Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MODUL 4 : PENGGUNAAN TURUNAN Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MODUL 4 : PENGGUNAAN TURUNAN Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan1."— Transcript presentasi:

1 MODUL 4 : PENGGUNAAN TURUNAN Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan1

2 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan2 PENGGUNAAN TURUNAN, GRAFIK FUNGSI Perhatikanlah sketsa grafik berikut ini Dari grafik terlihat bahwa :  Grafik fungsi naik pada interval -3 4  Grafik fungsi turun pada interval x<-3, -20 f′(x)>0, f(x) naik singular stasioner

3 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan3 Titik Kritis Penggunaan Turunan Pertama Fungsi Naik/TurunUji Nilai Ekstrim Titik stasioner f′(c) = 0 Titik singular f′(c) tidak ada Titik ujung interval Batas interval (titik kritis) Fungsi Turun f′(x) < 0  f(x) turun Fungsi naik f′(x) > 0  f(x) naik x=c adalah titik kritis f(c) nilai maksimum x 0,x>c, f′(x)<0 f(c) nilai minimum x c, f′(x)>0 f(c) bukan ekstrim x 0,x>c, f′(x)>0 x c, f′(x)<0 Bab 4.1 Bab 4.2Bab 4.3

4 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan4 Contoh 1 Buatlah sketsa grafik f(x) =(x–2) 2/3 (x-6) 2 Jawab  Turunan pertama  Titik kritis (1) stasioner, f′(x) = 0, P(x)=0 adalah x1=3 dan x2=6 (2) singular, f′(x) tidak ada, Q(x)=0 adalah x3=2  Interval fungsi naik turun f′(x) ───┼───┼─────┼─── turun naik turun naik f(x) ───┼───┼─────┼─── Sketsa grafik  Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(3)= nilai maksimum (2) f(2) = 0, dan f(6) = 0 nilai minimum minimum, singularminimum, stasioner maksimum stasioner turun naik

5 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan5 CONTOH : f(x) = (x 2 – 2x – 24) 2/3 (x-2) 2

6 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan6 Contoh 2 Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2) 3 (x 2 -4x–11) Jawab  Turunan pertama f′(x)=5(x-2) 2 (x 2 -4x-5)  Titik kritis f′(x)=5(x-2) 2 (x 2 -4x-5) = 0 (x-2) 2 (x+1)(x-5) = 0 x1=-1, x2=x3=2, x4=5  Interval fungsi naik/turun f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 Sketsa Grafik  Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(–1)= 162 nilai maksimum (2) f(5)= -162 nilai minimum (3) f(2)=0 adalah titik belok minimum maksimum naik turun titik belok turun naik

7 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan7 (3) f(x) = (a – x) 3 (x 2 – (2a – b)x – 2ab) (4) f(x) = (x – b) 2 (x 2 – (2b – a)x – 2ab) TUGAS KHUSUS : Untuk soal-soal berikut ini, hitunglah : (a)Turunan Pertama (b)Titik kritisnya (c)Interval fungsi naik/turun (d)Nilai ekstrim dan jenis ekstrimnya (e)Sketsa grafiknya

8 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan8 Titik Belok/Balik Penggunaan Turunan Kedua Kecekungan GrafikUji Nilai Ekstrim Titik belok f′′(c) = 0 Titik balik f′′(c) tidak ada Batas kecekungan (titik belok) Fungsi cekung keatas f′′(x)>0  f(x) ck keatas Fungsi cekung kebawah f′′(x)<0  f(x) ck kebawah x=c adalah titik stasioner f(c) nilai maksimum f′(c)=0 dan f′′(x)<0 f(c) nilai minimum f′(c)=0, dan f′′(x) >0 uji gagal f(c) bukan ekstrim f′(x)=0,f′′(x)=0 Gunakan Uji turunan pertama

9 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan9 Contoh 3 Buat sketsa grafik : f(x) = 0,25(x-1) 2 (x 2 -2x–17) Jawab  Turunan pertama dan kedua f′(x)=(x–1)(x 2 -2x-8) f′′(x)=3(x 2 –2x–2)  Titik kritis f′(x)=(x-1) 2 (x 2 -2x-8) = 0 (x-1)(x+2)(x-4) = 0 x=-2, x=1, x=4  Interval fungsi naik/turun f′(x) ───┼────┼────┼─── turun naik turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –2 1 4  Titik belok f′′(x)=3(x 2 –2x–2) = 0 x1=1–  3 = -0,732; x2=1+  3 = 2,732  Kecekungan grafik f′′(x) ─────┼───────┼────── ,732 ck-keatas ck-kebawah ck keatas f(x) ──────┼───────┼────── -0,7321 2,732  Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan –2 0 ( + ) f(-2) =-20,25 minimum ( - ) f(1) = 0 maksimum ( + ) f(4) = -20,25 minimum

10 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan10 Sketsa Grafik contoh 3 maksimum minimum Titik belok cekung keatas cekung kebawah turun y x x=-2 x=1 x=4 naik turun cekung keatas x=-0,732 x=2,732 cekung keatas naik cekung kebawah turun cekung keatas

