Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bab 1 Analisa Vektor. Notasi Vektor  Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = A x a x + A y a y + A z a z 

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bab 1 Analisa Vektor. Notasi Vektor  Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = A x a x + A y a y + A z a z "— Transcript presentasi:

1 Bab 1 Analisa Vektor

2 Notasi Vektor  Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = A x a x + A y a y + A z a z  Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai |A| =A=  Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh

3 Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan Aljabar Vektor A ± B = (A x a x + A y a y + A z a z ) ± (B x a x + B y a y + B z a z ) = (A x ±B x )a x + (A y ± B y )a y + (A z ± B z )a z Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlaku dalam aljabar vektor C = A+B=B+A ×A + (B + C) = (A + B) + C ×k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A ×A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C Komutatif Assosiatif

4 B Komutatif & Assosiatif Contoh : C= A+B=B+A Komunikatif Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+C Assosiatif B A A B C C C A B+C D=A+(B+C) A+B D=(A+B)+C A C

5  Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor  Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar) dari nilai vektor asli  Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila  Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif, yaitu a (A +B ) = aA + aB Perkalian Vektor dengan Skalar Contoh : B = aA a<0, B berlawanan A B = aA a > 0, B searah A

6  A B = AB cos  (dibaca sebagai "A titik B")  Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar  Perkalian titik adalah komutatif  Perkalian titik adalah distributif  Perkalian titik memenuhi perkalian skalar A.(B+C) = A.B + A.C Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor A.B = B.A A kB = k(A B) A B = A x B x + A y B y + A z B z di mana  adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan Contoh :

7  Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan.  Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif  Perkalian silang adalah distributif  = sudut antara A dan B yang lebih kecil. an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan B Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran skrup Perkalian Silang Dua Buah Vektor AX(B+C) = AXB + AXC AXB = -BXA Contoh :

8 Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen vektor akan menghasilkan, A x B = (A x a x + A y a y + A z a z ) x (B x a x + B y a y + B z a z ) = (A Y B Z – A z B z )a x + (A z B x - A x B z )a y + (A x B y – A y B x )a z Jika A = 2a x + 4a y – 3a Z dan B = a x – a y, carilah A B dan A x B ! Penyelesaian! Contoh :

9 Koordinat cartesian tidak cukup !!! Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola. Ilustrasi : Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat Koordinat cartesian= (x, y, z) koordinat silindris= (r, , z ) koordinat bola= (r, ,  ) Sistem koordinat

10 Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Buah Sistem Koordinat Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = A x a x + A y a y + A z a z (Cartesian) A = A r a r + A  a  + A z a z (Silindris) A = A r a r + A  a  + A  a  (Bola) Z Y X x y z A (x, y, z) Z X z Yr Z X z Y r A (r, φ, z) A (r, , z)A (r, ,θ)

11 . Bidang-bidang Permukaan Nilai Konstan untuk Tiga sistem Koordinat

12 Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah. Semua sistem merupakan sistem tangan kanan: ax x aY = aZ ar x a  = az ar x a  = a 

13 Koordinat cartesian – koordinat silinder Transformasi skalar antar sistem koordinat vektor dalam Cartesian : A = A x a x + A y a y + A z a z Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

14 Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik araaz ax.cos-sin0 ay.sin cos0 az.001 A r = (A x a x + A y a y + A z a z) a r A Φ = (A x a x + A y a y + A z a z ) a Φ A z = (A x a x + A y a y + A z a z ) a z

15 Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat bola vektor dalam Cartesian : A = A x a x + A y a y + A z a z Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

16 Dengan cara yang sama … araaz ax. Sin θ CosCos θ Cos-Sin ay.Cos θ Sin Cos az.Cos θ-Sin θ0 A r = (A x a x + A y a y + A z a z) a r A = (A x a x + A y a y + A z a z ) a A θ = (A x a x + A y a y + A z a z ) a θ Sin θ sin

17 Diferensial volume pada tiga sistem koordinat Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah, dS = (r d  )(r sin  d  ) = r2 sin  d  Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi, dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2d  2 + dz2 (Silindris) d12 = dr2 + r2d  2 + r2 sin2  d  2 (Bola)

18 Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)! Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya? Penyelesaian : Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6. Selanjutnya. C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az Magnituda C adalah Vektor satuannya adalah Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1

19 Hitunglah jarak antara (5,3  /2,0) dan (5,  /2,10) dalam koordinat silindris! Penyelesaian : Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b Panda gambar diperoleh : A = -5ay, B = 5ay + 10az Soal 2 Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik

20 Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az! Penyelesaian : A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya. Proyeksi A pada B = A B aBaB Proyeksi A pada B Jadi pada (2,2,1) Proyeksi A pada B = Soal 3

21 Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis    pada selubung bola dengan jari- jari r = r  ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika  = 0 dan  =  ? Penyelesaian : Diferensial elemen permukaan adalah [ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin  d  d  Selanjutnya, sehingga saat  = 0 dan  = , A = 4  r02, yang merupakan luas permukaan bola. Soal 4


Download ppt "Bab 1 Analisa Vektor. Notasi Vektor  Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = A x a x + A y a y + A z a z "

Presentasi serupa


Iklan oleh Google