Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi."— Transcript presentasi:

1 APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi. Bentuk umum pers taklinear : f(x) = 0, f fungsi taklinear. Jika f(x 0 ) = 0 maka x 0 dikatakan akar (penyelesaian). Persamaan linear ax + b = c mempunyai akar (penyelesaian) x = (c – b)/a. Bagaimana dengan akar-akar persamaan berikut, mudahkah dicari? EKSISTENSI AKAR pada suatu interval : 1. Tidak mempunyai akar 2. Mempunyai akar tunggal 3. Mempunyai akar banyak

2 Secara GEOMETRI, akar persamaan f(x) = 0 adalah titik potong kurva y = f(x) dengan sumbu x. y = f(x) X Y a b akar-akarnya Teorema (syarat cukup): Jika f kontinu pada interval [a, b] dan f(a) f(b) < 0 maka f(x) = 0 mempunyai akar di dalam (a, b). ab f(a) f(b) p akar f(a) f(b) < 0

3 METODA BELAH DUA (BISEKSI) Perhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak p. Dibangun barisan subinterval [a n, b n ] dan aproksimasi (p n ) yang konvergen ke p p : akar eksak y = f(x) a = a 1 b = b 1 a2a2 b2b2 a3a3 b3b3 a4a4 b4b4 p1p1 p2p2 1.Ambil p 1 : = (a 1 +b 1 )/2. Interval [ a 1, b 1 ] terbagi menjadi 2 subinterval yang sama panjang, yaitu [ a 1, p 1 ] dan [ p 1, b 1 ]. 2. Pertahankan subinterval yang masih memuat akar, dalam hal ini [ a 1, p 1 ]. Tetapkan a 2 :=a 1 dan b 2 := p 1. 3.Lakukan cara yang sama pada interval [ a 2, b 2 ] untuk memperoleh p 2.

4 Secara umum metoda belah dua ini adalah sbb:

5 x = a = p 0 x = b = p 1 y = f(x) p : akar eksak METODA SECANT p2p2 p3p3 (a,f(a)) (b,f(b)) Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. grs secant Tetapkan p 0 := a dan p 1 := b. Buat grs secant yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)). Ambil p 2 : titik potong grs secant ini dg sb x. Membangun barisan iterasi (p n ) yang akan konvergen ke akar eksak p Selanjutnya, langkah-langkah di atas diterapkan pada interval [p 2, b] untuk mendapatkan p 3. Secara umum diperoleh :

6 a = a 1 b = b 1 y = f(x) p2p2 p3p3 (a,f(a)) (b,f(b)) akar eksak p [p 0, p 2 ] [p 2, p 1 ] ILUSTRASI METODA REGULA FALSI (Kombinasi metoda biseksi dan secant) p4p4 1. Ambil a 1 :=a dan b 1 :=b, terapkan metoda secant pada [a 1, b 1 ] untuk memperoleh p 2. Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan interval [a n, b n ] dan iterasi (p n+1 ) yang konvergen ke akar eksak p 2. Diperoleh 2 subinterval [p 0, p 2 ] dan [p 2, p 1 ]. Pertahankan subinterval yg masih memuat akar, dalam hal ini [p 2, p 1 ]. Ambil a 2 :=p 2 dan b 2 :=p 1. Terapkan metoda secant pada [a 2,b 2 ] untuk memperoleh p 3.

7 Secara umum diperoleh a n, b n dan p n+1 sbb:

8 x = b y = f(x) p : akar eksak ILUSTRASI METODA NEWTON p0p0 (a,f(a)) (b,f(b)) p1p1 x = a p2p2 grs singgung titik singgung grs singgung titik singgung (p 0, f(p 0 )) Diperhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak. Membangun brs iterasi (p n ) yang konvergen ke akar eksak p. 1. Ambil p 0 sebarang titik pada [a,b]. Buat garis singgung kurva di titik x = p Ambil p 1 : titik potong grs singgung ini dengan sb x. 3. Terapkan cara yg sama pada p 1 untuk memperoleh p 2. Secara umum, diperoleh brs (p n ) sbb: asalkan


Download ppt "APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google