Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM"โ€” Transcript presentasi:

1 BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM
SYARAT KUHN-TUCKER BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM

2 Kasus 1 Sebagai syarat agar ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› menjadi solusi optimal bagi NLP dengan kendala pertidaksamaan : Maks/min ๐‘“( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) s.t. ๐‘” 1 ( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) โ‰ค ๐‘ 1 . ๐‘” ๐‘š ( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) โ‰ค ๐‘ ๐‘š Kendala โ‰ฅ dirubah menjadi negatif dari โ‰ค

3 Teorema 1 Untuk masalah maksimisasi, ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala โ€“ kendala Terdapat ๏ฌ 1 , โ€ฆ, ๏ฌ ๐‘š yang memenuhi : ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— - ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n (1) ๏ฌ ๐‘– ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = 0 i = 1, โ€ฆ, m (2) ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ i = 1, โ€ฆ, m (3) ๏ฌ ๐‘– adalah harga bayangan bagi kendala ke โ€“ i: Jika rhs kendala ke โ€“ I : b ๏‚ฎ b + ๏„ maka z naik sebesar : ๏„ ๏ฌ ๐‘– - Kendala โ€“ kendala: penggunaan sumber daya

4 TEOREMA 1โ€™ Untuk masalah minimisasi, ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala โ€“ kendala Terdapat ๏ฌ 1 , โ€ฆ, ๏ฌ ๐‘š yang memenuhi : ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— + ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n (1) ๏ฌ ๐‘– ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = 0 i = 1, โ€ฆ, m (2) ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ i = 1, โ€ฆ, m (3) ๏ฌ ๐‘– adalah harga bayangan bagi kendala ke โ€“ i: Jika rhs kendala ke โ€“ I : b ๏‚ฎ b + ๏„ maka z turun sebesar : ๏„ ๏ฌ ๐‘–

5 Kasus 2 Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah Maks/ min ๐‘“( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) s.t. ๐‘” 1 ( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) โ‰ค ๐‘ 1 . ๐‘” ๐‘š ( ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ) โ‰ค ๐‘ ๐‘š - ๐‘ฅ 1 โ‰ค0 , โ€ฆ, - ๐‘ฅ ๐‘› โ‰ค0

6 Teorema 2 Untuk masalah maksimisasi, ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala โ€“ kendala Terdapat ๏ฌ 1 , โ€ฆ, ๏ฌ ๐‘š , ๐œ‡ 1 , โ€ฆ, ๐œ‡ ๐‘› yang memenuhi : ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— - ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— ๐œ‡ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n ๏ฌ ๐‘– ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = 0 i = 1, โ€ฆ, m ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— โˆ’ ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ i = 1, โ€ฆ, m ๐œ‡ ๐‘— โ‰ฅ j = 1, โ€ฆ, n

7 Theorema 2โ€™ Untuk masalah minimisasi, ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› solusi optimal, maka titik tersebut harus Memenuhi kendala โ€“ kendala Terdapat ๏ฌ 1 , โ€ฆ, ๏ฌ ๐‘š , ๐œ‡ 1 , โ€ฆ, ๐œ‡ ๐‘› yang memenuhi : ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— + ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— ๐œ‡ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n ๏ฌ ๐‘– ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = 0 i = 1, โ€ฆ, m ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— + ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ i = 1, โ€ฆ, m ๐œ‡ ๐‘— โ‰ฅ j = 1, โ€ฆ, n

8 Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1)
Pada saat ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› kita gunakan ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ 1 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› unit resource i dan bi unit sumber daya tersedia. Jika kita tingkatkan ๐‘ฅ sebesar ๏„ (yang kecil), maka nilai dari fungsi objective meningkat sebesar ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— ๏„ Nilai kendala ke โ€“ i berubah menjadi ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ + ๐œ• ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— โˆ†โ‰ค ๐‘ ๐‘– atau ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐œ• ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— โˆ† Atau rhs meningkatkan sebesar โˆ’ ๐œ• ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— โˆ† shg perubahan pada z adalah โˆ’โˆ† ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— total perubahan z karena peningkatan peningkatan xj sebesar ๏„ adalah ๏„ ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— โˆ’ ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat meningkatkan f dengan memilih ๏„ > 0