11 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan11 Contoh 4 Buat sketsa grafik : f(x) = (x-2) 3 (x 2 -4x–11) Jawab  Turunan pertama f′(x)=5(x-2) 2 (x 2 -4x-5) f′′(x)=10(x-2)(2x 2 -8x-1)  Titik kritis f′(x)=5(x-2) 2 (x 2 -4x-5) = 0 (x-2) 2 (x+1)(x-5) = 0 x=-1, x=2, x=5  Interval fungsi naik/turun f′(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5 naik turun turun naik f(x) ───┼────┼────┼─── –1 2 5  Titik belok f′′(x)=10(x-2)(2x 2 –8x–1) = 0 x1=–0.121; x2=2; x3 =  Kecekungan grafik f′′(x) ───┼─────┼─────┼──── ,121 k-bawah ck-atas ck-bawah ck-atas f(x) ────┼─────┼─────┼──── -0, ,121  Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan –1 0 ( + ) f(-1)=162 maksimum relatif ( 0 ) f(2)=0 uji gagal, titik belok ( + ) f(4)= -162 minimum relatif

12 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan12 Grafik contoh 4 cekung kebawah cekung kebawah cekung keatas cekung keatas titik belok maksimum minimum naik turun y x

13 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan13 Tugas Khusus : Penggunaan Turunan pertama dan kedua Untuk fungsi berikut ini, tentukanlah : (1)Turunan pertama dan turunan kedua (2)Titik kritis (3)Interval fungsi naik/turun (4)Titik belok (5)Kecekungan grafik (6)Uji Nilai Ekstrim (7)Sketsa grafik (a) f(x) = (x 2 – 5x – 6)(x – a) 3 (b) f(x) = (x – a) 4 (x 2 –4x – 12)

14 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan14 Model Matematika Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaian masalah nyata dengan pemodelan matematika adalah sebagai berikut: 1)Langkah 1 : Buatlah sebuah gambar untuk menjelaskan permasalahan, dan berikan variabel-variabel atau konstanta yang diperlukan. 2)Langkah 2 : Tentukan rumus untuk sebuah besaran yang akan dicari nilai ekstrimnya dengan variabel-variabel dan konstanta pada langkah 1. Jika perlu gunakan kondisi-kondisi permasalahan untuk menentukan rumus besaran yang merupakan fungsi satu variabel. 3). Langkah 3 : Gunakan turunan pertama untuk menentukan titik kritis, dan gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstrimnya. 4). Langkah 4 : Tariklah kesimpulkan dari langkah 3, untuk menyelesaikan permasalahan.

15 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan15 Contoh soal 1)Sebuah pabrik pengalengan ingin membuat kaleng berbentuk silinder lingkaran tegak yang mempunyai volume tetap. Tentukanlah perbandingan ukuran tinggi dan jari-jari alas agar material yang digunakan pabrik sehemat mungkin. 2)Sebuah pembangkit tenaga listrik, P, terletak di tepi sungai lurus lebarnya 400 m. Sebuah pabrik kimia, K, terletak diseberang sungai berjarak 1 km ke arah hilir dari titik A yang berseberangan langsung dengan pabrik. Pabrik kimia ingin membangun suatu jaringan listrik yang menghubungkan pabrik dengan pembangkit tenaga listrik. Apabila biaya pemasangan kabel listrik per seratus meter, di bawah permukaan air lebih mahal 25 persen dari pada biaya pemasangan di darat. Tentukanlah jalur pemasangan kabel yang paling hemat. 3) Sebuah balok kayu persegi panjang dipotong dari sebuah gelondong kayu dengan penampang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan pangkat tiga tebalnya, tentukanlah ukuran balok yang memberikan kekuatan paling kuat.

16 Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan16 4.Asumsikan, x : menyatakan rata-rata jumlah listrik yang bisa dihemat per hari dan, f(x) : biaya yang harus dibayarkan. Jika fungsi biayanya adalah Dengan uji turunan kedua berapakah rata-rata listrik yang harus dihemat per harinya, agar supaya biayanya minimum. Catatan : soal ini hanya ditanya nilai ekstrimnya saja. 5.Diberikan fungsi biaya total, TC = Q 3 – 3(a+b)Q 2 + 3a(a+2b)Q + 4(a+b) 3. Dengan uji turunan pertama dan turunan kedua, tentukanlah : a.Output Q yang meminimalkan biaya total, dan berapakan biaya minimal tersebut. b.Output Q yang meminimalkan biaya total rata-rata (AC = TC/Q), dan berapakah biayaminimal tersebut.

17 Limit Bentuk Tak Tentu Fungsi f(x)/g(x) dikatakan mempunyai bentuk tak tentu di x=a, jika f(a)=0/  dan g(a)=0/ , yakni : Bentuk tak tentu di x=a Misalkan, adalah bentuk tak tentu di x=2 Rumus 1. Jika, Contoh :

18 Contoh Hitunglah, Jawab, L’H LH Contoh Hitunglah, Jawab, L’H

19 Rumus 2. Jika, Contoh, L’H Contoh : L’H

20 Bentuk Tak Tentu Lainnya Rumus 3. Jika, Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah, Mengingat : (0.  ) L’H

21 Rumus 4. Jika, Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah, Mengingat, L’H

22 Contoh : (  –  ) (  –  ) L’H

23 Rumus 5 : Jika : (0.  )

24 Contoh : Hitunglah, Jawab Jadi, L’H

25 Contoh : Hitunglah, Mengingat, Jadi, L’H

26 Contoh : Hitunglah, Mengingat, L’H

27 Soal-soal latihan


Download ppt "MODUL 4 : PENGGUNAAN TURUNAN Kalkulus PrayudiModul VI Penggunaan Turunan1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google