Analisis Vektor.

Presentasi berjudul: "Analisis Vektor."— Transcript presentasi:

1 Analisis Vektor

2 Lingkup Bahasan Skalar dan Vektor Aljabar Vektor
Sistem Koordinat Persegi Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan Medan Vektor Hasil Kali Titik/Dot Product Hasil Kali Silang/Cross Product Sistem Koordinat Silinder Sistem Koordinat Bola

3 Skalar dan Vektor Perbedaan mendasar Aspek Skalar Vektor Besaran Ada
Arah Tidak ada

4 Skalar dan Vektor Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk panah. Panjang panah menyatakan besarnya vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor Ekor panah disebut titik awal dan ujung panah disebut titik terminal

5 Jika titik awal suatu vektor v adalah P dan titik terminalnya adalah Q, maka dapat dituliskan sbb:
Besaran vektor tersebut ditulis dalam bentuk: Vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama disebut vektor ekivalen (sama) misalnya Vektor nol merupakan vektor yang mempunyai besar 0

6 Aljabar vektor A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan
Jika A,B,C adalah vektor-vektor dan m,n skalar-skalar,maka: A+B=B+A Hukum komutatif penjumlahan A+(B+C)=(A+B)+C Hukum asosiatif penjumlahan mA=Am Hukum komutatif perkalian m(nA)=(mn)A Hukum asosiatif perkalian (m+n)A=mA+nA Hukum distributif m(A+B)=mA+mB Hukum distributif Hasil penjumlahan vektor juga merupakan vektor (sifat tertutup) 1A =A Sifat identitas 0A = 0, m0 = 0. Jika mA = 0, maka m=0 atau A = 0

7 Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dapat ditentukan dengan hukum jajargenjang seperti di bawah ini: v u u+v

8 Pengurangan Vektor Apabila pengurangan vektor maka caranya sama seperti penjumlahan namun vektor yang mengurangi dibalik arahnya B -B A A-B

9 Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

10 Komponen-komponen Vektor dan Vektor Satuan
Vektor komponen adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan salah satu sumbu koordinat Magnitudo/ besar vektor komponen ditentukan oleh vektor yang bersangkutan namun arahnya selalu diketahui dan bersifat konstan

11 Vektor x, y, dan z merupakan komponen dari vektor r berturut-turut dalam arah x, y, z seperti yang terlihat pada gambar ini

12 z z r x y y r=x+y+z x

13 Jumlah dari vektor-vektor komponen yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z membentuk suatu vektor sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor komponen merupakan penyusun suatu vektor

14 Vektor satuan Vektor satuan merupakan sebuah vektor yang besarnya satu dan arahnya sejajar sumbu koordinat Arah vektor satuan sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat Jika A adalah sebuah vektor yang besarnya A K0 maka A/A adalah sebuah vektor satuan yang arahnya sama dengan A

15 Besar vektor A yang dinyatakan dalam |A| dapat dihitung dengan persamaan:
Sehingga vektor satuan a dinyatakan: a= A |A|

16 Terminologi: Vektor posisi Fungsi vektor berdasar posisi
Fungsi skalar berdasar posisi Vektor posisi dengan titik awal di pusat koordinat O dan posisi di (x,y,z), dapat ditulis sebagai: dengan magnitude sebesar:

17 Contoh Soal 1. Cari sebuah vektor satuan yang sejajar resultan dari vektor-vektor r1=2i+4j-5k, r2=i+2j+3k Jawab: Resultan=r1+r2=(2i+4j-5k)+(i+2j+3k) =3i+6j-2k

18 Medan Skalar: Jika di masing-2 titik (x,y,z) di region R koresponding terhadap Φ(x,y,z), maka Φ disebut fungsi skalar terhadap posisi. Contoh: Temperatur pada setiap titik di muka bumi pada waktu tertentu merupakan fungsi medan skalar. Φ(x,y,z)= x3y-z2 adalah medan skalar

19 Medan Vektor Jika pada tiap-tiap titik (x,y,z) dari daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan. Medan vektor V merupakan fungsi vektor dari vektor kedudukan yang telah didefenisikan dalam R.

20 Dot product A . B = |A| |B| cos  Hukum-hukum yang berlaku:
A.B=B.A hukum komutatif A.(B+C)=A.B+A.C hukum distributif n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B).n i.i=j.j=k.k=1, i.j=j.k=k.i=0 Jika A.B=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B tegak lurus

21 Cross product A X B = |A| |B| sin  Hukum-hukum yang berlaku:
AxB=-BxA komutatif tak berlaku Ax(B+C)=AxB+AxC distributif m(AxB)= (mA)xB= Ax(mB)= (AxB)m ixi=jxj=kxk=0, ixj=k, jxk=i, kxi=j Jika AxB=0, A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar

