Solusi Persamaan Linier

Presentasi berjudul: "Solusi Persamaan Linier"— Transcript presentasi:

1 Solusi Persamaan Linier
Metode Numerik

2 Pendahuluan Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan ilmu pengetahuan & teknologi. Ex.: penyelesaian permasalahan differensial biasa, analisis struktur, analisis jaringan, etc Didalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nialai x1,x2,x3…,xn yang memenuhi sistem persamaan berikut: Sistem persamaan diatas dapat linier atau tidak linier. metode numerik-TE UMP

3 Bentuk umum persamaan linier:
dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan metode numerik-TE UMP

4 Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :
atau dapat dituliskan: A x = B Dimana: Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. metode numerik-TE UMP

5 NOTASI MATRIKS Matriks adalah suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bentuk sebagai berikut : A11 A12 A13 A21 A22 A23 Am1 Am2 Am3 ……… …. A1n Amn A = A11 A12 A13 A21 A22 A23 A14 A24 A = A31 A32 A33 A41 A42 A43 A34 A44 matriks bujur sangkar C1 C2 Cn C = …. B1 B2 B3 ……… Bn B = Vector Baris vector kolom metode numerik-TE UMP

6 Solusi numerik persamaan linier
Metode Eliminasi Gauss Metode Gauss Jordan Metode Iterasi (iterasi jacobi & iterasi Gauss Seidel) metode numerik-TE UMP

7 Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut : metode numerik-TE UMP

8 Algoritma Metode Eliminasi Gauss
metode numerik-TE UMP

9 contoh: Selesai Persamaan linier berikut dgn eliminasi gauss:
Sehingga diperoleh matrik segitiga atas : (1) (2) (3) Sehingga untuk mencari nilai x1, x2 dan x3: Langkah 1: lakukan eliminasi maju. Kalikan pers.(1) dengan 0.1/3 kemudian kurangkan hasilnya terhadap persamaan (2): Langkah 2: kemudian kalikan pers.(1) dengan 0.3/3 dan kurangkan hasilnya thd pers (3). Sehingga diperoleh matrik baru: (4) (5) Untuk menguji kebenaran hasil perhitungan: (6) Langkah 3: untuk melengkapi eliminasi maju, variabel x2 pada pers.(6) harus dihilangkan. Caranya kalikan pers.(5) dengan -0,19/ kemudian kurangkan hasilnya thd. Pers (6). metode numerik-TE UMP

10 Latihan: 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10
Selesaikan persamaan linier berikut, menggunakan metode eliminasi Gauss: 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10 (a) metode numerik-TE UMP

11 Problem Solving with MatLab
Jawaban (b) >> a=[ ; ; ; ] a = >> mg=[8;-3;15;15] mg = 8 -3 15 >> x=a\mg x = (x1) (x2) (x3) (x4) >> (3*4.6667)-(2*(-1.5))+3-(4*3) ans = 8.0001 metode numerik-TE UMP

12 Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut: Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau: Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss- ordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. metode numerik-TE UMP

13 Contoh 1 Eliminasi-Gauss Jordan :
Selesaikan persamaan linier simultan: Augmented matrik dari persamaan linier simultan: Lakukan operasi baris elementer: Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 metode numerik-TE UMP

14 Contoh 2 Eliminasi-Gauss Jordan :
B2-2B1 B3-3B1 ½ B2 -2 B3 B3-3B2 B1- B2 B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3

15 Algoritma Eliminasi Gauss Jordan
metode numerik-TE UMP

16 Metode Eliminasi Gauss Jordan Menggunakan Matlab
hasil untuk contoh soal 2

17 METODE ITERASI Beberapa metode yang telah dipelajari sebelumnya termasuk dalam metode langsung dalam menyelesaikan system persamaan linier. Dalam metode iterasi dalam hal-hal tertentu lebih baik dibanding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan system persamaan tidak linier. -METODE ITERASI JACOBI-

18 A. METODE ITERASI JACOBI
Dipandang system 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui, dalam persamaan sebagai berikut : Persamaan pertama dari system diatas dapat digunakan untuk menghitung x1 sebagai fungsi dari x2 dan x3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2­ dan x3, sehingga didapat Persamaan 2 sebagai berikut : -METODE ITERASI JACOBI-

19 Hitungan di mulai dengan nilai perkiraan awal sembarang untuk variable yang dicari (biasanya semua variable di ambil sama dengan nol). Nilai perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke dalam ruas kanan dari system persamaan (2). Selanjutnya nilai variable yang didapat tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari system (2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut di ulangi lagi sampai nilai variable pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1. Apabila superskrip n menunjukkan jumlah iterasi, maka persamaan (3) dapat dituliskan menjadi : -METODE ITERASI JACOBI-

20 Iterasi hitungan berakhir setelah :
Atau telah dipenuhi criteria berikut : Dengan Єs adalah batasan ketelitian yang dikehendaki. -METODE ITERASI JACOBI-

21 Contoh : Selesaikan system persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi : 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10 Latihan:

22 B. Metode Gauss-Seidel Di dalam metode Jacobi, nilai x1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai x2 tidak digunakan untuk mencari x­3 sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut lebih baik dari nilai-nilai yang lama. Didalam metode Gauss Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variable berikutnya. -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL

23 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasihingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.

24 -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL
Perbandingan algoritma (a) gauss seidel (b) iterasi jacobi -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL

25 Contoh Selesaikan system persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi : 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10 Latihan: -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL

26 TUGAS Tulis bentuk persamaan matriks berikut menjadi suatu sistem persamaan linier: Selesaikan soal no.(a) dengan metode eliminasi gauss Selesaikan soal no.(a) dengan metode jacobi Selesaikan soal no.(a) dengan metode Gauss Seidel

27 Metode Iterasi Gauss Seidel Menggunakan Matlab

28 Selesai metode numerik-TE UMP