Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB IV V E K T O R. Pengantar Vektor Besaran Skalar Tidak mempunyai arah Vektor Mempunyai arah.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB IV V E K T O R. Pengantar Vektor Besaran Skalar Tidak mempunyai arah Vektor Mempunyai arah."— Transcript presentasi:

1 BAB IV V E K T O R

2 Pengantar Vektor Besaran Skalar Tidak mempunyai arah Vektor Mempunyai arah

3 Vektor Geometris  Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.  Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.  Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor.  Ujung panah disebut titik ujung vektor.

4 Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut :  Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v.  Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w. v w v + w v + w = w + v

5  Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0.  Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. -v v Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0

6 Vektor-vektor dalam sistem koordinat  Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang) Koordinat v 1 dan v 2 dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita tuliskan : v = (v 1, v 2 ) x y v (v 1, v 2 )

7  Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang) z x y 0 P Y Z X

8 SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR  Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3, k dan l adalah skalar, maka : 1.u + v = v + u 2.(u+v) + w = u + (v+w) 3.u + 0 = 0 + u = u 4.u + (-u) = 0 5.k ( lu ) = kl (u) 6.k (u+v) = ku + kv 7.(k+l) u = ku + lu u = u

9 Panjang Vektor (Norma)  Panjang suatu vektor u dinyatakan dengan |u|. Untuk ruang berdimensi 2. Untuk ruang berdimensi 3.

10 Jarak Vektor  Untuk ruang berdimensi 2  Untuk ruang berdimensi 3

11 Hasil kali Titik dari Vektor  Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 dan  adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam euclidean u.v, didefinisikan sebagai :

12 Sudut Antara 2 Vektor  Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

13 Hasil kali titik bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor.  Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan  adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :  lancipjika dan hanya jika u.v>0  tumpul jika dan hanya jika u.v<0  =  /2 jika dan hanya jika u.v=0

14 Vektor-Vektor Ortogonal  Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor- vektor ortogonal.  Dua vektor u dan v ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika uv = 0.  Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor- vektor yang ortogonal maka kita tuliskan u  v.

15 Proyeksi Ortogonal  Jika u dan a adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan jika a ≠ 0, maka : Komponen vektor u yang sejajar dengan a Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a

16 Hasil Kali Silang Vektor  Jika hasil kali titik berupa suatu skalar maka hasil kali silang berupa suatu vektor.  Jika u=(u1,u2,u3) dan v=(v1,v2,v3) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai : u x v =(u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) u x v =(u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) atau dalam notasi determinan :

17 Sifat-sifat utama dari hasil kali silang.  Jika u,v, dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka : u x v = -(v x u) u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0

18 Hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang  Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka : u.(u x v) = 0u x v ortogonal terhadap u. v.(u x v) = 0u x v ortogonal terhadap v. |u x v| 2 =|u| 2 |v| 2 – (u.v) 2 u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u

19 GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI 3  Teorema 1 Jika a,b,c,dan d adalah konstanta dan bukan nol maka grafik persamaan ax + by + cz + d = 0 adalah sebuah bidang yang mempunyai vektor n = (a,b,c) sebagai normal.

20 Contoh soal : Tentukan persamaan bidang yang melewati titik (3,-1,7) dan tegak lurus ke vektor n = (4,2,-5)! solusi : …?

21  Teorema 2 Jarak D antara titik P 0 (x 0,y 0,z 0 ) dengan bidang ax + by + cz +d = 0 adalah

22 Contoh soal : Tentukan jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x – 3y + 6z = -1 solusi : …?


Download ppt "BAB IV V E K T O R. Pengantar Vektor Besaran Skalar Tidak mempunyai arah Vektor Mempunyai arah."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google