Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013 IF5011 Sistem dan Arsitektur Komputer Bagian 4 Floating Point 1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013 IF5011 Sistem dan Arsitektur Komputer Bagian 4 Floating Point 1."— Transcript presentasi:

1 Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013 IF5011 Sistem dan Arsitektur Komputer Bagian 4 Floating Point 1

2 Pembahasan Bilangan pecahan biner Representasi floating point standar IEEE 754 Pengkodean floating point  Normalized  Denormalized  Nilai khusus Rounding Operasi floating point Floating point pada C 2

3 Bilangan Pecahan Biner  Representasi bilangan : b =  Bit sebelah kiri binary point merepresentasikan bobot 2 k  Bit sebelah kanan binary point merepresentasikan bobot 2 -k bibi b i–1 b2b2 b1b1 b0b0 b –1 b –2 b –3 b –j i–1 2i2i 1/2 1/4 1/8 2 –j binary point Contoh : merepresentasikan bilangan 1 x x x x x 2 -2 = ½ + ¼ = 5¾ 3

4 Bilangan Pecahan Biner Menggeser binary point ke kiri → membagi dengan 2  sama dengan shift kanan  contoh : = 5 ¾ = ½ + ¼ + 1/8 = 2 7/8 Menggeser binary point ke kanan → mengalikan dengan 2  sama dengan shift kiri  contoh : = ½ = 11½ Bilangan mendekati 1 memiliki bentuk … 2  Contoh : 63/64= 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 =  Direpresentasikan dengan notasi 1.0 –  4

5 Keterbatasan Pecahan Biner Memiliki panjang kode terbatas  Tidak dapat merepresentasikan bilangan 1/3 secara eksak  Dapat mereprentasikan secara eksak bila berbentuk x x 2 y  Bilangan lain harus mengulangi representasi bit berkali-kali NilaiRepresentasi 1/ [01]… 2 1/ [0011]… 2 1/ [0011]… 2 Akurasi dapat dinaikkan dengan menambah bit, tetapi tetap saja tidak dapat merepresentasikan secara eksak 5

6 Bilangan Floating Point Merupakan aproksimasi dari bilangan real  Merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = x x 2 y  Tidak selalu memberikan hasil eksak, dapat terjadi pembulatan Digunakan dalam melakukan komputasi :  bilangan sangat besar (|V | » 0), dan  bilangan sangat dekat dengan nol (|V | « 1) Pecahan biner tidak efisien dalam mengkodekan bilangan bernilai besar  Contoh : 5 x tersusun atas pola bit 101 diikuti 100 buah nol 6

7 Floating Point Standar IEEE Ide  Bentuk V = x x 2 y ingin direpresentasikan dengan hanya memberikan nilai x dan y -nya saja Representasi floating point standar IEEE 754 V = (–1) s x M x 2 E  Bit tanda s menentukan apakah bilangan negatif (s=1) atau positif (s=0)  Signifikan M adalah bilangan pecahan, berkisar antara 1 dan 2 –  atau antara 0 dan 1 –   Eksponen E adalah bobot nilai bilangan Standar IEEE 754  Ditentukan tahun 1985  Bentuk standar aritmetika floating point  Sebelumnya, terdapat berbagai macam format  Didukung oleh seluruh CPU 7

8 Pengkodean Floating Point Representasi floating point IEEE  V = (–1) s x M x 2 E Kode biner floating point  s (sign) sepanjang satu bit mengkodekan bit tanda s  exp (exponent) sepanjang k bit mengkodekan eksponen E  frac (fraction) sepanjang n bit mengkodekan signifikan M Ukuran (tipe data float pada C)  Single precision : s=1 bit, exp=8 bit, frac=23 bit → total 32 bit  Double precision : s=1 bit, exp=11 bit, frac=52 bit → total 64 bit sexpfrac 1 bitk bitn bit 8

9 3 Kasus Kode Floating Point Berdasarkan pola bit exp, pengkodean floating point dibagi menjadi tiga kasus :  Nilai normalized  Kasus paling umum  Bila bit-bit exp tidak semua nol ( exp  000 … 0 ) atau tidak semua satu ( exp  111 … 1 )  Nilai denormalized  Bila bit-bit exp semuanya nol ( exp = 000 … 0 )  Nilai khusus  Bila bit-bit exp semuanya satu ( exp = 111 … 1 ) 9