9 Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat meningkatkan f dengan memilih ๏„ < 0.
Sehingga agar ๐‘ฅ optimal maka syarat (1) harus terpenuhi

10 Penjelasan syarat (2) Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi complementary of slackness untuk Pemrograman Linier. Syarat (2) berimplikasi bahwa Jika ๏ฌi > 0 maka ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘– ( kendala ke โ€“i binding) Jika ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ < ๐‘ ๐‘– maka ๏ฌ ๐‘– = 0

11 Penjelasan syarat (3) Jika untuk ๏„ > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari bi ke bi + ๏„, maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat atau tetap sehingga ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ 0

12 Pengertian ๏ญ ๏ญi = nilai resources yang digunakan untuk membuat sebuah barang โ€“ harga jual barang tersebut Sehingga jika ๏ญi > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik tidak produksi atau xi = 0 Sedangkan jika xi > 0 untuk solusi optimal maka ๏ญi =0, Setiap variabel xi sebagai basic variabel , marginal revenue yang didapatkan dari produksi satu unit xi harus sama dengan marginal cost resources yang digunakan untuk memproduksi satu unit xi

13 Theorema 3. Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi. Jika ๐‘“ ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konkaf dan ๐‘” 1 ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ,โ€ฆ, ๐‘” ๐‘š ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks, maka setiap titik ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 ,โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› yang memenuhi hipotesis pada theorema 1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah maksimisasi, ๐‘“ ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konkaf dan ๐‘” 1 ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ,โ€ฆ, ๐‘” ๐‘š ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks, maka setiap titik ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 ,โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› yang memenuhi hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal

14 Theorema 3โ€™ Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi Jika ๐‘“ ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks dan ๐‘” 1 ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ,โ€ฆ, ๐‘” ๐‘š ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks, maka setiap titik ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 ,โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› yang memenuhi hipotesis pada Theorema 1โ€™ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah minimisasi, ๐‘“ ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks dan ๐‘” 1 ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› ,โ€ฆ, ๐‘” ๐‘š ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 , โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› adalah fungsi konveks, maka setiap titik ๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 , ๐‘ฅ 2 ,โ€ฆ, ๐‘ฅ ๐‘› yang memenuhi hipotesis pada Theorema 2โ€™ adalah solusi optimal

15 Contoh Selesaikan masalah optimisasi berikut max ๐‘ง= ๐‘ฅ 1 30โˆ’ ๐‘ฅ 1 + ๐‘ฅ 2 50โˆ’ 2๐‘ฅ 2 โˆ’3 ๐‘ฅ 1 โˆ’5 ๐‘ฅ 2 โˆ’10 ๐‘ฅ 3 s.t ๐‘ฅ 1 + ๐‘ฅ 2 โˆ’ ๐‘ฅ 3 โ‰ค0 ๐‘ฅ 3 โ‰ค17.25 Gunakan syarat berikut ๐œ•๐‘“( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— - ๐‘–=1 ๐‘š ๏ฌ ๐‘– ๐œ• ๐‘” ๐‘– ( ๐‘ฅ ) ๐œ• ๐‘ฅ ๐‘— = 0 j = 1, โ€ฆ, n (1) ๏ฌ ๐‘– ๐‘ ๐‘– โˆ’ ๐‘” ๐‘– ๐‘ฅ = 0 i = 1, โ€ฆ, m (2) ๏ฌ ๐‘– โ‰ฅ 0 i = 1, โ€ฆ, m (3) Kemudian kombinasikan nilai ๏ฌi > atau = 0 dan carilah solusi yang tidak melanggar semua syarat

16 Soal - soal Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari permasalahan berikut: max ๐‘ง= ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ฅ 2 s.t ๐‘ฅ ๐‘ฅ 2 2 โ‰ค1 max ๐‘ง=3 ๐‘ฅ 1 +2 ๐‘ฅ 2 s.t 2x1 + x2 โ‰ค 100 x1 + x2 โ‰ค 80 x1 โ‰ค 40 x1 , x2 โ‰ฅ 0


Download ppt "BY ENI SUMARMININGSIH, SSI, MM"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google