Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

AKAR PERSAMAAN N ON L INIER Pertemuan Minggu ke 3 dan 4.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "AKAR PERSAMAAN N ON L INIER Pertemuan Minggu ke 3 dan 4."— Transcript presentasi:

1 AKAR PERSAMAAN N ON L INIER Pertemuan Minggu ke 3 dan 4

2 P ERSAMAAN N ON L INIER penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

3 P ERSAMAAN N ON L INIER

4 P ENYELESAIAN P ERSAMAAN N ON L INIER Metode Tertutup Mencari akar pada range [a,b] tertentu Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal x n dipakai untuk menghitung x n+1 Hasil dapat konvergen atau divergen

5 M ETODE T ERTUTUP Metode Biseksi Metode Regula Falsi

6 M ETODE T ERBUKA Metode Newton-Raphson Metode Secant.

7 T HEOREMA Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.

8 M ETODE B ISEKSI Ide awal metode biseksi ini membagi interval (range) menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

9

10 M ETODE B ISEKSI Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah ( a ) dan batas atas ( b ).Kemudian dihitung nilai tengah : Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a). f(b) < 0 Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

11 A LGORITMA B ISEKSI

12 C ONTOH S OAL Selesaikan persamaan x 2 – 5x + 4 = 0, dengan menggunakan range x = [0,3], maka diperoleh hasil sebagai berikut : f(0) = 4 f(3) = -2 Karena f(0).f(3) < 0, maka [0,3] memuat akar sehingga perhitungan dilanjutkan

13 f(1,5) = -1,25 f(0).f(1,5) < 0 sehingga [0;1,5] memuat akar. Dan seterusnya sampai diperoleh nilai f(xn) mendekati nol, sehingga dikatakan xn adalah akarnya.

14 T ABEL ITERASI UNTUK X ^2 – 5 X + 4 iterasiabxf(a)f(b)f(x)kesalahan 1031,54-2-1,25100,0000% 201,50,754-1,250, ,0000% 30,751,51,1250,8125-1,25-0, ,3333% 40,751,1250,93750,8125-0,359380, ,0000% 50,93751,1251,031250, , ,092779,0909% 60,93751,031250, , ,092770, ,7619% 70, ,031251, , , ,023382,3256% 80, , , , ,023380, ,1765% 90, , , , , ,005860,5848% 100, , , , ,005860, ,2933% 110, , , , , ,001460,1464% 120, , , , ,001460, ,0733% 130, , , , , ,000370,0366% 140, , , , ,000370, ,0183% 150, , , , , ,2E-050,0092% 160, , , , ,2E-054,58E-050,0046% 170, , , ,58E-05-9,2E-05-2,3E-050,0023%

15 C ONTOH 2 Tentukan akar dari

16 T ABEL PROSES ITERASI iterasiabxf(a)f(b)f(x) 10-0,5-1, , ,5-0,75-1,718280, , ,75-0,5-0,625-0,587750, , ,625-0,5-0,5625-0,167650, , ,625-0,5625-0, ,167650, , , ,5625-0, ,075140, , , ,5625-0, ,030620, , , ,5625-0, ,008780, , , , , ,008780, , , , , ,003360, , , , , ,000660, , , , , ,000660, ,28E , , , ,000661,28E-05-0,00032

17 Akar persamaannya adalah x = -0,5672

18 M ETODE R EGULA F ALSI metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. Dikenal dengan metode False Position

19 M ETODE R EGULA F ALSI

20

21 A LGORITMA M ETODE R EGULA F ALSI

22 C ONTOH S OAL Selesaikan persamaan x 2 – 5x + 4 = 0, pada range x= [0,3] abxf(a)f(b)f(x) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

23 LATIHAN Tentukan akar dari f(x) = x*exp(-x) + 1

24 M ETODE N EWTON R APHSON metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : X n+1 = x n -

25 M ETODE N EWTON R APHSON

26 A LGORITMA M ETODE N EWTON R APHSON 1. Definisikan fungsi f(x) dan f 1 (x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x 0 4. Hitung f(x 0 ) dan f ’ (x 0 ) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x i )|> e Hitung f(x i ) dan f 1 (x i ) 6. Akar persamaan adalah nilai x i yang terakhir diperoleh.

