Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Solusi Sistem Persamaan Lanjar (Bagian 2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB) 1Rinaldi Munir - Topik Khusus.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Solusi Sistem Persamaan Lanjar (Bagian 2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB) 1Rinaldi Munir - Topik Khusus."— Transcript presentasi:

1 Solusi Sistem Persamaan Lanjar (Bagian 2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB) 1Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

2 Pemfaktoran dengan Metode Reduksi Crout Meskipun metode LU Gauss dikenal paling baik untuk melakukan dekomposisi LU, terdapat metode lain yang digunakan secara luas, yaitu metode reduksi Crout Nama lain: metode reduksi Cholesky atau metode Dolittle Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I2

3 3

4 4 Kita perhatikan ada urutan pola teratur dalam menemukan elemen-elemen L dan U, yaitu: (1)elemen-elemen baris pertama dari U (2)elemen-elemen baris pertama dari L (3)elemen-elemen baris kedua dari U (4)elemen-elemen baris kedua L (5)… (6)elemen-elemen baris ke-k dari U (7)elemen-elemen baris ke-k dari L

5 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I5

6 Contoh: Selesaikan x 1 + x 2 - x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 -x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 dengan metode dekomposisi LU, yang dalam hal ini L dan U dihitung dengan metode reduksi Crout. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I6

7 7

8 8

9 9

10 Jika diamati elemen segitiga bawah pada matriks U semuanya bernilai nol, sehingga ruang yang tidak terpakai itu dapat dipakai untuk menyimpan elemen matriks L. Elemen diagonal matriks L seluruhnya 1, jadi tidak perlu disimpan (default). Dengan demikian, penyimpanan elemen L dan U pada satu matriks dapat menghemat penggunaan memori. Selain itu, matriks A hanya dipakai sekali untuk memperoleh L dan U, sesudah itu tidak dipakai lagi. Dengan demikian, setelah L dan U diperoleh, elemennya dapat dipindahkan ke dalam A. Karena alasan ini, maka metode dekomposisi LU dinamakan juga metode kompaksi memori. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I10

11 Determinan Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk menghitung determinan matriks n  n. Determinannya dapat dihitung setelah ia ditransformasi menjadi matriks segitiga atas U. Dua hukum penting determinan: Hukum 1: det(BC) = det(B)  det(C) Hukum 2: det(M) = hasil kali semua elemen diagonal M jika M adalah matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I11

12 Kasus 1: Bila eliminasi Gauss tidak menerapkan tatancang pivoting. Jika pivoting tidak diterapkan, determinan matriks A adalah: det (A) = det (LU) = det (L)  det(U) = det(U) = u 11 u 22 u u nn yang dalam hal ini det(L) = 1 sebab semua elemen diagonal L adalah satu. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I12

13 Kasus 2: Bila eliminasi Gauss menerapkan tatancang pivoting. Tatancang pivoting mengakibatkan pertukaran baris. Dekomposisi LU dengan pivoting setara dengan mengerjakan dua proses terpisah berikut: 1.Transformasikan matriks A menjadi matriks A' dengan cara permutasi baris-baris matriks (sama dengan mengalikan A dengan matriks permutasi P), A' = PA atau setara dengan A = P -1 A' 2.Dekomposisi A' menjadi LU tanpa pivoting A' = LU Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I13

14 Dari (1) dan (2), L dan U dihubungkan dengan A oleh A = P -1 A' = P -1 LU Determinan A dapat ditulis sebagai det (A) = det (P -1 )  det (L)  det (U) = det (P -1 )  1  det (U) = det (P -1 )  det (U) =  det (U) yang dalam hal ini  = det (P -1 ) = -1 atau 1 bergantung pada apakah pivoting sejumlah bilangan ganjil atau genap. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I14

15 Jika pivoting dilakukan sejumlah p kali, maka  dapat ditulis sebagai:  = (-1) p  bernilai 1 untuk p genap dan -1 untuk p ganjil. Karena itu, det(A) = (-1) p det(U) = (-1) p u 11 u 22 u u nn Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I15

16 Contoh: Hitung determinan matriks A berikut: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I16

17 Contoh: Hitung determinan matriks berikut Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I17

18 Metode Lelaran Untuk Menyelesaikan SPL Metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan. Galat pembulatan yang terjadi pada eliminasi Gauss dapat menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” dari solusi sebenarnya. Gagasan metoda lelaran pada pencarian akar persamaan nirlanjar dapat juga diterapkan untuk menyelesaikan SPL. Dengan metode lelaran, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat meneruskan lelaran sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas galat yang kita perbolehkan. Dengan kata lain, besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisa diterima Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I18

19 Jika metode eliminasi Gauss dan variasi-variasinya serta metode dekomposisi LU dinamakan metode langsung (direct) -karena solusi SPL diperoleh tanpa lelaran- maka metode lelaran dinamakan metode tidak langsung (indirect) atau metode iteratif. Tinjau kembali sistem persamaan lanjar a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2: a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Dengan syarat a kk  0, k = 1, 2,..., n, maka persamaan lelarannya dapat ditulis sebagai Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I19

20 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I20

21 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I21

22 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I22

23 Metode Lelaran Jacobi Persamaan lelarannya adalah seperti yang ditulis di atas. Misalkan diberikan tebakan awal x (0) : x (0) = (x 1 (0), x 2 (0),..., x n (0) ) T Prosedur lelaran untuk lelaran pertama, kedua, dan seterusnya adalah sebagai berikut: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I23

24 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I24

25 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I25

26 Metode Lelaran Gauss-Seidel Kecepatan konvergen pada lelaran Jacobi dapat dipercepat bila setiap harga x i yang baru dihasilkan segera dipakai pada persamaan berikutnya untuk menentukan harga x i+1 yang lainnya. Metode lelarannya dinamakan lelaran Gauss-Seidel Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I26

27 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I27

28 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I28

29 Contoh: Tentukan solusi SPL 4x - y + z = 7 4x - 8y + z = x + y + 5z = 15 dengan nilai awal P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 2, 2). (Solusi sejatinya adalah (2, 4, 3) ) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I29

30 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I30

31 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I31

32 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I32

33 Contoh Soal Terapan Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I33

34 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I34

35 Penyelesaian: Arah arus dimisalkan seperti diatas. Dengan hukum Kirchoff diperoleh persamaan-persamaan berikut : i 12 + i 52 + i 32 = 0 i 65 - i 52 - i 54 = 0 i 43 - i 32 = 0 i 54 - i 43 = 0 Dari hukum Ohm didapat : i 32 R 32 - V 3 + V 2 = 0 i 43 R 43 - V 4 + V 3 = 0 i 65 R 65 + V 5 = 0 i 12 R 12 + V 2 = 0 i 54 R 54 - V 5 + V 4 = 0 i 52 R 52 - V 5 + V 2 = 0 Dengan menyusun kesepuluh persamaan diatas didapatkan SPL sbb : Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I35

36 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I36

37 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I37

38 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I38

39 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I39


Download ppt "Solusi Sistem Persamaan Lanjar (Bagian 2) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB) 1Rinaldi Munir - Topik Khusus."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google