Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Divide and Conquer dulunya adalah strategi militer yang dikenal dengan nama divide ut imperes. Sekarang strategi tersebut menjadi strategi fundamental.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Divide and Conquer dulunya adalah strategi militer yang dikenal dengan nama divide ut imperes. Sekarang strategi tersebut menjadi strategi fundamental."— Transcript presentasi:

1

2 Divide and Conquer dulunya adalah strategi militer yang dikenal dengan nama divide ut imperes. Sekarang strategi tersebut menjadi strategi fundamental di dalam ilmu komputer dengan nama Divide and Conquer.

3 Definisi Divide: membagi masalah menjadi beberapa sub- masalah yang memiliki kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil (idealnya berukuran hampir sama), Conquer: memecahkan (menyelesaikan) masing- masing sub-masalah (secara rekursif), dan Combine: mengabungkan solusi masing-masing sub-masalah sehingga membentuk solusi masalah semula.

4 Obyek permasalahan yang dibagi : masukan (input) atau instances yang berukuran n seperti: - tabel (array), - matriks, - eksponen, - dll, bergantung pada masalahnya. Tiap-tiap sub-masalah mempunyai karakteristik yang sama dengan karakteristik masalah asal, sehingga metode Divide and Conquer lebih natural diungkapkan dalam skema rekursif.

5 Skema Umum Algoritma Divide and Conquer

6 Jika pembagian selalu menghasilkan dua upa-masalah yang berukuran sama:

7 Contoh-contoh masalah 1. Mencari Nilai Minimum dan Maksimum (MinMaks) Persoalan: Misalkan diberikan tabel A yang berukuran n elemen dan sudah berisi nilai integer. Carilah nilai minimum dan nilai maksimum sekaligus di dalam tabel tersebut.

8 Penyelesaian dengan Algoritma Brute Force T(n) = (n – 1) + (n – 1) = 2n – 2 = O(n)

9 Penyelesaian dengan Divide and Conquer

10 Ukuran tabel hasil pembagian dapat dibuat cukup kecil sehingga mencari minimum dan maksimum dapat diselesaikan (SOLVE) secara lebih mudah. Dalam hal ini, ukuran kecil yang dipilih adalah 1 elemen atau 2 elemen.

11 MinMaks(A, n, min, maks) Algoritma: 1. Untuk kasus n = 1 atau n = 2, SOLVE: Jika n = 1, maka min = maks = A[n] Jika n = 2, maka bandingkan kedua elemen untuk menentukan min dan maks. 2. Untuk kasus n > 2, (a) DIVIDE: Bagi dua tabel A menjadi dua bagian yang sama, A1 dan A2 (b) CONQUER: MinMaks(A1, n/2, min1, maks1) MInMaks(A2, n/2, min2, maks2) (c) COMBINE: if min1

12

13

14 Kompleksitas waktu asimptotik:

15 MinMaks1 secara brute force : T(n) = 2n – 2 MinMaks2 secara divide and conquer: T(n) = 3n/2 – 2 Perhatikan: 3n/2 – 2 < 2n – 2, n  2. Kesimpulan: algoritma MinMaks lebih mangkus dengan metdoe Divide and Conquer.

16 2. Mencari Pasangan Titik yang Jaraknya Terdekat (Closest Pair) Persoalan: Diberikan himpunan titik, P, yang terdiri dari n buah titik, (x i, y i ), pada bidang 2-D. Tentukan jarak terdekat antara dua buah titik di dalam himpunan P.

17 Jarak dua buah titik p 1 = (x 1, y 1 ) dan p 2 = (x 2, y 2 ):

18 Penyelesaian dengan Algoritma Brute Force Hitung jarak setiap pasang titik. Ada sebanyak C(n, 2) = n(n – 1)/2 pasangan titik Pilih pasangan titik yang mempunyai jarak terkecil. Kompleksitas algoritma adalah O(n 2 ).

19 Penyelesaian dengan Divide and Conquer Asumsi: n = 2 k dan titik-titik diurut berdasarkan absis (x). Algoritma Closest Pair: 1. SOLVE: jika n = 2, maka jarak kedua titik dihitung langsung dengan rumus Euclidean.

