Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Dosen Mata Kuliah Andhy Setiawan, M.Si. Menu Utama Pendahuluan Persamaan Maxwell Pandu Gelombang Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik Gelombang.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Dosen Mata Kuliah Andhy Setiawan, M.Si. Menu Utama Pendahuluan Persamaan Maxwell Pandu Gelombang Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik Gelombang."— Transcript presentasi:

1 Dosen Mata Kuliah Andhy Setiawan, M.Si

2 Menu Utama Pendahuluan Persamaan Maxwell Pandu Gelombang Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik Gelombang Elektromagnetik dalam Medium Persamaan Gelombang Elektromagnetik Transversalitas Gelombang Elektromagnetik Vektor Poynting dan Kekekalan Energi Gelombang dalam Medium Konduktif Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma Hukum Snellius Persamaan Fresnel Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

3 Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar melalui vakum. Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio. Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik. A. PENDAHULUAN

4 B. PERSAMAAN MAXWELL Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing- masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun sumber arus.

5 Persamaan-pe rsamaan Maxwell Vakum Medium Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing persamaan di atas

6 Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa: “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.” Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:

7 Persamaan Maxwell (1) dalam Medium Dari teorema divergensi

8 Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka sehingga: Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatan

9 Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.” Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapat dituliskan dalam bentuk integral: Dari teorema divergensi maka Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum

10 Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medan magnet yang berubah dengan waktu.” Secara matematis dituliskan: Dari teorema Stokes Persamaan Maxwell (3) dalam medium Dan vakum. dengan karenamaka

11 Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere: Persamaan Maxwell (4) dalam medium dengan ; dan

12 Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu: Dari teorema Stokes maka Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum, Tanpa sumber muatan

13 B.1. PERSAMAAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MEDAN LISTRIK Dari persamaan Maxwell (3): Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan operasi rotasi, maka: Dari vektor identitas

14 Maka: Dengan dansehingga dengan

15 Sehingga persamaan gelombang medan listrik dalam bentuk diferensial: Solusi paling sederhana:

16 MEDAN MAGNET Dari persamaan Maxwell (4): Dengan operasi rotasi: Karena vektor identitas Dan persamaan Maxwell (2) serta (3): dan

17 Maka persamaan gelombang medan magnet dalam bentuk diferensial: sehingga

18 Solusinya: Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave) Bentuk umum: Kecepatan: Bentuk muka gelombangnya tegak lurus vektor satuan k, maka:

19 Sifat-sifat gelombang datar: 1.Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan, arah z). 2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat. 3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (pada contoh, koordinat transversalnya x dan y). Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:

20 B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK MEDAN LISTRIK Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitu transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4): Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial) Sisi temporal

21 Yang berarti Ez tidak bergantung pada t Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getar dari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus pada arah rambat. MEDAN MAGNET Dari persamaan Maxwell (2): Sisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantung pada z.

22 Dan dari persamaan Maxwell (3): Sisi temporal, yang berarti Bz tidak bergantung pada t. Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegak lurus terhadap arah rambatnya. Dengan demikian maka gelombang Elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

23 Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:

24 Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E, dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:

25 B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN ENERGI Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari Energi Medan listrik dan energi medan magnet. Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energi terhadap waktu: Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka: dan

26 Sehingga Dari vektor identitas maka dengan disebut vektor poynting Hukum Kekekalan Energi mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu per satuan luas yang dibawa oleh medan elektromagnetik

27 C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DALAM MEDIUM Persamaan-persamaan Maxwell

28 C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan dari hubungan B = μ H dan D = ε E, persamaan Maxwell 4 dapat ditulis:

29 maka Dengan solusi : E(z, t) = E 0 cos (  z - ωt) Atau dalam bentuk kompleks : E(z, t) = E 0 e -i (  z - ωt )

30 Sehingga : E(z, t) = E 0 e -i (  z - ωt ) -  2 E + μεω 2 E – μσiωE = 0  2 E - μεω 2 E + μσiωE = 0  2 = μεω 2 – iμσω

31 Misal :  = a + ib  2 = (a + ib) 2 = a 2 – b 2 + 2abi Dari pers  2 = μεω 2 – iμσω, maka : a 2 – b 2 = μεω 2 dan 2ab = - μσ ω kalikan dengan 4a 2 4(a 2 ) 2 – 4μεω 2 a 2 – (μσω) 2 = 0

