Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r 2 h. - f merupakan fungsi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r 2 h. - f merupakan fungsi."— Transcript presentasi:

1 Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r 2 h. - f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y: f(x,y) = x + y, x, y, f(x,y)  R - Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas (A) dilepaskan ke udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k, maka suhu (T) di titik (x,y,z) pada saat t > 0 adalah By Ratna Herdiana

2 Definisi: Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang domain D adalah suatu aturan pemetaan dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi dengan satu bilangan real(nyata) z=f(x,y)  R. Contoh1: Tentukan domain fungsi

3 Soal: Gambarkanlah pd bidang-xy domain dari Menentukan domain: - hindari akar bilangan negatif - hindari pembagian dengan 0 Range dari fungsi dua perubah membentuk suatu permukaan.

4 Fungsi2 dua variable umum diketahui dan dikenal: Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau adalah fungsi dari longitudinal dan ketinggian di atas permukaan air laut. Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x pada saat t dapat dimodelkan untuk selang waktu singkat sebagai f(x,t)=A sin(x) cos(t)

5 Visualisasi fungsi dua variabel sulit, dibutuhkan tehnik2 sistematis. Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui Tabel Plot daripada peta kontur Plot daripada irisan kurva permukaan Plot kurva permukaan

6 Peta Kontur Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c adl konstanta. Himpunan semua titik ( x,y ) dimana fgs bernilai c : {( x,y)| f(x,y) = c } disebut kurva tingkat dari fungsi f. Himpunan kurva2 tingkat disebut peta kontur.

7 Kontur dari f(x,y) = x + y

8 Soal: Gambarlah kurva tingkat z = k untuk nilai2 k yang diberikan:

9 Grafik 3-D dari

10 Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x 2 + y 2 dan peta konturnya

11 Review Turunan Untuk fungsi satu variabel f(x), turunan di titik x 0 didefinisikan Secara geometri f’(x), adalah kemiringan dari garis tangen (grs. singgung) f di x 0

12 Turunan Parsial Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan. Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis didefinisikan sbb.

13 Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis didefinisikan sbb. Contoh:

14 Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan. Persamaan y = b merepresentasikan bidang vertikal sejajar bidang xz, dan memotong permukaan z, garis potongnya membentuk kurva z= f(x,b) disebut kurva-x. Nilai dari turunan parsial f x (a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-x yang melalui P pada permukaan z = f(x,y). Hal yg sama, f y (a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-y yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

15 Menentukan bidang tangen pada permukaan Untuk fungsi dua variable, bidang tangen pada z=f(x,y) di titik ( x 0, y 0 ) adalah bidang yg melalui(menyinggung) titik ( x 0, y 0, f ( x 0, y 0 )), bidang tsb. menyentuh permukaan z hanya di satu titik. Definisi: Bidang tangen di titik P(a,b) pada permukaan z = f(x,y) adalah bidang yg melalui P dan memuat garis- garis tangen di P pada kurva- x dan kurva- y. Syarat: turunan parsial f x (x,y), f y (x,y) kontinu di daerah (cakram) sekitar (a,b). Persamaan bidang tangen pada permukaan z = f(x,y) di titik P(a,b, f(a,b)) adalah z – f(a,b) = f x (a,b) (x-a) + f y (a,b) (y-b)

16 Soal: Tulis persamaan bidang tangen pada paraboloida z = 5 – 2x 2 – y 2 di titik P(1,1,2) f x (x,y)= ? f y (x,y)= ? Solusi: z – 2=-4(x-1)-2(y-1)

17 Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel) Turunan parsial orde-tinggi

18 Titik ekstrim lokal Syarat perlu untuk ekstrim lokal Mis. f(x,y) mempunyai nilai lokal maximum atau nilai lokal minimum di titik ( a,b ) dan kedua turunan parsial f x (a,b) dan f y (a,b) ada. Maka Titik (a,b) disebut titik kritis

19 Contoh Cari titik tertinggi pada permukaan: z = f(x,y) = 2/3 x 3 + 4y 3 – x 4 – y 4 Jadi kemungkinan titik2 nya adalah: (0,0) atau (0,3) atau (2,0) atau (2,3). z(0,0) = 0; z(0,3) = 27 z(2,0) = 16/3; z(2,3) = 97/3 maksimum

20 Cari biaya minimum membuat kotak dengan volume 48 cm 3 jika untuk sisi depan dan belakang biayanya Rp100/cm 2, sisi atas dan bawah Rp 200/cm 2, dan dua sisi samping Rp 300/cm 2. volume: V = xyz = 48 Biaya membuat kotak: Selesaikan kedua persamaan ini y = 2, x = 6, z = 4 x y z

21 Mencari nilai maksimum dan minimum absolut dari f(x,y) di bidang R : 1. Tentukan titik2 kritis 2. Cari nilai2 ekstrim yg mungkin pada batas kurva C 3. Bandingkan nilai2 fungsi pada titik2 yg diperoleh dari langkah 1 dan 2

22 Cari nilai maksimum dan minimum global dari fungsi f(x,y) = xy – x – y + 3 dititik2 daerah segitiga R pada bidang-xy dg titik2 sudut (0,0), (2,0) dan (0,4) R x x  (0,0) (0,4) y

23 1. Titik kritis hanya satu : (1,1) 2. Periksa di titik2 pada batas kurva: - sepanjang tepi y = 0: f(x,0) = 3 - x, 0  x  2 Fungsi turun  ttk ekstrim di x = 0 dan x = 2. - Sepanjang tepi x= 0: f(0,y) = 3 – y, 0  y  4 Fungsi turun  ttk ekstrim di (0,0) dan (0,4) - Sepanjang tepi miring y = 4 - 2x  z = -2x 2 +5x –1, 0  x  2 z’ = -4x + 5 =0  x = 5/4. Titik2 ekstrim: (0,4), (5/4,3/2),(2,0)

24 PR: Cari titik tertinggi atau terendah dari permukaan z = f(x,y) berikut Cari nilai max. dan min. fungsi f(x,y) pada daerah bidang R yg diberikan

25 Syarat cukup bhw f(x,y) memp. titik ekstrim lokal. Mis. A = f xx (a,b) B = f xy (a,b) C = f yy (a,b)  = AC – B 2 (diskriminan) Teorema: f(x,y) mempunyai turunan orde-2 yg kontinu disekitar titik kritis (a,b) dimana f x (a,b) = 0 = f y (a,b). Maka: f(a,b) adl lokal min. f jika A > 0 dan  > 0; f(a,b) adl lokal max f jika A 0; f(a,b) bukan keduanya jika  < 0, f(a,b) disebut titik sadel. Jika  = 0, maka tes gagal, tdk ada kesimpulan. Contoh: f(x,y) = 3x –x 3 –3xy 2 (Ttk2 kritis: (1,0), (-1,0), (0,1) (0,-1) )

26 Aturan Rantai Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f ( x(t), y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial Contoh:

27 Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara dan variabel bebas. Aturan rantai menghasilkan:


Download ppt "Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r 2 h. - f merupakan fungsi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google