Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0."— Transcript presentasi:

1 SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0

2 SPL HOMOGEN pasti ada penyelesaian trivial (sederhana) penyelesaian trivial + tak berhingga banyak penyelesaian taktrivial (tidak semuanya nol ) atau Selalu konsisten

3 ILUSTRASI: a 1 x + b 1 y = 0 (a 1, b 1 keduanya tidak nol) a 2 x + b 2 y = 0 (a 2, b 2 keduanya tidak nol) (a) Hanya solusi trivial(b) Solusi banyak

4 SPL homogen A mn x = 0 a)m > n hanya mempunyai solusi trivial b)m = n jika c)m < n mempunyai solusi tidak trivial (m: persamaan, n: variabel) mempunyai kemungkinan penyelesaian :

5 Contoh : (Solusi trivial) 1.Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : 3 a + b = 0 a – b = 0 Jawab : 4 a = 0 3 a + b = 0 3(0)+ b = 0 m = n 3 a + b = 0 a – b = 0 a = 0 b = 0

6 2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab : m = n

7 Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

8 Contoh : (Solusi tak trivial) 1.Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 5 a – b + c = 0 Jawab : m < n b 1 (1/3)b 21 (-5) b 2 (-3/8) b 12 (-1/3)

9 Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum) Misalkan : c = 4 c = -4 c = 1 c = -1 a = - 1 dan b = - 1 a = 1 dan b = 1 a = - ¼ dan b = - ¼ a = ¼ dan b = ¼ Diperoleh solusi tak trivial

10 2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini: Jawab : Bentuk matriks: m< n

11 Bentuk akhir eselon-baris tereduksi: dan penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s = t = 0. solusi umum : Terdapat 2 variabel bebas yaitu x 2 dan x 5 Misalkan : x 2 = s dan x 5 = t, maka diperoleh :

12 3. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x 1 + 2x x 4 = 0 2x 1 + x 2 + 3x x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 Jawab : ~ Terdapat 2 variabel bebas yaitu : x 3 dan x 4 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka diperoleh : m< n

13 solusi umum : Solusi trivialnya terjadi pada saat s = t = 0

14 4. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini : x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3 x – 3w = 0 Jawab : m = n ~ ~

15 Pada matrik terakhir terlihat hanya 2 kolom yang memiliki satu utama atau terdapat 2 baris nol, ini berarti bahwa SPL tidak trivial dengan 2 variabel bebas yaitu z dan w. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh penyelesaian umum : OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.

16 Metode Jacobi :

17 Metode Jacobi : x 1 dan x 2 disebut bilangan iterasi Ketika n = 4, maka bilangan iterasi ke 4 adalah Hasil akhir dari metode Jacobi mendekati solusi sebenarnya yaitu : metode Jacobi menyatu,sehingga dalam kasus ini (konvergen)

18 Metode Gauss – Seidel : dengan pola perhitungan zigzag Dapat dilihat bahwa metode Gauss-Seidel pada kasus ini juga menyatu, bahkan lebih cepat dibandingkan Jacobi

19 Metode Gauss – Seidel dengan jawaban menyebar (divergen) Jawaban sebenarnya adalah : (lihat gambar)

20 Diagonal matrik dominan sempurna Matrik A dikatakan memiliki diagonal dominan sempurna jika : Jika SPL nxn mempunyai diagonal dominan sempurna pasti memiliki solusi tunggal, sehingga iterasi metode Jacobi’s maupun Gauss – Seidel mendapatkan hasil yang menyatu (konvergen)

21 APLIKASI SPL SPL dapat digunakan untuk memecahkan masalah-masalah di bidang, biologi, kimia, fisika, ekonomi, arus lalu lintas dan lain-lain.  Aplikasi SPL dalam bidang biologi. 1.Ahli biologi menempatkan 3 jenis bakteri pada tabung reaksi yang diberi tanda Strain I, Strain II dan Strain III. Ada 3 macam makanan yang berbeda (A, B dan C) yang setiap hari disediakan yaitu 2300 satuan A, 800 satuan B dan 1500 satuan C. Masing-masing bakteri mengkonsumsi sejumlah satuan makanan seperti ditunjukkan dalam tabel 1. Berapa banyak bakteri setiap Strain yang berada dalam tabung reaksi yang menghabiskan makanan?

