Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom."— Transcript presentasi:

1

2 ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

3 Hasil kali skalar di dalam Rn Hasil kali x T y disebut hasil kali skalar dari x dan y. secara khusus, jika x = {x1,…,xn} dan y = {y1,…,yn}, maka Contoh : Jika x = dan y = maka Hasil kali skalar di dalam R2 dan R3 Jika diberikan sebuah vektor x di R2 dan R3, maka panjang Euclidisnya dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar Jika diberikan dua vektor taknol x dan y, maka kita dapat menganggap keduanya sebagai segmen-segmen garis berarah yang berawal dititik yang sama. Sudut antara 2 vektor atau segmen garis berarah tersebut kemudian didefinisikan sebagai sudut

4 Teorema : Jika x dan y adalah dua vektor taknol didalam salah satu R2 atau R3 dan adalah sudut diantaranya, maka Jika x dan y adalah dua vektor taknol maka kita dapat menyebutkan arah – arah mereka dengan membentuk vektor – vektor satuan, dan Jika adalah sudut antara x dan y, maka cosinus dari sudut antara vektor – vektor x dan y adalah hasil kali skalar dari vektor-vektor arah yang bersesuian dengan u dan v

5 Akibat : (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) jika x dan y adalah vektor – vektor didalam salah satu R2 atau R3, maka dengan kesamaan akan berlaku jika dan hanya jika salah satu dari vektor-vektor tersebut adalah 0 atau vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang satunya lagi jika dan hanya jika cos = ±1 Definisi : Vektor – vektor x dan y didalam R2 (atau R3) dikatakan ortogonal jika x T y = 0 1.Vektor 0 adalah ortogonal dengan setiap vektor di R2 2.Vektor – vektor (3,2) dan (-4,6) adalah ortogonal di R2 3.Vektor – vektor (2,3,-1) dan (1,1,1) adalah ortogonal di R3, dll

6 Proyeksi skalar dari x pada y : Proyeksi vektor dari x dan y : Contoh : Titik Q adalah titik pada garis y = x/3 yang terdekat ke titik (1,4). Tentukan koordinat Q. Jawab : Ambil vektor w = (3,1) T adalah sebuah vektor dalam arah garis y = x/3. misalkan v = (1,4) T. jika Q adalah titik yang diinginkan, maka Q T adalah proyeksi vektor dari v pada w Jadi Q = (2,1;0,7) adalah titik terdekat.

7 Notasi : Jika P1 dan P2 adalah dua titik dalam ruang 3 dimensi, kita akan melambangkan vektor dari P1 dan P2 dengan Jika N adalah vektor taknol dan Po adalah yang tertentu, maka himpunan titik – titik P sedemikian sehingga adalah ortogonal terhadap N akan membentuk sebuah bidang Π didalam ruang 3 dimensi yang melalui Po. Vektor N dan bidang Π dikatakan normal satu sama lain. Sebuah titik P = (x1,y1,z1) akan terletak pada Π jika dan hanya jika Jika N = (a,b,c)T dan Po = (xo,yo,zo), persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk : a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0

8 Contoh 1: Tentukan persamaan dari sebuah bidang yang melewati titik (2,-1,3) dan normal ke vektor N = (2,3,4) T Jawab : adalah atau 2(x - 2) + 3(y + 1) + 4(z – 3) = 0 Contoh 2 : Tentukan jarak dari titik (2,0,0) ke bidang x + 2y +2z = 0 Jawab : Vektor N = (1,2,2) T adalah normal ke bidang dan bidang melalui titik asal. Misalkan v = (2,0,0) T. jarak d dari (2,0,0) ke bidang adalah harga mutlak dari proyeksi skalar dari v pada N, jadi

9 Ortogonalitas dalam Rn Jika x Rn, maka panjang Euclidus dari x didefinisikan dengan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku di Rn. Akibatnya Sudut antara 2 vektor taknol x dan y didalam Rn adalah Vektor – vektor x dan y dikatakan ortogonal jika x T y = 0. Seringkali simbol ┴ digunakan untuk menandakan ortogonalitas.

