Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RELASI STRUKTUR DISKRIT K-4 Program Studi Teknik Komputer

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RELASI STRUKTUR DISKRIT K-4 Program Studi Teknik Komputer"— Transcript presentasi:

1 RELASI STRUKTUR DISKRIT K-4 Program Studi Teknik Komputer
Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Struktur Diskrit

2 RELASI Relasi biner R dari himpunan P ke himpunan Q adalah himpunan bagian dari Cartesian product P dan Q (P x Q) Contoh 1: P = {1, 2, 3} and Q = {a, b} R = {(1,a), (1,b), (2,b), (3,a)} adalah relasi antara P dan Q.

3 RELASI Notasi: R  (P  Q).
a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

4 DOMAIN & RANGE Jika R merupakan relasi dari P ke Q, maka
Himpunan P disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Q disebut daerah hasil (range) dari R. Domain dari R adalah himpunan Dom(R) = { xX | (x, y) R untuk setiap yY} Range dari R adalah himpunan Rng(R) = { yY | (x, y) R untuk setiap x X}

5 DOMAIN & RANGE Contoh 2 : Jika P = {1, 2, 3} dan Q = {a, b}
R = {(1,a), (1,b), (2,b)} Maka : Dom(R)= {1, 2}, Rng(R) = {a, b}

6 Contoh 3 : Misalkan X = {1, 2, 3} and Y = {a, b, c, d}.
Didefinisikan relasi : R = {(1,a), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c)} Relasi R dapat digambar sbb.

7 Contoh 4 : Misal diketahui :
P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8),}

8 Relasi Unary Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A. Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.

9 Contoh 5 : Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y)  R jika x adalah faktor prima dari y. Maka R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 Contoh 11a. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka R = { (2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3) } bersifat transitif. Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2)

22 Contoh 11b. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R.

23 Contoh 11c. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitif. Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} transitif karena tidak ada (a, b)  R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c)  R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu transitif.

24

25

26 3. SIMETRIS Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a, b)  R, maka (b, a)  R untuk setiap a, b  A. Relasi R pada himpunan A disebut tidak simetris jika (a, b)R sedemikian sehingga (b, a)  R.

27 4. ANTI-SIMETRIS Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b untuk setiap a, b  A disebut anti-simetris. Relasi R pada himpunan A disebut tidak anti-simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R.

28 Contoh 14a. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat : Simetris karena jika (a, b)  R maka (b, a)  R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)  R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2)  R.

29 Contoh 14b. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena ada elemen (2, 3)  R, tetapi (3, 2)  R.

30 Contoh 14c. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } Anti-simetris karena 1 = 1 dan (1, 1)  R, = 2 dan (2, 2)  R, dan 3 = 3 dan (3, 3)  R. R juga simetris.

31 Contoh 14d. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } Anti-simetris karena (1, 1)  R dan 1 = 1 dan, (2, 2)  R dan 2 = 2 dan. R tidak simetris.

32 Contoh 14e. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak anti-simetris karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. R bersifat simetris. R pada contoh 14.a dan 14.b juga tidak anti-simetris.

33 Contoh 14f. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris tetapi anti-simetris.

34 Contoh 14g. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak anti-simetris. R tidak simetris karena (4, 2)R tetapi (2, 4)R. R tidak anti-simetris karena (2, 3)  R dan (3, 2)  R tetapi 2  3.

35 Contoh 15 Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif, bagaimana sifat relasi tsb ? tidak simetris karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Misal : 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4)  R tetapi (4, 2)  R. Sehingga berlaku sifat anti simetris. Misal : 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4)  R dan 4 = 4.

36 Contoh 16 Tiga buah relasi berikut menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 Apa sifat dari masing-masing relasi tsb ?

37 Contoh 16 R : x lebih besar dari y,
R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.

38 Contoh 16 S : x + y = 6, S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. S bukan relasi anti-simetris karena, misalkan (4, 2)  S dan (4, 2)  S tetapi 4  2.

39 Contoh 16 T : 3x + y = 10 T tidak simetris karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T.

40 Relasi yang bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :  Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat simetris dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

41 Matriks dari relasi anti-simetris mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i  j, maka mji = 0. Dpl, matriks dari relasi anti-simetris adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i  j.  Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti-simetris dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

42 Relasi Ekivalen Relasi R pada himpunan A disebut relasi ekivalen/kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, transitif dan simetris.

43 Secara intuitif, di dalam relasi ekivalen, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi ekivalen dinamakan setara (equivalent).

44 A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A:
Contoh: A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A: (a, b)  R jika a satu angkatan dengan b. R refleksif : setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri R simetris : jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a. R transitif : jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a seangkatan dengan c. Dengan demikian, R adalah relasi equivalent.

45 Relasi Pengurutan Parsial
Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation) jika ia refleksif, anti-simetris, dan transitif. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara parsial (partially ordered set, atau poset), dan dilambangkan dengan (S, R).

46 Relasi  : anti-simetris,
Contoh: Relasi  pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: Relasi  : refleksif, karena a  a untuk setiap bilangan bulat a; Relasi  : anti-simetris, karena jika a  b dan b  a, maka a = b; Relasi  : transitif, karena jika a  b dan b  c maka a  c.

47 Contoh: Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Alasan: relasi “habis membagi” bersifat refleksif, anti-simetris, dan transitif.

48 daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.
Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling berhubungan jika salah satunya : lebih kecil (lebih besar) daripada, atau lebih rendah (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.

49 Istilah pengurutan menyatakan bahwa benda-benda di dalam himpunan tersebut dirutkan berdasarkan sifat atau kriteria tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebih kecil. Itulah alasan digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tak-lengkap

50 Latihan Jika |A| = n dan relasi R : A  A maka berapa banyak relasi R yang memiliki sifat Refleksif ? Simetris ? Struktur Diskrit

51 RELASI INVERS Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R–1 = {(b, a) | (a, b)  R }

52 Contoh 17: Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q)R jika p habis membagi q maka diperoleh : R = {(2, 2),(2, 4),(4, 4),(2, 8),(4, 8),(3, 9),(3, 15) }  R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q,p)R–1 jika q adalah kelipatan dari p maka kita peroleh : R = {(2, 2),(4, 2),(4, 4),(8, 2),(8, 4),(9, 3),(15, 3) }

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74 Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, 2003. Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, 2009. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung.

75 Notes :


Download ppt "RELASI STRUKTUR DISKRIT K-4 Program Studi Teknik Komputer"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google