22

23 Perbedaan Dot dan Cross
Aspek Dot Cross Fungsi trigonometri cos sin Hukum komutatif berlaku Tidak berlaku AxB=0 A dan B tegak lurus A dan B sejajar

24 Contoh Soal Diketahui F=2ax-5ay-4az dan G=3ax+5ay+2az. Carilah: (a)F.G (b)sudut antara F dan G Jawab a)F.G=(2ax-5ay-4az)(3ax+5ay+2az) =6-25-8 =-27 b)Sudut antara F dan G F.G = |F||G| cos 

25 Sistem Koordinat dalam Analisis Vektor
Ada 3 jenis koordinat yang digunakan dalam analisis vektor yaitu: 1. Koordinat Cartesius/Cartesian 2. Koordinat silinder 3. Koordinat bola

26 Sistem Koordinat Cartesian
Koordinat Cartesian digunakan untuk menyatakan benda yang mempunyai bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku Koordinat Cartesian yang digunakan dapat berupa: 1. 2 dimensi (terdiri dari sumbu x dan y saja) 2. 3 dimensi (terdiri dari sumbu x, y, z)

27 Sistem Koordinat Cartesian 2 Dimensi
Koordinat Cartesian 2 dimensi digunakan untuk menggambarkan objek 1 dimensi dan 2 dimensi Obyek 1 dimensi dapat berupa garis lurus ataupun garis lengkung Obyek 2 dimensi berupa bidang datar y x

28 Sistem Koordinat Cartesian 3 dimensi
Memakai tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, dan menamakannya sumbu X,Y dan Z. Z Y X

29 Sistem Koordinat Cartesian 3 Dimensi
Biasanya dipakai sistem koordinat putar kanan: perputaran sumbu x menuju sumbu y akan mengakibatkan sebuah sekrup berorientasi tangan kanan bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh sumbu z positif Koordinat Cartesian 3 dimensi digunakan untuk menggambar obyek berupa 1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi

30

31 Sistem Koordinat Silinder
Koordinat silinder atau koordinat tabung digunakan untuk menggambarkan obyek yang berbentuk lingkaran dengan simetri yang khas Terdapat 3 sumbu koordinat pada koordinat tabung: 1. sumbu  2. sumbu  3. sumbu z

32 Sistem Koordinat Silinder (cont’d)
Berikut ini gambar vektor pada koordinat silinder

33 Sistem Koordinat Silinder (cont’d)
Peubah dalam koordinat Cartesian dan koordinat tabung dapat ditemukan hubungan sebagai berikut: x= cos  y=  sin  z=z Atau sebaliknya:

34 Sistem Koordinat Silinder (cont’d)

35 Sistem Koordinat Bola Koordinat bola digunakan untuk menyatakan suatu objek yang mempunyai bentuk simetri bola. Contoh adalah medan listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik. Berdasarkan rumus: E=1/4πε0 qr2 Maka titik-titik yang berjari-jari sama akan mempunyai medan listrik yang sama. Posisi medan yang berada di sekitar muatan titik akan sulit dijelaskan dengan koordinat Cartesius maupun tabung karena bentuk medan yang bundar. Oleh karena itu digunakan sistem koordinat bola agar mudah dibayangkan. Untuk menyatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat yaitu r, ø dan 

36 Sistem Koordinat Bola (cont’d)
Penggambaran sistem koordinat bola

37 Mengubah Koordinat Kartesius ke Bola dan Sebaliknya
Dari kartesius ke bola: X=r sin  cos  Y=r sin  sin  Z=r cos  Dari bola ke kartesius r=x2+y2+z2 (r>0)

38

39

40 Contoh Soal Tanya: Nyatakan medan temperatur T=240+z2-2xy dalam koordinat tabung Jawab: Hubungan cartesian dan koordinat tabung X= cos  Y=  sin  maka T=240+z2-2 ( cos )( sin ) =240+z2- 2sin2

41 Penerapan Analisa Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari
Pengukuran yang lebih efektif dari sinyal RF seperti Bluetooth, GSM, or wireless networking Air traffic control untuk membantu navigasi pesawat terbang Pembedahan cacat mata astigmatisma

42 Referensi Hayt,William.H.”Elektromagnetika Edisi ke-7”.Erlangga
Spiegel, Murray R.1994.”Analisis Vektor”.Erlangga

43 SOAL PR, Tugas Individu, Kumpul 10 Februari 2011
Misalkan u = (1,2,3) v = (2,-3,1) w = (3,2,-1) carilah komponen vektor x yang memenuhi : 2u – v + x = 7x + w Misalkan u,v,w adalah vektor seperti soal 1, carilah skalar c1, c2 dan c3 sehingga : c1u + c2v + c3w = (6,14,-2) Hitunglah jarak antara P1(8,-4,2) dan P2 (-6,-1,0) Carilah semua skalar sehingga dimana v = (1,2,4)