22 Tabel 1. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III Makanan A Makanan B Makanan C Jawab : Misalkan : x 1, x 2 dan x 3 adalah jumlah bakteri dari Strain I, Strain II dan Strain III. Bakteri Strain I mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2 satuan, sehingga jumlah total makanan A yang dikonsumsi per-hari adalah 2 x 1. Demikian pula untuk Strain II dan Strain III, mengkonsumsi makanan A per-hari sebanyak 2 x 2 dan 4x 3

23 Makanan A yang disediakan berjumlah 2300 satuan, dengan demikian dapat dituliskan persamaan berikut : 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 2300 Dengan cara yang sama dapat dituliskan persamaan untuk jenis makanan B dan C sebagai berikut : x 1 + 2x 2 = 800 x 1 + 3x 2 + x 3 = 1500 Jadi terbentuk SPL dengan 3 variabel. Dengan OBE diperoleh : Strain I : 100 Strain II : 350 Strain III: 350

24 2. Sama seperti soal 1 namun tabel 1 diubah menjadi tabel 2. Tabel 2. Konsumsi makanan Strain I Strain II Strain III Jumlah Makanan A Makanan B Makanan C Jawab : SPL baru : x 1 – x 3 = 0 x 2 – 2x 3 = 0 Variabel bebas : x 3 Misalkan : x 3 = t Maka x 1 = t x 2 = 1500 – 2t

25 Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin negatif. Oleh karenanya, t ≥ 0 dan 1500 – 2 t ≥ 0. Dari kedua ketidaksamaan tersebut diperoleh : 0≤ t ≤750. Dengan demikian terdapat 751 nilai t yang memenuhi dan bentuk persamaannya adalah :

26  Aplikasi SPL dalam bidang kimia. Persamaan reaksi kesetimbangan Reaksi gas Hidrogen (H 2 ) dengan Oksigen (O 2 ) menghasilkan air (H 2 O) yang ditulis dalam persamaan reaksi kesetimbangan sebagai berikut : 2 H 2 + O 2 Berarti 2 molekul Hidrogen dengan 1molekul Oksigen membentuk 2 molekul air. Terjadi kesetimbangan karena ruas kiri dan ruas kanan mengandung 4 atom Hidrogen dan 2 atom Oksigen 2 H 2 O

27 Contoh: 1.Amonia (NH 3 ) dalam Oksigen menghasilkan Nitrogen (N 2 ) dan air. Tentukan persamaan reaksi kesetimbangan kimianya. Jawab : Misalkan jumlah molekul dari amonia, oksigen, nitrogen dan air adalah : w, x, y dan z. Maka persamaan reaksi kesetimbangan dapat ditulis dalam bentuk : wNH 3 + xO 2 Kemudian bandingkan jumlah atom nitrogen, hidrogen dan oksigen yang direaksikan dengan yang dihasilkan. yN 2 + zH 2 O

28 Diperoleh persamaan sebagai berikut : Nitrogen : w = 2y Hidrogen : 3w = 2z Oksigen : 2x = z Jika ditulis dalam bentuk persamaan standard, maka terlihat SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut : w – 2 y = 0 3w – 2 z = 0 2 x – z = 0 m < nTidak trivial

29 Jadi : w = 2/3 z x = ½ z y = 1/3 z w = 4 y = 2 z = 6 x = 3 Persamaan kesetimbangan ditulis sebagai berikut: 4NH 3 + 3O 2 2N 2 + 6H 2 O

30 2. Selesaikan persamaan reaksi pembakaran gas Propana (C 3 H 8 ) oleh Oksigen (O 2 ) berikut ini : (x 1 )C 3 H 8 + (x 2 )O 2 Jawab : Penulisan secara matrik setiap molekul adalah sebagai berikut : C 3 H 8 :, O 2 :, CO 2 : dan H 2 O : Jumlah atom C, atom H dan atom O di ruas kiri harus sama dengan ruas kanan. O H C (x 3 )CO 2 + (x 4 ) H 2 O

31 Maka : Terbentuk SPL Homogen berikut ini : x1x1 + x2x2 = x3x3 + x4x4

32 Hasilnya : x 1 = ¼, x 2 = 5/4, x 3 = ¾ dan x 4 = variabel bebas Ambil : x 4 = 4, Maka persamaan reaksi kesetimbangan menjadi : C 3 H 8 + 5O 2 x 1 = 1 x 2 = 5 x 3 = 3, dan 3CO 2 + 4H 2 O

33  Aplikasi SPL dalam bidang fisika. SPL dalam bidang fisika difokuskan dalam menentukan besar arus listrik yang mengalir dalam suatu rangkaian. Digunakan hukum Kirchhoff :  Pada titik persimpangan : Jumlah arus yang masuk = jumlah arus yang keluar  Pada suatu loop : Perhitungan aljabar dari tegangan = perhitungan aljabar penurunan tegangan

