Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MODUL VI KONVERGENSI LANJUT Teorema 2 ( Teorema Apit ) : Andaikan  a n  dan  c n  barisan yang konvergen menuju L dan andaikan a n  b n  c n untuk.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MODUL VI KONVERGENSI LANJUT Teorema 2 ( Teorema Apit ) : Andaikan  a n  dan  c n  barisan yang konvergen menuju L dan andaikan a n  b n  c n untuk."— Transcript presentasi:

1 MODUL VI KONVERGENSI LANJUT Teorema 2 ( Teorema Apit ) : Andaikan  a n  dan  c n  barisan yang konvergen menuju L dan andaikan a n  b n  c n untuk n  K (K bilangan asli yang tetap). Maka  b n  juga konvergen menuju L. Contoh soal 3 : Buktikan bahwa lim sin 3 n n →  ∞  n  0. Penyelesaian: Untuk n  1, kita peroleh 3 n n n Oleh karena  −  1n   0 lim n →  ∞ n dan lim n →  ∞  n terbuktilah limit yang harus dicari berdasarkan Teorema Apit. Soal latihan : Bagaimanakah dengan lim sin 2 n n →  ∞ n dan lim cos 3 n n →  ∞ Teorema 3 :

2  1  lim 1  p  n →  ∞  n  0, 1 np lim n →  ∞ maka berdasarkan Teorema Apit kita peroleh  0, n r lim n →  ∞ atau ekuivalen dengan r n  0. lim n →  ∞ Maka menurut Teorema 3, kita peroleh lim n →  ∞ Terbukti bahwa apabila −  1  r  1, maka lim n →  ∞ r n  0. Teorema 4 (Teorema Barisan Monoton) : Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun  a n , maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Begitu pula, apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan yang tak naik  b n , maka barisan  b n  itu konvergen menuju suatu limit B lebih dari atau sama dengan L. Contohnya Perhatikan barisan tak turun  a n . Ini berarti bahwa untuk n  1 berlaku a n  a n  1.

3 Pertidaksamaan terakhir benar untuk n > 3. Oleh karena barisan menurun (persyaratan lebih berat daripada tak naik) dan terbatas oleh nol di bawah, maka menurut Teorema Barisan Monoton, barisan itu mempunyai limit. Dengan menggunakan kaidah l’Hopital mudahlah ditunjukkan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Teorema 5 ( Barisan Monoton ) : Apabila U suatu batas atas untuk suatu barisan tak turun  a n , maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Begitu pula, apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan yang tak naik  b n , maka barisan  b n  itu konvergen menuju suatu limit B lebih dari atau sama dengan L. Contohnya Perhatikan barisan tak turun  a n . Ini berarti bahwa untuk n  1 berlaku a n  a n  1. Misalnya a n  n 2 dan a n  1 −  1n. Hanya ada dua kemungkinan, yaitu a n menjadi semakin besar apabila n →  ∞ Atau


Download ppt "MODUL VI KONVERGENSI LANJUT Teorema 2 ( Teorema Apit ) : Andaikan  a n  dan  c n  barisan yang konvergen menuju L dan andaikan a n  b n  c n untuk."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google