Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Solusi Persamaan Linier Metode Numerik 1. Pendahuluan Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Solusi Persamaan Linier Metode Numerik 1. Pendahuluan Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan."— Transcript presentasi:

1 Solusi Persamaan Linier Metode Numerik 1

2 Pendahuluan Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan ilmu pengetahuan & teknologi. Ex.: penyelesaian permasalahan differensial biasa, analisis struktur, analisis jaringan, etc Didalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nialai x 1,x 2,x 3 …,x n yang memenuhi sistem persamaan berikut: Sistem persamaan diatas dapat linier atau tidak linier. 2metode numerik-TE UMP

3 Bentuk umum persamaan linier: dimana: a ij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan 3metode numerik-TE UMP

4 Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu : atau dapat dituliskan: A x = B Dimana: Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. 4 metode numerik-TE UMP

5 NOTASI MATRIKS Matriks adalah suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bentuk sebagai berikut : B1B1 B2B2 B3B3 ……… BnBn B = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 14 A 24 A = A 31 A 32 A 33 A 41 A 42 A 43 A 34 A 44 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A m1 A m2 A m3 ……… …. A 1n A mn A = …. C1C1 C2C2 CnCn C = …. Vector Baris vector kolom matriks bujur sangkar 5metode numerik-TE UMP

6 Solusi numerik persamaan linier a)Metode Eliminasi Gauss b)Metode Gauss Jordan c)Metode Iterasi (iterasi jacobi & iterasi Gauss Seidel) 6metode numerik-TE UMP

7 Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut : 7metode numerik-TE UMP

8 Algoritma Metode Eliminasi Gauss 8 metode numerik-TE UMP

9 contoh: metode numerik-TE UMP9 Selesai Persamaan linier berikut dgn eliminasi gauss: Langkah 1: lakukan eliminasi maju. Kalikan pers.(1) dengan 0.1/3 kemudian kurangkan hasilnya terhadap persamaan (2): (1) (2) (3) Langkah 3: untuk melengkapi eliminasi maju, variabel x2 pada pers.(6) harus dihilangkan. Caranya kalikan pers.(5) dengan -0,19/ kemudian kurangkan hasilnya thd. Pers (6). Langkah 2: kemudian kalikan pers.(1) dengan 0.3/3 dan kurangkan hasilnya thd pers (3). Sehingga diperoleh matrik baru: Sehingga diperoleh matrik segitiga atas : (4) (5) (6) Sehingga untuk mencari nilai x1, x2 dan x3: Untuk menguji kebenaran hasil perhitungan:

10 Latihan: Selesaikan persamaan linier berikut, menggunakan metode eliminasi Gauss: 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10 10metode numerik-TE UMP (a)

11 Jawaban (b) >> a=[ ; ; ; ] a = >> mg=[8;-3;15;15] mg = >> x=a\mg x = (x1) (x2) (x3) (x4) >> (3*4.6667)-(2*(-1.5))+3-(4*3) ans = metode numerik-TE UMP11 Problem Solving with MatLab

12 Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut: metode numerik-TE UMP12 Metode Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d 1,d 2,d 3,…,d n dan atau: Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss- ordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris.

13 Contoh 1 Eliminasi-Gauss Jordan : metode numerik-TE UMP 13 Selesaikan persamaan linier simultan: Augmented matrik dari persamaan linier simultan: Lakukan operasi baris elementer: Penyelesaian persamaan linier simultan : x 1 = 2 dan x 2 = 1

14 B 2 -2B 1 B 3 -3B 1 Contoh 2 Eliminasi-Gauss Jordan : ½ B 2 B 3 -3B 2 -2 B 3 B 1 - B 2 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 B 2 + 7/2 B 3 B /2 B 3

15 metode numerik-TE UMP15 Algoritma Eliminasi Gauss Jordan

16 Metode Eliminasi Gauss Jordan Menggunakan Matlab hasil untuk contoh soal 2

17 METODE ITERASI Beberapa metode yang telah dipelajari sebelumnya termasuk dalam metode langsung dalam menyelesaikan system persamaan linier. Dalam metode iterasi dalam hal-hal tertentu lebih baik dibanding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan system persamaan tidak linier. 17 -METODE ITERASI JACOBI-

18 A. METODE ITERASI JACOBI Dipandang system 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui, dalam persamaan sebagai berikut : Persamaan pertama dari system diatas dapat digunakan untuk menghitung x 1 sebagai fungsi dari x 2 dan x 3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x 2­ dan x 3, sehingga didapat Persamaan 2 sebagai berikut : -METODE ITERASI JACOBI- 18

19 Hitungan di mulai dengan nilai perkiraan awal sembarang untuk variable yang dicari (biasanya semua variable di ambil sama dengan nol). Nilai perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke dalam ruas kanan dari system persamaan (2). Selanjutnya nilai variable yang didapat tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari system (2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut di ulangi lagi sampai nilai variable pada iterasi ke n mendekati nilai pada iterasi ke n-1. Apabila superskrip n menunjukkan jumlah iterasi, maka persamaan (3) dapat dituliskan menjadi : -METODE ITERASI JACOBI- 19

20 Iterasi hitungan berakhir setelah : Atau telah dipenuhi criteria berikut : Dengan Є s adalah batasan ketelitian yang dikehendaki. -METODE ITERASI JACOBI- 20

21 Selesaikan system persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi : 21 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z= 20 2x – 2y + 5z = 10

22 B. Metode Gauss-Seidel Di dalam metode Jacobi, nilai x 1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai x 2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai x 2 tidak digunakan untuk mencari x ­3 sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-nilai baru tersebut lebih baik dari nilai-nilai yang lama. Didalam metode Gauss Seidel nilai-nilai tersebut dimanfaatkan untuk menghitung variable berikutnya. 22 -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL

23 Metode Iterasi Gauss-Seidel 23  Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasihingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.  Bila diketahui persamaan linier simultan: Berikan nilai awal dari setiap x i (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.

24 24 -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL Perbandingan algoritma (a) gauss seidel (b) iterasi jacobi

25 25 -METODE ITERASI GAUSS SEIDEL Selesaikan system persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi : 3x + y – z = 5 4x + 7y – 3z= 20 2x – 2y + 5z = 10

26 a)Tulis bentuk persamaan matriks berikut menjadi suatu sistem persamaan linier: 26 b)Selesaikan soal no.(a) dengan metode eliminasi gauss c)Selesaikan soal no.(a) dengan metode jacobi d)Selesaikan soal no.(a) dengan metode Gauss Seidel

27 27 Metode Iterasi Gauss Seidel Menggunakan Matlab

28 metode numerik-TE UMP28 Selesai


Download ppt "Solusi Persamaan Linier Metode Numerik 1. Pendahuluan Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google