20 2. DIVIDE: Bagi himpunan titik ke dalam dua bagian, P left dan P right, setiap bagian mempunyai jumlah titik yang sama.

21 3. CONQUER: Secara rekursif, terapkan algoritma D- and-C pada masing-masing bagian. 4. Pasangan titik yang jaraknya terdekat ada tiga kemungkinan letaknya: (a) Pasangan titik terdekat terdapat di bagian P Left. (b) Pasangan titik terdekat terdapat di bagian P Right. (c) Pasangan titik terdekat dipisahkan oleh garis batas L, yaitu satu titik di P Left dan satu titik di P Right. Jika kasusnya adalah (c), maka lakukan tahap COMBINE untuk mendapatkan jarak dua titik terdekat sebagai solusi persoalan semula.

22

23 Jika terdapat pasangan titik p l and p r yang jaraknya lebih kecil dari delta, maka kasusnya adalah: (i) Absis x dari p l dan p r berbeda paling banyak sebesar delta. (ii) Ordinat y dari p l dan p r berbeda paling banyak sebesar delta.

24 Ini berarti p l and p r adalah sepasang titik yang berada di daerah sekitar garis vertikal L:

25 Oleh karena itu, implementasi tahap COMBINE sbb: (i)Temukan semua titik di P Left yang memiliki absis x minimal x n/2 – delta. (ii ) Temukan semua titik di P Right yang memiliki absis x maksimal x n/2+ delta. Sebut semua titik-titik yang ditemukan pada langkah (i) dan (ii) tersebut sebagai himpunanP strip yang berisi s buah titik. Urut titik-titik tersebut dalam urutan absis y yang menaik. Misalkan q1, q2,..., qs menyatakan hasil pengurutan.

26 Langkah COMBINE:

27 Kompleksitas algoritma: Solusi dari persamaan di atas adalah T(n) = O(n log n).

28 4. Perpangkatan a n Misalkan a  R dan n adalah bilangan bulat tidak negatif: a n = a × a × … × a (n kali), jika n > 0 = 1, jika n = 0

29

30 Penyelesaian dengan Divide and Conquer Algoritma menghitung a n : 1. Untuk kasus n = 0, maka a n = Untuk kasus n > 0, bedakan menjadi dua kasus lagi: (i) jika n genap, maka a n = a n/2  a n/2 (ii) jika n ganjil, maka a n = a n/2  a n/2  a

31

32

33

34

35 5. Perkalian Matriks Misalkan A dan B dua buah matrik berukuran n  n. Perkalian matriks: C = A × B

36

37

38

39

40

41

42 Algoritma Perkalian Matriks Strassen Hitung matriks antara: M1 = (A12 – A22)(B21 + B22) M2 = (A11 + A22)(B11 + B22) M3 = (A11 – A21)(B11 + B12) M4 = (A11 + A12)B22 M5 = A11 (B12 – B22) M6 = A22 (B21 – B11) M7 = (A21 + A22)B11 maka, C11 = M1 + M2 – M4 + M6 C12 = M4 + M5 C21 = M6 + M7 C22 = M2 – M3 + M5 – M7

43

44 6. Perkalian Dua Buah Bilangan Bulat yang Besar Persoalan: Misalkan bilangan bulat X dan Y yang panjangnya n angka X = x 1 x 2 x 3 … x n Y = y 1 y 2 y3… y n Hitunglah hasil kali X dengan Y.

45

46

47

48

49

50 Penyelesaian: T(n) = O(n 2 ). Ternyata, perkalian dengan algoritma Divide and Conquer seperti di atas belum memperbaiki kompleksitas waktu algoritma perkalian secara brute force. Adakah algoritma perkalian yang lebih baik?

51 Perbaikan (A.A Karatsuba, 1962):

52

53


Download ppt "Divide and Conquer dulunya adalah strategi militer yang dikenal dengan nama divide ut imperes. Sekarang strategi tersebut menjadi strategi fundamental."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google