32 Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh : 4(a 2 ) 2 – 4μεω 2 a 2 – (μσω) 2 = 0

33 Karena a bilangan riil, maka a 2 harus positif sehingga dipilih:

34 a 2 – b 2 = μεω 2 b 2 = a 2 - μεω 2

35  merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi. Medium tersebut seperti medium dispersif. Besarnya bilangan gelombang

36 Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >> maka

37 Sehingga : Jika maka Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)

38 Jadi merupakan bilangan gelombang untuk medium dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah maka solusinya :

39 Untuk medium yang konduktivitasnya rendah (konduktor buruk),  jauh lebih kecil dari ωε. Maka Skin depthnya : Diuraikan dengan deret Maclaurin

40 jikamaka :

41 Jadi, dengan yang disebut skin depth

42 Dari solusi persamaan gelombang pada medium konduktif yaitu : yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang menjadi dari amplitudo semula. Jika z = δ maka

43 Medan Magnet : Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B) tidak lagi mempunyai fase yang sama Karena dengan maka

44 dengan kv = ω, dan karena a > k, maka kecepatan fase pada medium konduktif < v di udara/non konduktif Kecepatan fase:

45 Besarnya vektor poynting untuk medium konduktif, yaitu : dengan

46 Faktor merupakan faktor redaman dalam perambatan energi. Untuk medium konduktif maka

47 C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR DAN PLASMA Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan persamaan Maxwell 3, yaitu : - (1)

48 Gerakan elektron : dengan v = kecepatan elektron Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nq e Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) dan J = vq e N, maka :

49 Sehingga : dan maka,

50 - - karenadan dengan maka

51 Berdasarkan definisi indeks bias : Indeks Bias Plasma

52 Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner yang berarti gelombang di dalam plasma tsb akan teredam. Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n berupa bilangan nyata (real) sehingga gelombang akan diteruskan.

53 D.1 HUKUM SNELLIUS Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE) D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK E1E1 k1k1 B1B1 E 2 k2k2 B2B2 E3E3 k3k3 B3B3 Med1 Med2 μ2ε2μ2ε2 μ1ε1μ1ε1 x x x

54 Dari gambar tersebut diperoleh persamaan untuk gelombang medan magnet dengan k 1 = k 1 [ i sin (α 1 ) – j cos (α 1 )] k 2 = k 2 [ i sin (α 2 ) + j cos (α 2 )] k 3 = k 3 [ i sin (α 3 ) – j cos (α 3 )] Persamaan 1 Persamaan 2

55 Persamaan 3 Syarat batas di y = 0 ; maka B 1x – B 2x = B 3x B 1 cos α 1 – B 2 cos α 2 = B 3 cos α 3 Dan persamaan 3 menjadi : Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

56 Persamaan dapat dipandang sebagai Ae ax + Be bx = Ce cx dengan menggunakan deret eksponensial: dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh : A + B =C Aax + Bbx = Ccx Aax + Bbx = (A + B) cx

57 diperoleh a = b = c maka k 1 sin α 1 = k 2 sin α 2 Karena gelombang datang dan gelombang pantul berada dalam medium yang sama yaitu medium 1 maka : k 1 = k 2 sehingga α 1 = α 2 k 1 sin α 1 = k 3 sin α 3 Dari a = c maka Dalam bentuk matriks :

58 maka k 1 dan k 3 sebanding dengan n 1 dan n 3 sehingga n 1 sin α 1 = n 2 sin α 3 Persamaan Snellius

59 D.2. PERSAMAAN FRESNELL Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya akan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombang pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang datang yang disebut dengan persamaan Fresnell Kasus Transverse Magnetik (TM) B1B1 k1k1 E1E1 k2k2 B2B2 B3*B3* k3k3 E3E3 1 2 μ2ε2μ2ε2 μ1ε1μ1ε1 x E2E2

60 Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar) Untuk medan listrik : E 1x + E 2x = E 3x Untuk medan magnet : B 1 – B 2 = B 3 Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium sehingga dan n=c/v maka 1/v ~ n maka n 1 (E 1 -E 2 ) = n 2 E 3 ……… 1 ……… 2.1 ……… 2.2

