Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

11/01/2015 16:35MA-1223 Aljabar Linear1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "11/01/2015 16:35MA-1223 Aljabar Linear1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III."— Transcript presentasi:

1 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear1 Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen

2 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear2 Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan –Definisi RHD –Himpunan Ortonormal –Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

3 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear3 Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. (Simetris) 2. (Aditivitas) 3.untuk suatu k  R, (Sifat Homogenitas) 4., untuk setiap dan (Sifat Positifitas)

4 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear4 Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( R n ) Misalkan,  R n maka = ( u 12 + u 22 + …..+ u n2 ) ½

5 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear5 Contoh 2 : Misalnya W  R 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali, dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan 2 u 1 v 1 + u 2 v u 3 v 3 = 2 v 1 u 1 + v 2 u v 3 u 3 (terbukti simetris)

6 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear6 <( u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ), ( w 1, w 2, w 3 )> = 2( u 1 + v 1 ) w 1 + ( u 2 + v 2 ) w 2 + 3( u 3 + v 3 ) w 3 = 2 u 1 w 1 +2 v 1 w 1 + u 2 w 2 + v 2 w 2 +3 u 3 w 3 +3 v 3 w 3 = 2 u 1 w 1 + u 2 w 2 +3 u 3 w 3 +2 v 1 w 1 + v 2 w 2 +3 v 3 w 3 (bersifat aditivitas) (iii) untuk suatu k  R, <( ku 1, k u 2, k u 3 ), ( v 1, v 2, v 3 )> = 2 ku 1 v 1 + k u 2 v ku 3 v 3 = k 2 u 1 v 1 + k u 2 v 2 + k. 3 u 3 v 3 (bersifat homogenitas)

7 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear7 Jelas bahwa dan Contoh 3 : Tunjukan bahwa bukan merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan Pada saat 3 u 3 2 > u u 2 2 maka Tidak memenuhi Sifat positivitas

8 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear8 Contoh 4 : Diketahui dimana dan Apakah merupakan hasil kali dalam? Jelas bahwa = ( a 2 + c 2 ) Misalkan diperoleh Padahal ada Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam. Jawab :

9 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear9 Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal  himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.

10 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear10 Secara Operasional Misalkan, pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika untuk setiap i ≠ j Sedangkan,T dikatakan himpunan vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

11 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear11 Contoh 5 : 1. Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal. 2. Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3. Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.

12 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear12 Misalkan adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku : Karena S merupakan himpunan ortonormal dan dan

13 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear13 Sehingga, untuk setiap i berlaku Kombinasi linear Ditulis menjadi Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun dan

14 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear14 Jawab : Perhatikan ….. u dan v mrp Basis ortonormal

15 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear15 Proses Gramm-Schmidt basis bagi suatu RHD V basis ortonormal bagi V Langkah yang dilakukan

16 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear16 2. Langkah kedua Vektor satuan searah

17 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear17 3. Langkah ketiga W Vektor satuan Yang tegak lurus Bidang W

18 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear18 Contoh 7 : Diketahui : B merupakan basis pada RHD Euclides di R 3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab : Langkah 1.

19 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear19 Langkah 2 Sementara itu, Karena itu, sehingga :

20 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear20 Langkah 3 Sementara itu, sehingga :

21 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear21 Jadi, merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R 3 dengan hasil kali dalam Euclides =

22 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear22 Contoh 8 : Diketahui bidang yang dibangun oleh merupakan subruang dari RHD Euclides di R 3 Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor pada bidang tersebut.

23 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear23 Jawab : Diketahui Selain membangun subruang pada RHD Karena merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb. himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan). Langkah awal : Basis tersebut  basis ortonormal.

24 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear24 Perhatikan bahwa :

25 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear25 Sehingga: Akibatnya :

26 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear26 Akhirnya, diperoleh Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb =

27 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear27 Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang tersebut adalah Perhatikan bahwa :

28 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear28 Sementara itu :

29 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear29 Dengan demikian, =

30 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear30 Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh merupakan subruang dari RHD Euclides Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor pada bidang tersebut. Jelas bahwa merupakan basis bagi bidang tersebut, karena dan saling bebas linear Jawab

31 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear31 Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.

32 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear32 Perhatikan bahwa : Sehingga: akibatnya

33 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear33 Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah: =

34 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear34 Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :

35 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear35 Latihan Bab VI 1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan = u 1 2 v 1 + u 2 v 2 2 di R 2 = u 1 v u 2 v 2 – u 3 v 3 di R 3 = u 1 v 3 + u 2 v 2 + u 3 v 1 di R 3 a. b. c. 2.Tentukan nilai k sehingga vektor ( k, k, 1) dan vektor ( k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

36 11/01/ :35MA-1223 Aljabar Linear36 3. W merupakan subruang RHD euclides di  3 yang dibangun oleh vektor dan Tentukan proyeksi orthogonal vektor pada W


Download ppt "11/01/2015 16:35MA-1223 Aljabar Linear1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google