Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PERTEMUAN III Metode Simpleks. Definisi Metode Simpleks Prosedur aljabar yg bersifat iteratif, dimulai dari titik ekstrem yg feasible s/d titik ekstrem.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PERTEMUAN III Metode Simpleks. Definisi Metode Simpleks Prosedur aljabar yg bersifat iteratif, dimulai dari titik ekstrem yg feasible s/d titik ekstrem."— Transcript presentasi:

1 PERTEMUAN III Metode Simpleks

2 Definisi Metode Simpleks Prosedur aljabar yg bersifat iteratif, dimulai dari titik ekstrem yg feasible s/d titik ekstrem yg optimal. Jumlah iterasi tidak akan lebih dari: = n! / ( n-m)! m! n = jumlah variabel ; m = jumlah batasan

3 Tujuan 1. Memberikan interpretasi ekonomi 2. Menerjemahkan definisi geometris dari titik ekstrim menjadi definisi aljabar

4 Pengembangan M. Simpleks Jenis-Jenis Metode Simpleks: Algoritma Simpleks Primal Algoritma Simpleks Dual

5 Pengembangan M. Simpleks (cont’d) Beberapa batasan dlm LP: ≤, ≥, = Definisi: 1.Solusi basis : solusi dimana terdapat variabel bukan nol. Untuk mendapat solusi basis dari LP, maka beberapa variabel di-nol-kan. Var. yg di nol-kan disebut NonBasis variabel (NBV). LP dengan n variabel dan jumlah pers. batasan m, maka jml (NBV) = n-m.

6 Definisi (cont’d) 2.Solusi basis feasible: jika solusi basis berharga non (-).

7 Titik Optimum

8 Batasan 1.Variabel dgn batasan ≤, ≥, dpt dikonversi menjadi sebuah persamaan dgn (+) variabel slack atau (-) var. surplus ke sisi kiri batasan tsb. Contoh: x1 + 2x2 ≤ 6  x1 + 2x2 + s1 = 6, s1 ≥ 0 3x1 + 2x2 - 3x3 ≥ 5  3x1 + 2x2 - 3x3 – s2 = 5, s2 ≥ 0

9 Batasan (Cont’d) 2.Sisi kanan sebuah persamaan dpt dibuat selalu nonnegatif dgn mengalikan kedua sisi dgn -1. Contoh: 2x1 + 3x2 - 7x3 = x1 - 3x2 + 7x3 = 5

10 Batasan (Cont’d) 3.Arah pertidaksamaan dibalik ketika kedua sisi dikalikan dgn -1. Contoh: 2x1 – x2 ≤ x1 + x2 ≥ 5

11 Solusi Dasar Dalam LP terdapat dua solusi: Jika solusi awal  Layak (≥0, feasible)  simpleks primal Jika solusi awal  Tidak Layak (<0, infeasible)  simpleks dual  sampai tercipta solusi yg layak.

12 Metode Simpleks Primal Berawal dari solusi dasar yg layak (ttk ekstrim) dan berlanjut berulang melalui pemecahan dasar yg layak berikutnya sampai titik optimal dicapai.

13 Langkah Metode Simpleks u/ Maksimasi 1.Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar 2.Cari Solusi Basis Feasible (BFS) 3.Jika seluruh NBV pada fungsi tujuan memiliki koefisien non (-), maka BFS sudah optimal. Jika ada koefisien (-), pilih salah satu variabel yg memiliki koefisien paling (-). Variabel ini  Entering Variabel (EV) 4.Hitung rasio dari (Ruas kanan / Koefisien EV) pada setiap baris pembatas. Pilih nilai terkecil, variabel ini  Leaving Variabel (LV). Gunakan metode Gauss-Jordan untuk operasi baris elementer (ERO). Kembali ke langkah 3.

14 Contoh Simpleks Primal Kasus RM: Max z = 3x E + 2x I Batasan x E + 2x I ≤ 6 2x E + x I ≤ 8 -x E + x I ≤ 1 x I ≤ 2 x E, x I ≥ 0

15 Contoh Simpleks Primal (cont’d) Langkah 1 : Konversi ke bentuk standar Max z = 3x E + 2x I + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 Batasan x E + 2x I + s 1 = 6 2x E + x I + 1s 2 = 8 -x E + x I + s 3 = 1 x I + s 4 = 2 x E, x I, s 1, s 2, s 3, s 4 ≥ 0

16 Contoh Simpleks Primal (Cont’d) Langkah 2 : Tentukan BFS Model diatas memiliki: m = 4 persamaan & n = 6 variabel Jumlah NBV = 6 – 4 = 2 varibel. BV = (s 1, s 2, s 3, s 4 ) ; NBV = ( x E, x I ) BFS – nya adalah : s 1 = 6, s 2 = 8, s 3 = 1, s 4 = 2, dan x E = x I = 0  diperoleh solusi yg layak (feasible) Solusi dasar ini mewakili starting solution atau iterasi awal Simpleks Primal