61 Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalam persamaan 1,maka akan diperoleh : Maka diperoleh koefisien refleksi yaitu perbandingan antara medan pantul terhadap medan datang (E 2 /E 1 ). dikali n 2 maka ……… 3

62 Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaan n 1 (E 1 -E 2 ) = n 2 E 3 …… 4 Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka : dikali n 1 maka Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi, Yaitu perbandingan antara E 3 /E 1

63 Kasus Transver Elektrik (TE) B1B1 k1k1 E1E1 k2k2 E2E2 B3B3 k3k3 E3E3 1 2 μ2ε2μ2ε2 μ1ε1μ1ε1 x B2B2 Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan : Untuk meda magnet B 1x -B 2x = B 3x ……… 1

64 Untuk medan listrik E 1 + E 2 = E 3 Dari hubungan maka v 1 (B 1 + B 2 ) = v 2 B 3 v ~ 1/n ; ; ;; E 1 + E 2 = E 3

65 Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1 Sehingga diperoleh : maka

66 Dari persamaan 2.1 kita peroleh Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1

67 Apabila sudut bias maka, Dari hukum Snellius diperoleh hubungan Sudut datang yang menghasilkan sudut bias sudut kritis Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis, maka terjadi pemantulan total. maka n 1 > n 2

68 Apabila dari hukum Snellius diperoleh hubungan: Sudut datang yang menghasilkan Sudut Brewster

69 E. PANDU GELOMBANG Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnya dibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity). Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasi oleh permukaan disebut dengan pandu gelombang

70 Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, Sehingga bahan material tersebut berlaku E = 0 Dan B = 0 Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan Bentuk fungsi sebagai berikut : Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3 dan 4,Maka akan diperoleh : ……… 1 ……… 2.2 ……… 2.4 ……… 2.3 ……… 2.1

71 Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan Solusi Untuk E y, E z, B y, dan B z sebagai berikut ……… 2.5 ……… 2.6 ……… 3.1 ……… 3.2 ……… 3.3 ……… 3.4

72 Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen Longitudinal E x dan B x diketahui, maka komponen lainnya dapat diketahui. Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaan Differensial dari komponen longitudinal sebagai Berikut : ……… 4.1 ……… 4.2 ……… 5 Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu :

73 Denganadalah vektor satuan normal pada konduktor, maka akan kita peroleh E x = 0 Di permukaan Bila E x = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrik Bila B x = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik), Dan E x = 0 dan B x = 0, disebut gelombang TEM (Transverse Electric Magnetik) Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut : Bila E x = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum ……… 6.1 ……… 6.2 ……… 7

74 Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday Berlaku hubungan Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik V = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum Gauss Atau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstan Didalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari Persamaan Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak ada gelombang didalam rongga ……… 8

75 E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN PENAMPANG SEGI EMPAT Persamaan differensial dari komponen longitudinal ……… 1

76 Dan syarat batas dan Maka dengan pemisalan : B x (y,z) = Y (y) Z(z) Substitusikan ke persamaan 1, maka : Sehingga dengan Solusi dari persamaan 3 : dibagi YZ ……… 2 ………3 ……… 4

77 Syarat batas di y = 0 dan di y = a 0 = ky A, maka A = 0 maka,dengan m = 0, 1, 2,…. atau Untuk solusi yaitu Syarat batas di z = 0, z = b maka untuk Untuk dan k z z = 0 Sin k z z = 0 makadengan n = 0, 1, 2, …. z=b

78 maka untuk Sehingga Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari persamaan yang sudah didapat dengan dan maka

79 Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat diperoleh dari persamaan Dari persamaan :

80 E.2 PANDU GELOMBANG JALUR TRANSMISI KOAKSIAL Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh : Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa jalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line), terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder

81 Maka cB z = E y dan cB y = -E z Untuk medan listrik : Untuk medan magnet : Solusi dengan menggunakan koordinat silinder dan Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0 Sehingga fungsi gelombangnya

82 Untuk persamaan : Substitusikan diperoleh Untuk persamaan yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi maka


Download ppt "Dosen Mata Kuliah Andhy Setiawan, M.Si. Menu Utama Pendahuluan Persamaan Maxwell Pandu Gelombang Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik Gelombang."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google