Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB I VEKTOR DAN by Naniek - 2007 7 Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1. Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB I VEKTOR DAN by Naniek - 2007 7 Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1. Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks."— Transcript presentasi:

1

2 BAB I VEKTOR DAN MATRIKS

3 @copyright by Naniek Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1. Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks 2. Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian vektor ataupun matriks

4 @copyright by Naniek Pengantar Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta matriks, macam-macam vektor serta matriks kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks, kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, Transformasi Linear.

5 PENDAHULUAN V V EEEE KKKK TTTT OOOO RRRR M MM AAAA TTTT RRRR IIII KKKK SSSS

6 @copyright by Naniek Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan Contoh : pergerakan angin  menunjukkan laju dan arah Laju angin dan arah angin membentuk besaran vektor yang disebut : KECEPATAN Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah

7 @copyright by Naniek Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan arah vektor Panjang panah menentukan arah vektor Ujung panah disebut ttk ujung Maka vektor v = V = AB

8 @copyright by Naniek VEKTOR EKUIVALEN Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z

9 @copyright by Naniek OPERASI VEKTOR VEKTOR NOL Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O PENJUMLAHAN VEKTOR +

10 @copyright by Naniek VEKTOR NEGATIF Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan

11 @copyright by Naniek PENGURANGAN VEKTOR Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w) -

12 @copyright by Naniek PERKALIAN VEKTOR Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0

13 @copyright by Naniek MACAM-MACAM VEKTOR Vektor adalah larik berdimensi satu Vektor a dengan cacah n elemen ditulis : biasa disebut vektor kolom atau vektor saja dengan notasi ditulis: a = (a i )

14 @copyright by Naniek MACAM-MACAM VEKTOR VEKTOR NOL adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol VEKTOR BASIS adalah vektor dengan anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol

15 @copyright by Naniek SIFAT OPERASI VEKTOR Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku : u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u U + (-u) = 0 k (lu) = (kl) u K (u+v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 1.u = u

16 @copyright by Naniek NORMA SUATU VEKTOR Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan dinyatakan dengan ||u|| Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena

17 @copyright by Naniek HASIL KALI TITIK Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai :

18 @copyright by Naniek MENCARI SUDUT ANTAR VEKTOR Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0 Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0

19 MATRIKS Kompetensi Macam-macam Matriks Operasi Matriks

20 @copyright by Naniek Kompetensi Mahasiswa mampu: Mendefinisikan matriks Memberikan contoh macam-macam matriks Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian matriks.

21 @copyright by Naniek Pengantar Mengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya.

22 @copyright by Naniek MATRIKS Adalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom) Susunan elemen- elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan. Baris=m Kolom=n

23 @copyright by Naniek MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Nol –Adalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol. –O=(0) Matriks Bujur Sangkar –Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama –A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3,... n j = 1, 2, 3,... n

24 @copyright by Naniek MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Persegi Panjang –Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama. –A = (aij) dengan i = 1, 2,.. n j = 1, 2,.. m Matriks Diagonal –Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen- elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol –A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j aij = real untuk i = j

25 @copyright by Naniek MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Satuan (identitas) –Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol –A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j Matriks Segitiga Atas –Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real –A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j aij =  untuk i ≤ j,  ε Real

26 @copyright by Naniek MACAM-MACAM MATRIKS Matriks Transpose –Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom –A=(aij); A T =(aji) Matriks Simetris –Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama –A=A T ; maka A adalah matriks simetris

27 @copyright by Naniek OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS Operasi Perkalian Skalar Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian

28 @copyright by Naniek PERKALIAN DENGAN SKALAR K = 2 k A =

29 @copyright by Naniek PENJUMLAHAN MATRIKS A + B A = B = + = 3 6 +=612

30 @copyright by Naniek PENGURANGAN MATRIKS A - B A = B = - = -2 -=00

31 @copyright by Naniek PERKALIAN MATRIKS A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p Maka : A x B = (aij) x (bjk)

32 @copyright by Naniek PERKALIAN MATRIKS A B = = A x B = -4 4 x +x +x = x +x +x = 16 x +x + x = x xx x x x xxx = = =

33 @copyright by Naniek Program MATLAB (1) >> a=[ ; ; ; ] % membentuk matriks a = >> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b =

34 @copyright by Naniek >> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4 I = >> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a c = Program MATLAB (2)

35 @copyright by Naniek >> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a d = >> e=a' % Membentuk transpose matriks e = Program MATLAB (3)

36 @copyright by Naniek >> f=a+e % Mencari jumlahan matriks f = Program MATLAB (4)

37 @copyright by Naniek >> g=a*f % Mencari perkalian matriks g = >> j=inv(a) % Mencari invers matriks j = Program MATLAB (5)

38 @copyright by Naniek Rangkuman Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama. Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku. Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi

39 @copyright by Naniek Soal-soal (1) 1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3 2. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb: –Matriks bujur sangkar –Matriks diagonal –Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah 3. Berilah dua buah contoh matriks simetris

40 @copyright by Naniek Soal-soal (2) 4. Jika diketahui A = ; B = Hitunglah: A + B T ; B T – A; AB; BA.


Download ppt "BAB I VEKTOR DAN by Naniek - 2007 7 Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1. Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google