Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan."— Transcript presentasi:

1 Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan

2 Definisi:  Struktur Aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif terhadap pergandaan disebut skew field (medan miring)

3 Field memiliki syarat sama dengan ring komutatif (ax:1,2,3,4,5, 1 ’,2 ’,D,5’,3’ dan 4 ’ ). 4 ’ dengan syarat (Va Є R,a ≠ 0) ( Э a Є R) a -1 a=a. a -1 =e,e=elemen satuan terhadap (x) dalam R)

4 Field : Ring komutatif, ring dengan elemen satuan perkalian dan 4 ’ (setiap elemen satuan nol mempunyai invers terhadap perkalian) Contoh Soal: Selidiki apakah I 7 suatu field terhadap penjumlahan dan perkalian mod 7!

5 Jawab :

6 x

7 1. Tertutup”+” (Va,b Є I 7 ) ( Э !c Є I 7 )a+b = c misal: 1,4 Є I 7 → 1+4 = 5 ; 5 Є I 7 2,3 Є I 7 → 2+3 = 5 ; 5 Є I 7, dst 2. Assosiatif”+” (Va,b,c Є I 7 ) (a+b)+c = a+(b+c) misal: 1,2,4 Є I 7 → (1+2)+4 = 1+(2+4) 3+4 = = 7 (mod 7) 0 = 0, dst

8 3. Terdapat elemen satuan “+” ( Э z Є I 7 ) (Va Є I 7 ) z+a = a+z = a contoh : 2 Є I 7 → 0+2 = 2+0 = 2 3 Є I 7 → 0+3 = 3+0 = 3, dst 4. Setiap elemen dalam I 7 mempunyai elemen invers terhadap”+” (Va Є I 7 ) ( Э (-a) Є I 7 ) (-a)+a = a+(-a) = z Invers dari 0,1,2,3,4,5,6 masing-masing adalah 0,6,5,4,3,2,1 sebab : = = = = = = = 0

9 5. Komutatif “+” (Va,b Є I 7 ) a + b = b + a misal: 2,4 Є I 7 → 2+4 = = 6 Є I 7 1 ’. Tertutup “x” (Va,b Є I 7 ) ( Э !c Є I 7 )axb = c misal : 2,3 Є I 7 → 2x3 = 6, 6 Є I 7 2 ’. Assosiatif “x” (Va,b,c Є I 7 ) (a x b) x c = a x (b x c) misal: 2,3,4 Є I 7 → (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 6 x 4 = 2 x 5 ( mod 7) 3 = 3 (mod 7)

10 3 ’. Terdapat elemen satuan “x” ( Э e Є I 7 ) (Va Є I 7 ) a x e = e x a = a contoh : 2.1 Є I 7 → 2.1 = 1.2 = 2 Jadi elemen satuan terhadap “x” = 1 4 ’. Setiap elemen dalam I 7 mempunyai elemen invers “x” (Va Є I 7 ) ( Э a -1 Є I 7 ) (a -1 )+a = a+(a -1 ) = 1 Elemen invers dari 1,2,3,4,5,6 masing – masing adalah 1,4,5,2,3,6 sebab: 1 x 1 = 14 x 2 = 1 2 x 4 = 15 x 3 = 1 3 x 5 = 16 x 6 = 1

11 5 ’. Komutatif “x” (Va,b Є I 7 ) a x b = b x a misal: 2,5 Є I 7 → 2 x 5 = 5 x 2 3 = 3 D. Distributif (Va,b,c Є I 7 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 Є I 7 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 7 = (mod 7) 1 x 0 = 7 (mod 7) 0 = 0

12 (3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 7) 7 x 1 = x 1 = 7 (mod 7) 0= 0 Karena I 7 memenuhi 1,2,3,4,5, 1 ’,2 ’, 3 ’, 4 ’,5 ’ dan D maka I 7 suatu field

13 Definisi : Struktur aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komutatif pergandaan, adanya elemen satuan dan tiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai elemen invers tetapi tidak mensyaratkan berlakunya setiap persamaan ax = b mempunyai jawaban disebut DIVISION RING (RING PEMBAGIAN)

14 Dengan kata lain syarat Ring pembagian  Memenuhi sifat – sifat Ring (1,2,3,4,5, 1 ’,2 ’,D)  ax = b Contoh soal Selidiki apakah A={0,1,2,3,4} terhadap penjumlahan dan pergandaan modulo 5 merupakan Ring pembagian yang komutatif !

15

16 x

17 1. Tertutup”+” (Va,b Є I 5 ) ( Э !c Є I 5 )a+b = c misal: 1,3 Є I 5 → 1+3 = 4 ; 4 Є I 5 2,4 Є I 5 → 2+4 = 1 ; 1 Є I 5, dst 2. Assosiatif”+” (Va,b,c Є I 5 ) (a+b)+c = a+(b+c) misal: 1,3,4 Є I 5 → (1+3)+4 = 1+(3+4) 4+4 = = 8 (mod 5) 0 = 0, dst

18 3. Terdapat elemen satuan “+” ( Э z Є I 5 ) (Va Є I 5 ) z+a = a+z = a contoh : 3 Є I 5 → 0+3 = 3+0 = 3 4 Є I 5 → 0+4 = 4+0 = 4, dst 4. Setiap elemen dalam I 5 mempunyai elemen invers terhadap”+” (Va Є I 5 ) ( Э (-a) Є I 5 ) (-a)+a = a+(-a) = z Invers dari 0,1,2,3,4 masing-masing adalah 0,4,3,2,1 sebab : = = = = = 0

19 5. Komutatif “+” (Va,b Є I 5 ) a + b = b + a misal: 2,3 Є I 5 → 2+3 = = 0 Є I 5 1 ’. Tertutup “x” (Va,b Є I 5 ) ( Э !c Є I 5 )axb = c misal : 1,3 Є I 5 → 1x3 = 3, 3 Є I 5 2 ’. Assosiatif “x” (Va,b,c Є I 5 ) (a x b) x c = a x (b x c) misal: 1,3,4 Є I 5 → (1 x 3) x 4 = 1 x (3 x 4) 3 x 4 = 1 x 2 ( mod 7) 2 = 2 (mod 7)

20 D. Distributif (Va,b,c Є I 5 )a x (b + c) = (a x b)+(a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) misal : 1,3,4 Є I 5 → 1 x (3 + 4) = (1 x 3) + (1 x 4) 1 x 2 = (mod 5) 2 = 2 (mod 7) (3 + 4) x 1 = (3 x 1) + (4 x 1) (mod 5) 2 x 1 = = 2 (mod 5)

21  ax = b Karena anggota I 5 = {0,1,2,3,4} maka ax = b → 2x = 4 x = 2 (2 Є I 5 ) Karena I 5 memenuhi sifat 1,2,3,4,5, 1 ’,2 ’,D dan ax = b, maka I 5 merupakan ring pembagian yang komutatif


Download ppt "Definisi : Suatu Ring komutatif dengan elemen satuan yang tiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers disebut field atau medan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google