Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Suryadi MT Struktur Diskrit 1 RELASI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-4.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 RELASI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-4."— Transcript presentasi:

1 Suryadi MT Struktur Diskrit 1 RELASI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-4

2 Suryadi MT 2 RELASI Relasi biner R dari himpunan P ke himpunan Q adalah himpunan bagian dari Cartesian product P dan Q (P x Q) Contoh 1: P = {1, 2, 3} and Q = {a, b} R = {(1,a), (1,b), (2,b), (3,a)} adalah relasi antara P dan Q.

3 Suryadi MT 3 RELASI Notasi: R  (P  Q). a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

4 Suryadi MT 4 DOMAIN & RANGE Jika R merupakan relasi dari P ke Q, maka Himpunan P disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Q disebut daerah hasil (range) dari R. Domain dari R adalah himpunan Dom(R) = { x  X | (x, y)  R untuk setiap y  Y} Range dari R adalah himpunan Rng(R) = { y  Y | (x, y)  R untuk setiap x  X}

5 Suryadi MT 5 DOMAIN & RANGE Contoh 2 : Jika P = {1, 2, 3} dan Q = {a, b} R = {(1,a), (1,b), (2,b)} Maka : Dom(R)= {1, 2}, Rng(R) = {a, b}

6 Suryadi MT Contoh 3 : Misalkan X = {1, 2, 3} and Y = {a, b, c, d}. Didefinisikan relasi : R = {(1,a), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c)} Relasi R dapat digambar sbb.

7 Suryadi MT Contoh 4 : Misal diketahui : P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8),}

8 Suryadi MT Relasi Unary Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A. Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.

9 Suryadi MT Contoh 5 : Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y)  R jika x adalah faktor prima dari y. Maka R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

10 Suryadi MT 10

11 Suryadi MT 11

12 Suryadi MT 12

13 Suryadi MT 13

14 Suryadi MT 14

15 Suryadi MT 15

16 Suryadi MT 16

17 Suryadi MT 17

18 Suryadi MT 18

19 Suryadi MT 19

20 Suryadi MT 20

21 Suryadi MT Contoh 11a. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka R = { (2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3) } bersifat transitif. Pasangan berbentuk (a, b) (b, c)(a, c) (3, 2) (2, 1)(3, 1) (4, 2) (2, 1)(4, 1) (4, 3) (3, 1)(4, 1) (4, 3) (3, 2)(4, 2) 21

22 Suryadi MT Contoh 11b. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R. 22

23 Suryadi MT Contoh 11c. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitif. Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} transitif karena tidak ada (a, b)  R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c)  R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu transitif. 23

24 Suryadi MT 24

25 Suryadi MT 25

26 Suryadi MT 3. SIMETRIS Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a, b)  R, maka (b, a)  R untuk setiap a, b  A. Relasi R pada himpunan A disebut tidak simetris jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R. 26

27 Suryadi MT 4. ANTI-SIMETRIS Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b untuk setiap a, b  A disebut anti- simetris. Relasi R pada himpunan A disebut tidak anti-simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R. 27

28 Suryadi MT Contoh 14a. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat : Simetris karena jika (a, b)  R maka (b, a)  R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)  R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2)  R. 28

29 Suryadi MT Contoh 14b. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena ada elemen (2, 3)  R, tetapi (3, 2)  R. 29

30 Suryadi MT Contoh 14c. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } Anti-simetris karena 1 = 1 dan (1, 1)  R, 2 = 2 dan (2, 2)  R, dan 3 = 3 dan (3, 3)  R. R juga simetris. 30

31 Suryadi MT Contoh 14d. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } Anti-simetris karena (1, 1)  R dan 1 = 1 dan, (2, 2)  R dan 2 = 2 dan. R tidak simetris. 31

32 Suryadi MT Contoh 14e. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak anti-simetris karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. R bersifat simetris. R pada contoh 14.a dan 14.b juga tidak anti- simetris. 32

33 Suryadi MT Contoh 14f. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris tetapi anti-simetris. 33

34 Suryadi MT Contoh 14g. Jika A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R berikut didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak anti-simetris. R tidak simetris karena (4, 2)  R tetapi (2, 4)  R. R tidak anti-simetris karena (2, 3)  R dan (3, 2)  R tetapi 2  3. 34

