Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1/10/2015Fisika I1 VEKTOR 1/10/2015Fisika I2 BAB I : VEKTOR a b R Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1/10/2015Fisika I1 VEKTOR 1/10/2015Fisika I2 BAB I : VEKTOR a b R Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan."— Transcript presentasi:

1

2 1/10/2015Fisika I1 VEKTOR

3 1/10/2015Fisika I2 BAB I : VEKTOR a b R Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

4 1/10/2015Fisika I3 PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b c a R S T T = R + S

5 1/10/2015Fisika I4 BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S R S T T = R + S θ (1.1)

6 1/10/2015Fisika I5 PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. A B -B D D = A – B

7 1/10/2015Fisika I6 CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! 40 km S 10 km 20 km U B

8 1/10/2015Fisika I7 CONTOH Jawab : 40 km 10 km 20 km 10 km 40 km A B C D = A + B + C Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

9 1/10/2015Fisika I8 VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif (1.2)

10 1/10/2015Fisika I9 PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Vektor R dinyatakan oleh : R = R x i + R y j + R z k Besar vektor R adalah : R RyRy RzRz RxRx Vektor dalam 2 Dimensi Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

11 1/10/2015Fisika I10 CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a.Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b.Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c.Panjang vektor Jawab : (2,2) (-2,5) x y Vektor perpindahan : R = (x ujung – x pangkal )i + (y ujung – y pangkal )j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j pangkal ujung  RxRx RyRy a.

12 1/10/2015Fisika I11 CONTOH (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  RxRx RyRy b. Besar vektor R = c. satuan Sudut yang dibentuk :

13 1/10/2015Fisika I12 PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = x A i + y A j dan vektor B = x B i + y B j, maka penjumlahan vektor A + B = (x A + x B )i + (y A + y B )j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x 0 + …+x i + …+x n )i + (y 0 + …+y i + …+y n )j xAxA xBxB yAyA yByB A B x A + x B A + B A B y A + y B (1.3)

14 1/10/2015Fisika I13 CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i  4j Tentukan : a. A + B dan  A + B  b. A  B dan  A  B  Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j  A + B  = b. A  B = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j  A  B  = A B A + B -B A  B

15 1/10/2015Fisika I14 SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60 o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2.Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. T entukan : a. A + B - C b.  A + B + C 

16 1/10/2015Fisika I15 SOLUSI R = R x i + R y j Diketahui : R x = R cos  = 4 cos 60 o = 2 satuan R y = R sin  = 4 sin 60 o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60 o + sin 60 o = ½ i + ½ j 60 o X Y R  1.

17 1/10/2015Fisika I16 SOLUSI X Y R a.R = (x 2 – x 1 ) i + (y 2 – y 1 ) j. Titik awal (x 1,y 1 ) = (1,2) dan titik akhir (x 2,y 2 ) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j. b.R = c. 2.

18 1/10/2015Fisika I17 SOLUSI 4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j b.  A + B + C  =  2i + 4j - 7i + 8j  =  -5i + 12j   -5i + 12j  = = 13 satuan 3. Besar vektor A = = 5 satuan Dengan demikian nilai c = 2 satuan

19 1/10/2015Fisika I18 PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A. B = AB cos  (1.4) Jika diketahui A = a x i + a y j + a z k dan B = b x i + b y j + b z k, maka : A. B = a x b x + a y b y + a z b z (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. A B 

20 1/10/2015Fisika I19 PERKALIAN SKALAR Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i. i = j. j = k. k = 1 i. j = j. k = k. i = 0 Perhatikan animasi di samping ini !

21 1/10/2015Fisika I20 CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : A B  Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A. B = (3i + 4j). (4i  2j) = (-2) = 4 Besar vektor A = Besar vektor B = Dengan demikian  = 79,7 o ABAB

22 1/10/2015Fisika I21 PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A  B = C(1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin  (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A  B tidak sama dengan B  A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B B A A C = A  B C’ = B  A   C = -C’

23 1/10/2015Fisika I22 PERKALIAN VEKTOR Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j Perhatikan animasi di samping ini !

24 1/10/2015Fisika I23 PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A  B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

25 1/10/2015Fisika I24 CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i  2j + k Tentukan : a. A  B b. Buktikan A  B = -B  A Jawab : A  B = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(i  i) + 3.(-2)(i  j) + 3.1(i  k) + 4.4(j  i) + 4.(-2)(j  j) + 4.1(j  k) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – i = 4i – 3j – 22k a. B  A = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(i  i) + 4.4(i  j) +(- 2).3(j  i) + (-2).4(j  j) + 1.3(k  i) + 1.3(k  j) = k – 6(- k) – j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A  B terbukti b.