10 Nilai Normalized Berlaku untuk kondisi exp  000 … 0 dan exp  111 … 1 Eksponen E diinterpretasikan dalam bentuk bias E = e – bias  e : nilai unsigned yang dikonversikan langsung dari exp  bias : nilai bias = 2 k-1 – 1, dimana k adalah banyaknya bit exp  single precision : bias = 127, e = 1 s/d 254, E = -126 s/d 127  double precision : bias = 1023, e = 1 s/d 2046, E = s/d 1023) Signifikan M adalah bilangan pecahan M = 1 + f  pecahan f = 0.xxx … x 2, dimana x adalah bit-bit pada frac  M berkisar antara 1.0 (frac= 000 … 0 ) s/d 2.0 –  (frac = 111 … 1 ) sexpfrac 1 bitk bitn bit 10

11 Nilai Denormalized Berlaku untuk kondisi exp = 000…0 Nilai kode  eksponen E = 1 – bias  bias = 2 k-1 – 1, dimana k adalah banyaknya bit exp  signifikan M = f  pecahan f = 0.xxx … x 2, dimana x adalah bit-bit pada frac Kasus denormalized  exp = 000 … 0, frac = 000 … 0  Merepresentasikan nilai 0  Terdapat perbedaan antara nilai +0 and –0, berdasarkan nilai bit s  exp = 000 … 0, frac  000 … 0  Bilangan yang sangat dekat dengan 0.0  Sifat gradual underflow, semakin kecil semakin presisi sexpfrac 1 bitk bitn bit 11

12 Nilai Khusus Berlaku untuk kondisi exp = 111…1 Kasus : exp = 111 … 1, frac = 000 … 0  Merepresentasikan nilai   (tak hingga/infinity)  positif +  bila s=0 dan negatif –  bila s=1  Hasil operasi yang mengalami overflow  Hasil kali dua bilangan sangat besar  Pembagian dengan nol (1.0/0.0 =  1.0/  0.0 = + , 1.0/  0.0 =   exp = 111 … 1, frac  000 … 0  Disebut Not-a-Number (NaN)  Merepresentasikan situasi dimana tidak ada nilai numeriknya  Contoh : sqrt(–1),  sexpfrac 1 bitk bitn bit 12

13 3 Kasus Kode Floating Point Ringkasan pengkodean bilangan real floating point : 1.Normalized 2.Denormalized 3.Nilai khusus  Tak hingga (infinity)  Not a Number NaN ++  00 +Denorm+Normalized -Denorm -Normalized +0 13

14 Distribusi Nilai Misalkan : floating point 6 bit, format menyerupai IEEE  sign s = 1 bit, eksponen exp = 3 bit, pecahan frac = 2 bit Perhatikan : distribusi semakin padat ketika mendekati nol Seluruh range nilai : Nilai antara -1.0 hingga +1.0 : 14

15 Contoh Kode Floating Point Diberikan representasi floating point 8-bit (tiny)  Satu bit tanda s terletak di most significant bit  Empat bit berikutnya adalah eksponen exp  Tiga bit terakhir adalah frac Bentuk menyerupai format IEEE  Terdapat kasus normalized, denormalized  Terdapat representasi untuk nol, tak hingga dan NaN  Representasi nilai dihitung : V = (–1) s x M x 2 E  dimana M diturunkankan dari frac dan E diturunkan dari exp s expfrac /4 15

16 Contoh Kode Floating Point expeE2 E kasus /64denormalized /64normalized / / / / / normalized inf, NaN Perhitungan nilai E denormalized : E = 1 - bias normalized : E = e - bias bias = 2 k-1 – 1 = – 1 = 7 2/4 16

17 Contoh Kode Floating Point exp fracfMkasus /81/ /82/8 …denormalized /86/ /87/ / /89/8 … /815/ / /89/8 …normalized /814/ /815/ tak hingga Perhitungan nilai M denormalized : M = f normalized : M = 1 + f f = 0.xxx 2, x adalah bit-bit frac 3/4 17

18 Contoh Kode Floating Point s exp frac Perhitungan nilai V = (–1) s x M x 2 E /8*1/64 = 1/ /8*1/64 = 2/512 … /8*1/64 = 6/ /8*1/64 = 7/ /8*1/64 = 8/ /8*1/64 = 9/512 … /8*1/2 = 15/ /8*1 = /8*1 = 9/8 … /8*128 = /8*128 = tak hingga 4/4 bilangan terdekat ke nol bilangan denormalized terbesar Bilangan normalized terkecil terdekat ke 1 (dr bawah) terdekat ke 1 (dari atas) bilangan normalized terbesar 18