34 Berdasarkan hukum Ohm, penurunan tegangan E pada setiap resistor adalah : Dengan : i = kuat arus (ampere) dan R = resistor/hambatan (Ω) E= i R

35 Contoh : Tentukan i 1, i 2 dan i 3 pada rangkaian berikut ini : Jawab : Penyelesaian soal ini didasarkan pada hukum Kirchhoff dan Ohm dengan menggunakan SPL berikut ini :

36

37 Persamaan ditulis dalam notasi matrik dan diselesaikan dengan OBE berikut ini :

38

39 Aplikasi SPL dalam bidang ekonomi. SPL di bidang ekonomi kebanyakan digunakan untuk menentukan biaya ekuilibrium pengeluaran dalam suatu periode tertentu sehingga pendapatan yang ada sesuai dengan pembelanjaannya. Contoh : Setiap tahun, sektor barang dagangan (A) menjual 80% outputnya kepada sektor jasa dan sisanya disimpan. Sedangkan sektor jasa (B) menjual 60% outputnya kepada sektor barang dagangan dan sisanya disimpan. Bagaimana cara penentuan biaya ekuilibrium setiap sektor pertahun sehingga pendapatan masing-masing sektor sesuai dengan pengeluaran ?

40 Buat daftar pengeluaran masing-masing sektor : Sektor Barang dagangan (A) Sektor Jasa (B) Dibeli oleh : 0,8 0,4 0,6 0,2 B A Kolom menunjukkan output, sedangkan baris menunjukkan pengeluarannya masing-masing sektor

41 Maka SPL yang dihasilkan adalah : A = 0,2 A + 0,6 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (1) B = 0,8 A + 0,4 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (2) Dalam notasi matrik : Bila B = 80, maka A = 60. Jadi, biaya ekuilibrium untuk sektor barang dagangan adalah 60, sedangkan sektor jasa adalah 80 Hasil umumnya : A = 6/8 B, dengan B adalah variabel bebas.

42  Aplikasi SPL dalam bidang arus lallu lintas Pada suatu daerah terdapat jalan raya seperti gambar di bawah ini : Angka-angka yang terdapat pada gambar menyatakan jumlah kendaraan yang melintasi jalan. Dengan prinsip bahwa jumlah mobil yang masuk menuju ketitik persimpangan A, B, C dan D harus sama dengan jumlah yang, keluar, tentukan jumlah kendaraan pada x 1, x 2, x 3 dan x 4 !

43 Dengan demikian dapat ditulis SPLnya sebagai berikut : Titik persimpangan A: x = x Titik persimpangan B: x = x Titik persimpangan C: x = x Titik persimpangan D: x = x x 1 – x 2 = 50(1) x 2 – x 3 = –120 (2) x 3 – x 4 = –70 (3) x 1 – x 4 = – 140 (4)

44 Dengan menggunakan OBE dari matrik, diperoleh :

45 Hasil akhir SPL adalah konsisten dan mempunyai banyak himpunan penyelesaian. Jika diambil : x 4 = 420, maka : x 1 = 280 x 2 = 230 x 3 = 350

46  Aplikasi SPL dalam bidang komputer Menganalisa jaringan komputer. Prinsipnya : Aliran masuk = aliran keluar

47 Dengan menggunakan OBE Gauss-Jordan diperoleh : Hasil akhir menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan f 4 merupakan variabel bebas. Solusi umum : f 1 = 15 – t f 2 = 5 – t f 3 = 20 + t f 4 = t

48 Soal latihan : 1.Tentukan penyelesaian SPL Homogen berikut ini: 2x 1 – x 2 +3x 3 – x 4 = 0 x 1 +2x 2 – x 3 + 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 – 4x 3 + x 4 = 0 4x 1 –3x 2 – 2x 3 + 3x 4 = 0 2.Cari nilai x 1 dan x 2 dengan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel pada persamaan berikut ini: 7x 1 – x 2 = 6 x 1 – 5x 2 = –4 Bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang eksak (sesungguhnya).

49 3. Cari persamaan reaksi dari : NaHCO 3 + H 3 C 6 H 5 O 7 Na 3 C 6 H 5 O 7 + H 2 O + CO 2 4. Buatlah arah arus rangkaian listrik diagram di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari masing-masing arus tersebut.

50

51


Download ppt "SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google