10 Latihan 1.Carilah sudur antara vektor – vektor v dan w untuk setiap vektor – vektor dibawah ini. 1.v = (2,1,3) T dan w = (6,3,9) T 2.v = (4,1) T dan w = (3,2) T 2.Carilah titik yang berada pada garis y = 2x yang terdekat ke titik (5,2) 3.Carilah titik yang berada pada garis y = 2x + 1 yang terdekat ke titik (5,2) 4.Carilah jarak dari titik (1,1,1) ke bidang 2x + 2y + z = 0 5.Carilah jarak dari titik (2,1,-2) ke bidang 6(x – 1) + 2(y – 3) + 3(z + 4) = 0 6.Untuk setiap vektor pada no 1 tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari v pada w 7.Carilah persamaan dari bidang normal untuk vektor N yang diberikan dan melewati titik Po, jika N = (2,4,3) T dan Po = (0,0,0)

11 Ruang bagian ortogonal Misalkan A adalah matriks m x n dan misalkan x N(A). Karena Ax = 0, kita dapatkan ai1.x1 + ai2.x2 + … + ain.xn = 0 untuk setiap i = 1, …, m Persamaan diatas mengatakan bahwa x ortogonal terhadap vektor kolom ke i dari A T untuk i = 1, …, m karena x ortogonal pada setiap vektor kolom dari A T, maka x ortogonal ke setiap kombinasi linear dari vektor – vektor kolom A T sehingga jika y sembarang adalah vektor dalam ruang kolom A T, maka x T y = 0. Jadi setiap vektor didalam N(A) ortogonal ke setiap vektor didalam ruang kolom dari A T. Jika dua ruang bagian dari Rn memiliki sifat ini, maka kita karakan bahwa ruang bagian tersebut ortogonal Definisi : Dua ruang bagian X dan Y dari Rn dikatakan ortogonal jika x T y = 0 untuk setiap x X dan setiap y Y. jika X dan Y ortogonal, kita tulis X ┴ Y.

12 Definisi : Misalkan Y adalah suatu ruang bagian dari Rn. Himpunan semua vektor – vektor didalam Rn yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan Y ┴. Jadi, Y ┴ = { x Rn | x T y = 0 untuk setiap y Y } Himpunan Y ┴ disebut komplemen ortogonal dari Y Catatan. Ruang bagian X = rentangan(e1) dan Y = rentangan(e2) dari R3 yang diberikan pada contoh sebelumnya adalah ortogonal, tetapi kedua ruang bagian tidak saling komplemen ortogonal, Sesungguhnya. X ┴ = Rentang(e2,e3)dan Y ┴ = Rentang(e1,e3) 1.Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari Rn, maka X ∩Y = {0}. 2.Jika Y adalah ruang bagian dari Rn, maka Y ┴ juga merupakan ruang bagian dari Rn.

13 Ruang – Ruang bagian pokok (FUNDAMENTAL SUBSPACES) Misalkan A adalah matriks m x n. vektor b Rm berada didalam ruang kolom dari A jika dan hanya jika b = A x untuk x Rn. Jika kita menganggap A adalah sebuah operator pemetaan Rn ke dalam Rm maka ruang kolom dari A adalah sama dengan peta dari A. R(A) = peta dari A = ruang kolom dari A = {b Rm | b = A x untuk x Rn} R(A T ) = ruang kolom dari A T = ruang baris dari A = ruang bagian dari Rm = {y Rn | y = A T x untuk x Rn} Teorema : Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka N(A) = R(A T )┴ dan N(A T ) = R(A)┴ Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks B = AT, Jadi N(A T ) = N(B) = R(B T ) ┴ = R(A)┴

14 Contoh. Misalkan A = Ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor dalam bentuk Perhatikan bahwa, jika x adalah sembarang vektor di Rn dan b = Ax, maka b = Ruang nol dari A T terdiri dari semua vektor dalam bentuk β(-2,1) T. Karena (1,2)T dan (-2,1)T ortogonal, maka setiap vektor di R(A) akan ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(A T ). Hubungan yang sama berlaku antara R(A T ) dan N(A). R(A T ) berisi vektor – vektor dalam bentuk αe1 dan N(A) terdiri dari semua vektor – vektor dalam bentuk βe2. Karena e1 dan e2 ortogonal, tiap vektor dalam R(A T ) ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(A)

