Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Suryadi MT Matematika Diskrit 1 FUNGSI Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia MATEMATIKA DISKRIT K-

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Suryadi MT Matematika Diskrit 1 FUNGSI Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia MATEMATIKA DISKRIT K-"— Transcript presentasi:

1 Suryadi MT Matematika Diskrit 1 FUNGSI Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia MATEMATIKA DISKRIT K- 6

2 Suryadi MT DEFINISI FUNGSI Relasi biner f dari himp A ke himp B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Notasi : Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B. Matematika Diskrit 2

3 Suryadi MT DEFINISI FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Matematika Diskrit 3

4 Suryadi MT 4

5 5

6 Penyajian Fungsi Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x 2, dan f(x) = 1/x. Kata-kata, Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. Matematika Diskrit 6

7 Suryadi MT Penyajian Fungsi Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; Matematika Diskrit 7

8 Suryadi MT Contoh 1: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Matematika Diskrit 8

9 Suryadi MT Contoh 2: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}. Matematika Diskrit 9

10 Suryadi MT Contoh 3: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Matematika Diskrit 10

11 Suryadi MT Contoh 4: Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Matematika Diskrit 11

12 Suryadi MT Contoh 5: Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x 2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif. Apakah f merupakan fungsi ? Matematika Diskrit 12

13 Suryadi MT 13

14 Suryadi MT Contoh 6: Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u. Matematika Diskrit 14

15 Suryadi MT Contoh 7: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu ? Matematika Diskrit 15

16 Suryadi MT Jawab Contoh 7: a. f(x) = x adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, maka a – 1  b – 1. Misal untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3. Matematika Diskrit 16

17 Suryadi MT 17

18 Suryadi MT Contoh 8: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Matematika Diskrit 18

19 Suryadi MT Contoh 9: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada ? Matematika Diskrit 19

20 Suryadi MT Jawab Contoh 9: a. f(x) = x adalah bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1. Matematika Diskrit 20

21 Suryadi MT FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijektif (bijection) jika ia : fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Matematika Diskrit 21

22 Suryadi MT Contoh 10: Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Matematika Diskrit 22

23 Suryadi MT Contoh 11: f : Z  Z. Fungsi didefinisikan f(x) = x – 1 apakah f merupakan fungsi bijektif ? Jawab : f merupakan fungsi bijektif karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Matematika Diskrit 23

24 Suryadi MT FUNGSI INVERS Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. Matematika Diskrit 24

25 Suryadi MT FUNGSI INVERS Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. Matematika Diskrit 25

26 Suryadi MT Contoh 12: Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke- satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Matematika Diskrit 26

27 Suryadi MT Contoh 13: Tentukan balikan fungsi f(x) = x + 1. Jawab : Fungsi f(x) = x +1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 1, maka x = y – 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f -1 (y) = y – 1. Matematika Diskrit 27

28 Suryadi MT 28

29 Suryadi MT 29

30 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x:  x  menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Matematika Diskrit 30

31 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus Fungsi ceiling dari x:  x  menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dpl, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas. Matematika Diskrit 31

32 Suryadi MT Contoh 16 : Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:  3.5  = 3  3.5  = 4  0.5  = 0  0.5  = 1  4.8  = ….  4.8  = ….  – 0.5  = ….  – 0.5  = ….  –3.5  = ….  –3.5  = …. Matematika Diskrit 32

33 Suryadi MT Contoh 17 : Pada komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 132 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah : Bahwa 17  8 = 136 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 4 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits). Matematika Diskrit 33  132/8  = 17 byte.

34 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Matematika Diskrit 34

35 Suryadi MT Contoh 18 : Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = mod 10 = … 0 mod 5 = …. –25 mod 7 = …. (sebab –25 = 7  (–4) + 3 ) Matematika Diskrit 35

36 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 3. Fungsi Faktorial Matematika Diskrit 36

37 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 4. Fungsi Eksponensial Untuk kasus perpangkatan negatif, Matematika Diskrit 37

38 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 5. Fungsi Logaritmik berbentuk Matematika Diskrit 38

39 Suryadi MT Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n. Matematika Diskrit 39

40 Suryadi MT Fungsi Rekursif Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b) Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus menuju ke nilai awal (basis). Matematika Diskrit 40

41 Suryadi MT Contoh 19 Basis : n! = 1Jika n = 0 Rekurens : n! = n x (n-1)!Jika n > 0 Matematika Diskrit 41

42 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 42 Algoritma Faktorial dari n Fakt (n) IF n < 1 THEN Fakt  1 ELSE Fakt  n * Fakt (n -1) END IF;

43 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 43 Simulasi Kasus 1 : 4!....? * * *

44 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 44 Algoritma Iteratifnya Faktorial dari n INPUT n fak  1 FOR j = 1 TO n fak  fak + j NEXT J OUTPUT fak

45 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 45 Contoh 20 : Jumlah n suku pertama bilangan Asli sum (n) IF n < 2 THEN sum  1 ELSE sum  n + sum (n -1) END IF;

46 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 46 Algoritma Iteratifnya INPUT n s  0 FOR i = 1 TO n s  s + i NEXT i OUTPUT s

47 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 47 Algoritma Iteratifnya Dengan pwngulangan WHILE-DO INPUT n s  0 i  1 WHILE i ≤ n DO s  s + i i  i + 1 END WHILE OUTPUT s

48 Suryadi MT Contoh 21 : Contoh lain fungsi rekursif Matematika Diskrit 48

49 Suryadi MT Contoh 22 : Fungsi Fibonacci : f(6) = ? f(40) = ? Berapa kali pemanggilan fungsi rekursifnya ? Matematika Diskrit 49

50 Suryadi MT Matematika Diskrit 50 Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung.


Download ppt "Suryadi MT Matematika Diskrit 1 FUNGSI Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia MATEMATIKA DISKRIT K-"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google