17 Contoh Simpleks Primal (Cont’d) Langkah 3 : Pemilihan Entering Variabel Fungsi Tujuan z - 3x E - 2x I = 0 Kenaikan 1 unit x E  z naik 3 kali Kenaikan 1 unit x I  z naik 2 kali Untuk mengoptimalkan hasil, dengan iterasi yg sedikit mungkin, maka dipilih x E sebagai entering var

18 Contoh Simpleks Primal (Cont’d) Langkah 4: Hit. Rasio u/ memilih Leaving Var. Solusi dasar diperoleh dgn memasukkan entering var thd basis var. Basis var yg dikeluarkan disebut leaving var. x E = entering var dan s 2 = leaving var Dipilih s 2 karena merupakan titik potong terkecil (rasio terkecil ) Rasio s 1 = 6/1 = 6 Rasio s 2 = 8/2 = 4

19 Contoh Simpleks Primal (cont’d) Langkah 1 : Konversi ke bentuk standar Max z = 3x E + 2x I + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 Batasan x E + 2x I + s 1 = 6 2x E + x I + 1s 2 = 8 -x E + x I + s 3 = 1 x I + s 4 = 2 x E, x I, s 1, s 2, s 3, s 4 ≥ 0

20 Contoh: Model RM Iterasi 0 Entering Column (Kolom Masuk) Elemen Pivot Baris s 2  persamaan pivot BV z xExE xIxI s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 Solusi z s1s s2s s3s s4s

21 Metode Gauss Jordan Menggunakan 2 jenis perhitungan: 1.Persamaan pivot Pivot baru = Pivot lama ÷ elemen pivot 2.Persamaan baru Pers. Baru = pers. Lama – (koef. Entering Column) * Pivot baru

22 Persamaan Pivot Basis z xExE xIxI s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 Solusi z s1xEs3s4s1xEs3s4 011/20 008/2 = 4

23 Model RM (cont’d) Untuk melengkapi tabel diatas, maka dapat dilakukan perhitungan sbb: Persamaan z: Pers. z lama: ( ) -(-3)* Pers. Pivot baru: (0 3 3/2 0 3/ ) Pers. z baru: (1 0 -1/2 0 3/ )

24 Model RM (cont’d) Persamaan s 1 : Pers. s 1 lama: ( ) -(1)* Pers. Pivot baru: ( /2 0 -1/ ) Pers. s 1 baru: (0 0 3/2 1 -1/ ) Persamaan s 3 : Pers. s 3 lama: ( ) -(-1)* Pers. Pivot baru: (0 1 1/2 0 1/ ) Pers. s 3 baru: (0 0 3/2 0 1/ )

25 Model RM (cont’d) Persamaan s 4 Sama dengan pers. S 4 lama karena koefisien Entering Column-nya = 0.

26 Iterasi 1 Basis z xExE xIxI s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 Solusi z 10-1/203/20012 s1xEs3s4s1xEs3s /2 1/2 3/ /2 1/

27 Iterasi 2 Basis z xExE xIxI s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 Solusi z 1001/34/ / 3 xIxEs3s4xIxEs3s /3 -1/3 -2/3 -1/3 2/3 1 1/ /3 10/3 3 2/3 x E = 3 1 /3 ; x I = 1 1 /3 ; z = 12 2 / 3 Tak satupun dari variabel non dasar memiliki koefisien negatif dalam z  solusi optimal

28 Algoritma Simpleks u/ Minimasi Untuk menyelesaikan persoalan LP dengan tujuan meminimumkan Z, ada 2 cara yg dapat dilakukan, yaitu: 1.Mengubah Fungsi tujuan dan persamaannya, kemudian menyelesaikannya sebagai persoalan maksimasi. 2.Jika seluruh NBV (Non Basis Variabel) memiliki koefisien yg berharga nonpositif ( (-) atau 0), maka BFS sudah optimal. Jika pada baris 0 masih ada variabel dgn koef. (+), pilih var. tsb menjadi EV.

29 Contoh Simpleks Minimasi Min z = 2x 1 - 3x 2 Batasan: x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 - x 2 ≤ 6 x 1, x 2 ≥0 Jika dilakukan cara I, maka fungsi tujuan akan berubah menjadi : Max -z = -2x 1 + 3x 2 Dengan seluruh batasan tidak berubah, persoalan dpt diselesaikan sebagai persoalan maksimasi.

30 Contoh Simpleks Minimasi (cont’d) Jika dilakukan cara II maka akan diperoleh sbb: Iterasi 0 Basiszx1x1 x 2 s1s1 s2s2 Solusi z s1s s2s

31 Contoh Simpleks Minimasi (cont’d) Iterasi 1 Basiszx1x1 x 2 s1s1 s2s2 Solusi z x s2s Solusi Optimal: x1 = 0 ; x2 = 4 ; z = -12


Download ppt "PERTEMUAN III Metode Simpleks. Definisi Metode Simpleks Prosedur aljabar yg bersifat iteratif, dimulai dari titik ekstrem yg feasible s/d titik ekstrem."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google