26 1/10/2015Fisika I25 SOAL 1.Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 2.Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A. (B  C) b. A. (B + C) c. A  (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

27 1/10/2015Fisika I26 SOLUSI Menurut persamaan (1.5) A. B = (-1).(-4) = 7. Besar vektor A : 1. Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1 o Besar vektor B : 2. A B ABAB  Panjang A B menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

28 1/10/2015Fisika I27 SOLUSI B  C = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i A. (B  C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = – 8 = 4 3.a. B + C = 4i + 4j. Nilai A. (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b. A  (B + C) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k c. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90 o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R. S = RS cos 90 o = RS. 0 = 0 R. S = R x S x + R y S y + R z S z Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R. S = (-4).2 = 0 4.

29 1/10/2015Fisika I28 BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x 1, x 2,..., x n )(1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan x i menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q 1, besar muatan kedua q 2, jarak antar partikel r 12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

30 1/10/2015Fisika I29 BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Dari grafik di samping diketahui y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ), y 3 = f(x 3 ), dan y 4 = y 1. Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. y x x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 y1y1 y2y2 y3y3

31 1/10/2015Fisika I30 BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. t (detik)x (meter) x(t) = (t – 3) 2

32 1/10/2015Fisika I31 BESARAN FISIS Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC. r (m)E (N/C) 19 22, , ,36 60, , , ,09

33 1/10/2015Fisika I32 CONTOH 1.Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! x F F =kx

34 1/10/2015Fisika I33 Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e -At ) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t ! 2. CONTOH t Q = q(1 – e -At ) Q q

35 1/10/2015Fisika I34 DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. f(x) x cc+h f(c+h) f(c) Garis singgung Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : P ( 1.9)

36 1/10/2015Fisika I35 DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x)DxyDxy Berlaku untuk turunan : 1.D x (cf(x)) = c D x f(x)c : konstanta (1.11a) 2.D x (f(x) + g(x)) = D x f(x) + D x g(x)(1.11b) 3.D x (f(x)g(x)) = (D x f(x))g(x) + f(x)(D x g(x))(1.11c) 4.D x (f(g(x))) = D g(x) f(g(x)).D x g(x)(1.11d) 5.D x (x n ) = nX n-1 (1.11e)

37 1/10/2015Fisika I36 DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

38 1/10/2015Fisika I37 CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e -At ) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Jawab : Besar arus I :a. Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe -A.0 = qA b. qA I(t) t c.

39 1/10/2015Fisika I38 INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. x0x0 xx x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3) dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.

40 1/10/2015Fisika I39 Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)  x + f(2)  x + f(3)  x + f(4)  x + f(5)  x + f(6)  x + f(7)  x INTEGRAL Nilai  x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

41 1/10/2015Fisika I40 INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak Fluks = Medan  luas

42 1/10/2015Fisika I41 CONTOH Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : Usaha yang dilakukan :a. W =½kx 2 W x b.

43 1/10/2015Fisika I42 SOAL Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx 2. Jika diketahui nilai A = 10 3 N/m dan B = N/m 2. Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 1. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. 2. x (m) V (volt) Tentukan : a.Fungsi potensial V sebagai fungsi x b.Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) c.Gambarkan grafik E terhadap x

44 1/10/2015Fisika I43 SOAL Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t 2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu f. Posisi saat kecepatan v = 0 3.

45 1/10/2015Fisika I44 SOLUSI x (cm) F (N) 1. a. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A – 2Bx = 10 3 – 10 4 x 1. b.

46 1/10/2015Fisika I45 SOLUSI Usaha yang dilakukan : W = A – B = 2,43 Joule 1. c. 2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4)0.a + b = 4 Untuk titik (10,8)10.a + b = V (volt) x (m) Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

47 1/10/2015Fisika I46 SOLUSI Medan listrik E(x) = Dengan demikian nilai E(x) konstan. x (m) E (V/m) 2,5 2. b. 2. c. x (m) v (m/s) 3. a. = 2,5

48 1/10/2015Fisika I47 SOLUSI Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – = 12 m/s. 3. b. Percepatan a(t) = = 10 – 4t 3. c. x (m) a (m/s 2 ) 3. d.

49 1/10/2015Fisika I48 SOLUSI Fungsi posisi x(t) =3. e. Saat v = 10t – 2t 2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m 3. f. x(5) =


Download ppt "1/10/2015Fisika I1 VEKTOR 1/10/2015Fisika I2 BAB I : VEKTOR a b R Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google