Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II 1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II 1."— Transcript presentasi:

1 Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II 1

2 DEFINISI NILAI EKSTRIM Jika f(x,y) ≤ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai maksimum lokal. Jika f(x,y) ≥ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai minimum lokal. Jika definisi di atas berlaku untuk semua (x,y) dalam Df maka f mempunyai maksimum mutlak (minimum mutlak) di (a,b). 2

3 DEFINISI TITIK KRITIS Titik (a,b) disebut titik kritis, bila: f x (a,b) = 0 atau f x (a,b) tidak ada f y (a,b) = 0 atau f y (a,b) tidak ada Teorema (Uji Turunan Pertama) : Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial orde satu di (a,b) ada, maka f x (a,b) dan f y (a,b) = 0. 3

4 TEOREMA (UJI TURUNAN KEDUA) Misal turunan parsial kedua dari f kontinu pada cakram dengan pusat (a,b) dan misalkan f x (a,b) dan f y (a,b) = 0. D = D(a,b) = f xx (a,b) f yy (a,b) – [f xy (a,b)] 2 Jika D > 0 dan f xx (a,b) > 0, maka f(a,b) min lokal. Jika D > 0 dan f xx (a,b) < 0, maka f(a,b) mak lokal Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal. 4

5 CATATAN Pada saat D < 0 maka f(a,b), titik (a,b) disebut titik pelana f. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan. Dimana, 5

6 Contoh Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi 6

7 Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi Tentukan ukuran dari suatu kotak persegi panjang tanpa tutup yang mempunyai volume 32 dm 3, sehingga dapat meminimumkan banyaknya material yang digunakan untuk membuat kotak tersebut. 7

8 NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM MUTLAK (SELANG TERTUTUP) Teorema (Nilai Ekstrim Fungsi DuaVariabel) Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas, D  R 2, maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(x 1,y 1 ) di (x 1,y 1 )  D dan mencapai nilai minimum mutlak f(x 2,y 2 ) di (x 2,y 2 )  D. 8

9 9 Langkah-langkah mencari maksimum dan minimum mutlak fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas : 1. Tentukan titik kritis dalam D. 2. Tentukan nilai ekstrim f pada perbatasan D. 3. f(x 0,y 0 ) terbesar  maksimum mutlak. f(x 0,y 0 ) terkecil  minimum mutlak. CATATAN : Himpunan terbatas dalam R 2 adalah himpunan yang memiliki jangkauan berhingga. Himpunan tertutup dan tidak tertutup Tertutup Tidak tertutup -5 < x < 3 1 < y < 6 -5 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 6

10 10 Contoh 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak pada D f(x,y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4, D = {(x,y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

11 Definisi nilai ekstrim relatif di atas dapat diperluas untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Jika f fungsi tiga variabel, maka: f mempunyai nilai maksimum relatif di titik (x 0,y 0,z 0 ), jika f(x 0,y 0,z 0 ) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x 0,y 0,z 0 ) f mempunyai nilai minimum relatif di titik (x 0,y 0,z 0 ), jika f(x 0,y 0,z 0 ) f(x,y,z) untuk setiap titik (x,y,z) di dalam bola dengan pusat (x 0,y 0,z 0 ). Jika f mempunyai nilai ekstrim relatif pada titik (x 0,y 0,z 0 ) dan turunan parsial pertama dari f ada pada titik (x 0,y 0,z 0 ), maka 11


Download ppt "Nilai Maksimum dan Minimum untuk Fungsi Multi Variabel Penyusun: Tim Dosen Kalkulus II 1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google