19 Nilai Single Precision (float) Single precision : s=1 bit, exp=8 bit, frac=23 bit → total 32 bit Deskripsi expfrac Nilai Numerik Zero00…0000…000.0 Denorm pos terkecil00…0000…012 – 23 X 2 –126  1.4 X 10 –45 Denorm terbesar00…0011…11(1.0 –  ) X 2 –126  1.2 X 10 –38 Norm pos terkecil00…0100…001.0 X 2 –126  1.2 X 10 –38 Satu01…1100…001.0 Normalized terbesar11…1011…11(2.0 –  ) X  3.4 X

20 Integer ke Floating Point Konversi integer ke format floating point single precision = 0x3039 = = X 2 13  normalisasi bilangan dengan shift 13 posisi ke kanan binary point Konstruksi bagian frac (23 bit)  ambil signifikan M =  frac =  frac diperoleh dengan membuang bit 1 di depan dan menambah 10 buah nol Konstruksi bagian exp (8 bit)  bias = 127; E = 13; e = E + bias = 140; diperoleh exp = Reprensentasi floating point : = 0x4640E400 Heksa E Biner bit frac8 bit exp1 bit tanda 20

21 Operasi Floating Point Konsep operasi floating point 1.Hitung hasil eksak 2.Cocokan hasil dengan tingkat kepresisian yang diinginkan  Dapat terjadi overflow jika eksponen terlalu besar  Dapat terjadi pembulatan agar cocok dengan nilai frac Metoda pembulatan (rounding) –1.50  Zero1112–1  Round down (-  )1112–2  Round up (+  ) 2223–1  Nearest Even (default)1222–2 Catatan : zero = pembulatan ke arah nol; round down = pembulatan ke bawah; round up = pembulatan ke atas; nearest even = pembulatan terdekat 21

22 Pembulatan Nearest Even Mode pembulatan standar (default) Pembulatan ke nilai terdekat Jika bilangan berada tepat ditengah-tengah antara dua nilai yang mungkin → bulatkan sehingga nilai digit terkecil menjadi genap Contoh : pembulatan ke per seratus terdekat (kurang dari setengah) (lebih besar dari setengah) (nilai tengah, bulatkan ke atas) (nilai tengah, bulatkan ke bawah) 22

23 Pembulatan Bilangan Biner Bilangan pecahan biner  Bernilai “genap” jika least significant bit = 0 Contoh : Pembulatan ke 1/4 terdekat (2 bit di kanan binary point) Nilai Biner Pembulatan Hasil Nilai akhir 2 3/ < nilai tengah, bulat terdekat / > nilai tengah, bulat terdekat /4 2 7/ nilai tengah, bulat ke genap / nilai tengah, bulat ke genap /2 23

24 Floating Point pada C Bahasa C memiliki dua format floating point : float single precision (32 bit) double double precision (64 bit) Casting antara format int, float, dan double mengubah nilai numerik dan representasi bit-nya :  Dari int ke float  Bilangan tidak akan overflow, tetapi dapat mengalami pembulatan  Dari int atau float ke double  Konversi secara eksak, double memiliki range dan presisi lebih besar  Dari double ke float  Dapat mengalami overflow (+  atau    Dapat juga terjadi pembulatan, karena presisi lebih rendah  Dari double atau float ke int  Memotong bagian pecahan, mendekati nol, beda dengan rounding 24

25 Ariane 5  Meledak 37 detik setelah peluncuran  Membawa muatan, satelit seharga 500 juta dollar Mengapa terjadi kegagalan ?  Perhitungan kecepatan horisontal dilakukan dalam bilangan floating point  Dikonversi ke integer 16-bit  Bekerja baik pada Ariane 4  Pada Ariane 5 terjadi overflow  Ariane 5 menggunakan perangkat lunak yang sama dengan Ariane 4, padahal kecepatan geraknya lima kali lebih tinggi dari Ariane 4 25

26 Ringkasan Floating point standar IEEE digunakan untuk merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = (–1) s x M x 2 E Floating point digunakan untuk melakukan komputasi bilangan sangat besar (|V | » 0), dan bilangan sangat dekat dengan nol (|V | « 1) Floating point dikodekan dalam tiga kasus : untuk nilai denormalized, normalized dan nilai khusus (tak hingga dan NaN) Hasil operasi floating point dapat mengalami pembulatan (rounding) 26


Download ppt "Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013 IF5011 Sistem dan Arsitektur Komputer Bagian 4 Floating Point 1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google