27 C ONTOH S OAL Selesaikan persamaan x - e -x = 0 dengan titik pendekatan awal x 0 =0 f(x) = x - e -x  f’(x)=1+e -x f(x 0 ) = 0 - e -0 = -1 f’(x 0 ) = 1 + e -0 = 2

28 C ONTOH S OAL f(x 1 ) = -0, dan f 1 (x 1 ) = 1,60653 x 2 = f(x 2 ) = -0, dan f 1 (x 2 ) = 1,56762 x 3 = f(x 3 ) = -1, Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan x = 0,

29 C ONTOH x - e -x = 0  x 0 =0, e =

30 C ONTOH : x + e -x cos x -2 = 0  x 0 =1 f(x) = x + e -x cos x - 2 f’(x) = 1 – e -x cos x – e -x sin x

31

32 P ERMASALAHAN PADA PEMAKAIAN METODE NEWTON RAPHSON Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F 1 (x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

33 P ERMASALAHAN PADA PEMAKAIAN METODE NEWTON RAPHSON Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian ( divergensi ). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

34 H ASIL T IDAK K ONVERGEN

35 P ENYELESAIAN P ERMASALAHAN PADA PEMAKAIAN METODE NEWTON RAPHSON 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, x i = x i dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. 2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

36 C ONTOH S OAL x. e -x + cos(2x) = 0  x 0 = 0, f(x) = x. e -x + cos(2x) f1(x) = (1-x) e -x – 2 sin (2x) F(x 0 ) = 1, F 1 (x 0 ) = -0, X = 71365,2 padahal dalam range 0 sampai dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1.

37

38 C ONTOH S OAL Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik. Digunakan pendekatan awal x 0 =0.5 x

39 C ONTOH S OAL Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]

40

41 C ONTOH Hitunglah akar dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e= Tebakan awal akar x 0 = 1 Penyelesaian Prosedur iterasi Newthon Raphson e-009 Akar terletak di x =

42

43 C ONTOH Tentukan bagaimana cara menentukan

44 M ETODE S ECANT Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f’(x). Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.

45

46 Metode Newton-Raphson

47 A LGORITMA M ETODE S ECANT : Definisikan fungsi F(x) Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| hitung y i+1 = F(x i+1 ) Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

48 C ONTOH S OAL Penyelesaian x 2 –(x + 1) e -x = 0 ?

49 C ONTOH K ASUS P ENYELESAIAN P ERSAMAAN N ON L INIER Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi non linier Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan, yang biasanya muncul dalam permasalahan sistem linier, bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen Penentuan titik potong beberapa fungsi non linier, yang banyak digunakan untuk keperluan perhitungan-perhitungan secara grafis.

50 P ENENTUAN N ILAI M AKSIMAL DAN M INIMAL F UNGSI N ON L INIER nilai maksimal dan minimal dari f(x)  memenuhi f’(x)=0. g(x)=f’(x)  g(x)=0 Menentukan nilai maksimal atau minimal  f”(x)

51 C ONTOH S OAL Tentukan nilai minimal dari f(x) = x 2 -(x+1)e -2x +1 nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2

52

53 M ENGHITUNG T ITIK P OTONG 2 B UAH K URVA x y y=f(x) y=g(x) p f(x) = g(x) atau f(x) – g(x) = 0

54 C ONTOH S OAL Tentukan titik potong y=2x 3 -x dan y=e -x akar terletak di antara 0.8 dan 1

55

56 S OAL (1) Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan F(x) = x 3 + 2x x – 20 = 0 Dan menemukan x = Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat dipecahkan dengan metode iterasi sederhana. Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu dengan memberikan sembarang input awal, tentukan x=g(x) yang mana yang menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.

57 S OAL (2) Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi ! Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih cepat ? Catat hasil uji coba abNe Iterasi Biseksi Iterasi Regula Falsi

58 S OAL (3) Tentukan nilai puncak pada kurva y = x 2 + e - 2x sin(x) pada range x=[0,10] Dengan metode newthon raphson


Download ppt "AKAR PERSAMAAN N ON L INIER Pertemuan Minggu ke 3 dan 4."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google