35 Suryadi MT Contoh 15 Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif, bagaimana sifat relasi tsb ? tidak simetris karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Misal : 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4)  R tetapi (4, 2)  R. Sehingga berlaku sifat anti simetris. Misal : 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4)  R dan 4 = 4. 35

36 Suryadi MT Contoh 16 Tiga buah relasi berikut menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 Apa sifat dari masing-masing relasi tsb ? 36

37 Suryadi MT Contoh 16 R : x lebih besar dari y, R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. 37

38 Suryadi MT Contoh 16 S : x + y = 6, S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. S bukan relasi anti-simetris karena, misalkan (4, 2)  S dan (4, 2)  S tetapi 4  2. 38

39 Suryadi MT Contoh 16 T : 3x + y = 10 T tidak simetris karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T. 39

40 Suryadi MT Relasi yang bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau m ij = m ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n : Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat simetris dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a. 40

41 Suryadi MT Matriks dari relasi anti-simetris mempunyai sifat yaitu jika m ij = 1 dengan i  j, maka m ji = 0. Dpl, matriks dari relasi anti-simetris adalah jika salah satu dari m ij = 0 atau m ji = 0 bila i  j. Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti-simetris dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. 41

42 Suryadi MT 42 Relasi Ekivalen Relasi R pada himpunan A disebut relasi ekivalen/kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, transitif dan simetris.

43 Suryadi MT 43 Secara intuitif, di dalam relasi ekivalen, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi ekivalen dinamakan setara (equivalent).

44 Suryadi MT 44 Contoh: A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A: (a, b)  R jika a satu angkatan dengan b. R refleksif : setiap mahasiswa seangkatan dengan dirinya sendiri R simetris : jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a. R transitif : jika a seangkatan dengan b dan b seangkatan dengan c, maka pastilah a seangkatan dengan c. Dengan demikian, R adalah relasi equivalent.

45 Suryadi MT 45 Relasi Pengurutan Parsial Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation) jika ia refleksif, anti-simetris, dan transitif. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara parsial (partially ordered set, atau poset), dan dilambangkan dengan (S, R).

46 Suryadi MT 46 Contoh: Relasi  pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: Relasi  : refleksif, karena a  a untuk setiap bilangan bulat a; Relasi  : anti-simetris, karena jika a  b dan b  a, maka a = b; Relasi  : transitif, karena jika a  b dan b  c maka a  c.

47 Suryadi MT 47 Contoh: Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial. Alasan: relasi “habis membagi” bersifat refleksif, anti-simetris, dan transitif.

48 Suryadi MT 48 Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, dua buah benda saling berhubungan jika salah satunya : lebih kecil (lebih besar) daripada, atau lebih rendah (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu.

49 Suryadi MT 49 Istilah pengurutan menyatakan bahwa benda- benda di dalam himpunan tersebut dirutkan berdasarkan sifat atau kriteria tersebut. Ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat membandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebih kecil. Itulah alasan digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tak-lengkap

50 Suryadi MT Latihan Jika |A| = n dan relasi R : A  A maka berapa banyak relasi R yang memiliki sifat Refleksif ? Simetris ? Struktur Diskrit 50

51 Suryadi MT RELASI INVERS Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R –1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R –1 = {(b, a) | (a, b)  R } 51

52 Suryadi MT Contoh 17: Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q)  R jika p habis membagi q maka diperoleh : R = {(2, 2),(2, 4),(4, 4),(2, 8),(4, 8),(3, 9),(3, 15) } R –1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q,p)  R –1 jika q adalah kelipatan dari p maka kita peroleh : R = {(2, 2),(4, 2),(4, 4),(8, 2),(8, 4),(9, 3),(15, 3) } 52

53 Suryadi MT 53

54 Suryadi MT 54

55 Suryadi MT 55

56 Suryadi MT 56

57 Suryadi MT 57

58 Suryadi MT 58

59 Suryadi MT 59

60 Suryadi MT 60

61 Suryadi MT 61

62 Suryadi MT 62

63 Suryadi MT 63

64 Suryadi MT 64

65 Suryadi MT 65

66 Suryadi MT 66

67 Suryadi MT 67

68 Suryadi MT 68

69 Suryadi MT 69

70 Suryadi MT 70

71 Suryadi MT 71

72 Suryadi MT 72

73 Suryadi MT 73

74 Suryadi MT 74 Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung.

75 Suryadi MT 75 Notes :


Download ppt "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 RELASI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-4."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google