ditunjukkan, berarti. {sifat asosiatif perkalian matrik} {karena } Jadi, ∴ U sub ruang dari ruang vektor R n.


Download ppt "SUB RUANG.. Definisi Sub Ruang Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor dibawah."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google