15 Teorema. Jika S adalah ruang bagian dari Rn, maka dim S + dim S┴ = n. Lebih lanjut, jika [x1, …, xr] adalah basis untuk S dan [xr+1, …, xn] adalah basis untuk S┴, maka [x1, …, xr, xr+1, …, xn] adalah basis untuk Rn. Bukti Jika S = {0}, maka S┴ = Rn dan dim S = dim S┴ = 0 + n = n Jika S ≠ {0}, maka misalkan [x1, …, xr] adalah basis untuk S dan definisikan X sebagai matriks r x n dimana baris ke – I adalah x i T untuk tiap i. Berdasarkan definisi ini maka matriks X mempunyai rank r dan R(X T ) = S. S┴ = R(X T )┴ = N(X) Dim S┴ = dim N(X) = n - r

16 Definisi. Jika U dan V adalah ruang – ruang bagian dari ruang vektor W dan setiap w W dapat ditulis secara tunggal sebagai penjumlahan u + v, dimana u U dan v V, maka kita katakan bahwa W adalah penjumlahan langsung (direct sum) dari U dan W dan kita tulis Teorema Jika S adalah ruang bagian dari Rn, maka Teorema Jika S adalah ruang bagian dari Rn, maka (S┴)┴ = S

17 Contoh : Misalkan A = Jawab : Kita dapat mencari basis untuk N(A) dan R(A T ) dengan mentransformasikan A kedalam bentuk eselon baris tereduksi. Karena (1,0,1) dan (0,1,1) membentuk basis untuk ruang baris A, maka (1,0,1) T dan (0,1,1) T membentuk basis untuk R(A T ). Jika x N(A), maka berdasarkan bentuk eselon baris tereduksi dari A bahwa x1 +x3 = 0 x2 + x3 = 0 jadi, x1 = x2 = -x3 Dengan menetapkan x3 = α, kita dapat melihat bahwa N(A) terdiri dari semua vektor berbentuk α(1,-1,1) T. Perhatikan bahwa (-1,-1,1) T adalah ortogonal terhadap (1,0,1) T dan (0,1,1) T

18 Contoh : Misalkan A = Jawab : Untuk mencari basis untuk R(A) dan N(A T ) reduksikan A T kedalam bentuk eselon baris tereduksi Jadi (1,0,1) T dan (0,1,2) T membentuk sebuah basis untuk R(A). Jika x N(A T ), maka x1 = -x3 x2 = -2x3 Jadi N(A T ) adalah ruang bagian dari R3 yang direntang oleh (-1,-2,1) T Perhatikan bahwa (-1,-2,1) T adalah ortogonal terhadap (1,0,1) T dan (0,1,2) T

19 Latihan Tentukan basis untuk R(A T ), N(A), R(A) dan N(A T ) :

20 Ruang hasil kali dalam Definisi : Hasil Kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor – vektor x dan y didalam V sebuah bilangan real (x,y) yang memenuhi syarat berikut : 1.(x,y) ≥ 0 dengan persamaan jika dan hanya jika x = 0 2.(x,y) = (y,x) untuk semua x dan y didalam V 3.(αx + βy, z) = α(x,z) + β(y,z) untuk semua x,y,z didalam V dan semua skalar α dan β Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam Jika v adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V, panjang atau norma dari v diberikan oleh Dua vektor u dan v dikatakan ortogonal jika (u,v) = 0

21 Teorema (Hukum phytagoras) jika u dan v adalah vektor – vektor ortogonal didalam sebuah ruang hasil kali dalam V, maka Definisi Jika u dan v adalah vektor – vektor didalam ruang hasil kali dalam V dan v ≠ 0, maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh Dan proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh Norma Definisi : sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk setiap vektor v V dikaitkan dengan sebuah bilangan real yang disebut norma dari v yang memenuhi : 1. ≥ 0 dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika v = 0 2. untuk tiap skalar α 3. untuk semua v, w V Syarat ketiga disebut ketaksamaan segitiga

22 Teorema Jika V sebuah ruang hasil kali dalam, maka persamaan untuk semua v V mendefinisikan sebuah norma pada V Secara umum, sebuah norma adalah cara untuk mengukur jarak antara vektor Definisi Misalkan x dan y adalah vektor – vektor didalam ruang linear yang bernorma, jarak antara x dan y didefinisikan sebagai bilangan Dimana

23 Latihan 1.Jika diberikan x = (1,1,1,1) T dan y = (8,2,2,0) T 1.Tentukan sudut antara x dan y 2.Cari proyeksi vektor p dari x pada y 3.Periksa bahwa x – p ortogonal terhadap p 4.Hitung dan periksa apakah hukum phytagoras dipenuhi.


Download ppt "ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google