Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan."— Transcript presentasi:

1 Koordinat Polar (Ch ) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. O (the pole)ray (polar axis) by Ratna Herdiana

2 Titik P dengan koordinat polar (r,  ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) (  diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial  : koordinat sudut

3 Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r,  ) = (- r,  + n  ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n  ), untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (2,  /3), (-2, 4  /3), (2, 7  /3), (-2, -2  /3).

4 Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin  Maka r 2 = x 2 + y 2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -  /2 <  <  /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

5 Persamaan2 dalam Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a : r = a Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0, a ): r = 2 a sin  - berpusat di ( a,0): r = 2 a cos  r = 2 sin  r = 2 cos  r  00 2  /2 0  r  

6 Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r 2 = 2r sin  x 2 + y 2 = 2y x 2 + y 2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x 2 + (y -1) 2 = 1

7 Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r 2 = 4 sin . Solusi: ( 1 + sin  ) 2 = 4 sin  sin  + sin 2  - 4 sin  = 0 sin 2  - 2 sin  + 1 = 0 (sin  - 1) 2 = 0  sin  = 1 Jadi sudut  =  /2 + 2n , dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

8 Grafik Persamaan Polar Cardioid:

9 Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin  Limaçon: r(  ) = 3 – 2 cos(  )

10 Persamaan berbentuk r = cos (n  ) atau r = sin(n  ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, 2n jika n genap

11 Rose : r(  ) = a – b sin (n  ) contoh: r(  ) = 5 – sin(2  )

12 Grafik persamaan polar

13 Lemniscate:

14 Spiral: r = 

15 Grafik dari “butterfly curve” r(  ) = exp(cos(  ))- 2*cos(4*  ) + sin(  /4)^3

16 Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f(  ),    , adalah  =   =  r = f(  )

17 Diket. luas lingkaran berjari r : Luas juring (sektor) lingkaran: Partisi selang [ ,  ]:  =  0 <  1 <  2 … <  n =  Daerah R dibagi menjadi n buah sektor. Luas sektor ke- i ( A i )  Luas sektor dg jari2 f(  i *) dan besar sudut  i =  i -  i-1. A i  Jadi A =

18 Hitung luas daerah limaçon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0    2 

19 Example Solution:

20 Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

21 Luas daerah yg dibatasi ikalan luar: Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0) Luas =

22 Luas daerah antara dua kurva polar r = f(  ) dan r = g(  ), dengan f(  )  g(  )  0,  :

23 Kurva Parametrik (Ch.10.4) Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya). Contoh: x = cos t, y = sin t, 0  t  2  Atau

24 Kurva parameter dari fungsi parameter x= cos 3t, y = sin 5t, 0  t  2 

25 Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

26 Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C( at,a ) x = a(t – sin t) y = a(1- cos t) P(x,y) Q(at,y) C(at,a)

27 Garis tangen pada persamaan parametrik Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan. Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen Contoh; Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan

28 Parametrik Koordinat Polar Kurva dalam koordinat polar, r = f(  ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  : x(  ) = f(  ) cos , y(  ) = f(  ) sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter  ). Kemiringan dy/dx dari garis tangen

29 Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

30

31 Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(  = cos(8  ) di  = 3  /4. Hit. dy/d  dx/d   dy/dx

32 Conic Sections

33

34


Download ppt "Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google