Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial Pertemuan 4 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial Pertemuan 4 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008."— Transcript presentasi:

1

2 Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial Pertemuan 4 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008

3 Bina Nusantara Bentuk umum persamaan polinomial: Dengan a k adalah konstanta bilangan riil dan a n  0 Persamaan polinomial termasuk pada persamaan non-linier Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar

4 Bina Nusantara Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melalui dua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x 0,f(x 0 )]; [ x 1,f(x 1 )]; [ x 2,f(x 2 )] Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah: Maka: ……………..(1) 1. Metoda Müller

5 Bina Nusantara Misalkan: Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh: ……………….(2)

6 Bina Nusantara Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut: …………………..(3) Contoh:, tentukan akar persamaan Jawaban: Misalkan: x 0 = 4.5; x 1 = 5.5; x 2 = 5 f(4.5) = 20.625; f(5.5) = 82.875; f(5) = 48 = c h 0 = 1; h 1 = -0.5  0 = 62.25;  1 = 69.75 a = 15 b = 62.25

7 Bina Nusantara Dengan rumus iterasi: Diperoleh:

8 Bina Nusantara Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan: X 0 = 5.5; x 1 = 5 dan x 2 = 3.976487 Kemudian dihitung kembali, h 0 ; h 1 ;  0 dan  1 untuk memperoleh nilai a, b dan c Hasil iterasinya adalah sbb.: nxnxn  n (%) 05- 13.97648725.74 24.001050.6139 34.000000.0262 440.0000119

9 Bina Nusantara 2. Metoda Bairstow dibagi dengan: (x 2 – rx – s ) yang menghasilkan: Dengan sisa pembagian:

10 Bina Nusantara Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian Fungsi kuadrat diperoleh: b n = a n b n-1 = a n-1 + r b 0 b i = a i + r b i+1 + s b i+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b 0 dan b 1 harus menuju nol. b 0 dan b 1 masing-masing fungsi dari r dan s

11 Bina Nusantara Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetik seperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan: Sehingga: dimana: Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1

12 Bina Nusantara Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut: Gunakan perkiraan awal r 0 = s 0 = -1 kemudian iterasikan sampai Galat relatif kurang dari 1 % Jawaban: Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b 5 = a 5 = 1; b 4 = -4.5; b 3 = 6.25; b 2 = 0.375; b 1 = - 10.5 dan b 0 = 11.375 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c 5 = b 5 = 1; c 4 = -5.5; c 3 = 10.75; c 2 = - 4.875; c 1 = - 16.375

13 Bina Nusantara Maka: -16.375  r – 4.875  s = -11.375 - 4.875  r + 10.75  s = 10.5  r = 0.3558 dan  s = 1.1381 Iterasi pertama untuk r dan s adalah: r 1 = r 0 +  r = -1 + 0.3558 = - 0.6442 s 1 = s 0 +  s = -1 + 1.1381 = 0.1381  r ( r 1 ) = | (0.3558/-0.6442| 100 % = 55.23 %  s ( s 1 ) = | (1.1381/ 0.1381| 100 % = 824.1 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2

14 Bina Nusantara Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b 5 = a 5 = 1; b 4 = -4.1442; b 3 = 5.5578; b 2 = - 2.0276; b 1 = - 1.8013 dan b 0 = 2.1304 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c 5 = b 5 = 1; c 4 = -4.7884; c 3 = 8.7806; c 2 = - 8.3454; c 1 = 4.7874 Maka: 4.7874  r – 8.3454  s = -2.1304 – 8.3454  r + 8.7806  s = 1.8013  r = 0.1331 dan  s = 0.3316 r 2 = r 1 +  r = - 0.6442 + 0.1331 = - 0.5111 s 1 = s 0 +  s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697 Iterasi ke dua untuk r dan s adalah:

15 Bina Nusantara  r ( r 2 ) = | (0.1331/-0.5111| 100 % = 26.0 %  s ( s 2 ) = | (0.3316/ 0.4697| 100 % = 70.6 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnya Setelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu: r 4 = - 0.5 dengan  r ( r 4 ) = 0.063 % s 4 = 0.5 dengan  s ( s 4 ) = 0.040 % Jadi r = r 4 = -0.5 dan s = s 4 = 0.5 Persamaan kuadarat: (x 2 – rx – s ) = (x 2 + 0.5x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x) Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:

16 Bina Nusantara Hasil pembagian f(x) dengan (x 2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu: Akar-akar dari f 3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = - 0.5 dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = - 1.249 dan persamaan kuadrat (x 2 – rx – s ) = (x 2 - 2x + 1.249 ) adalah faktor dari f 3 (x) Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu: Hasil pembagian f 3 (x) dengan (x 2 - 2x + 1.249 ) yaitu: f 1 (x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x 5 = 2

17 Bina Nusantara Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial Rumus iterasi metoda Newton: 2. Metoda Birge-Vieta

18 Bina Nusantara f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb: b n = a n b i = a i + x n b i+1 Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(x n ) = b 0 Bila dibagi dengan (x – x n ) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b 0, dan f(x) = (x – x n ) g(x) + b 0 dimana:

19 Bina Nusantara Turunan pertama dari f(x) = (x – x n ) g(x) + b 0 yaitu: f’(x) = (x – x n ) g’(x) + g(x) f’(x n ) = g(x n ) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu: c n = b n c i = b i + x n c i+1 Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(x n ) = c 1 Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:

20 Bina Nusantara Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x 3 – x – 1 disekitar X 0 = 1.3 Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh: iaiai b i =a i +x 0 b i+1 c i =b i +x 0 c i+1 3111 201.32.6 10.694.07 0-0.103 Jawaban:

21 Bina Nusantara Iterasi pertama memberikan: i aiai b i =a i +x 1 b i+1 c i =b i +x 1 c i+1 3 111 2 01.3252.265 1 0.7556254.267 0 0.001203 Iterasi ke dua:

22 Bina Nusantara Iterasi ke dua memberikan: Iterasi ke tiga: iaiai b i =a i +x 2 b i+1 c i =b i +x 2 c i+1 3111 201.3247182.64434 10.1548784.26434 00.000004

23 Bina Nusantara Iterasi ke tiga memberikan:  r ( x 3 ) = | (-0.0000002/1.3247179)| 100 % = 0.00002 %

24 Bina Nusantara Soal Latihan 1.Menggunakan Metode Muller, tentukan akar dari f(x) = 2x 4 – 3x 2 + 6 2. Menggunakan Metode Bairstow, tentukan akar dari f(x) = x 4 – 2x 3 + 6x 2 -2x + 5 3. Menggunakan Metode Bierge-Vieta, tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x 3 – x 2 + 2x -3 disekitar X0 = 1.27


Download ppt "Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial Pertemuan 4 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google