Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

LOGO Model Berpangkat Tidak Penuh (MODEL ANOVA)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "LOGO Model Berpangkat Tidak Penuh (MODEL ANOVA)"— Transcript presentasi:

1 LOGO Model Berpangkat Tidak Penuh (MODEL ANOVA)

2 LOGO Materi kuliah model linier – Contents Formulasi Model 1 Estimasi Parameter 2 Reparameterisasi 3 Estimabilitas 4 5

3 LOGO Formulasi Model Model full rank: Sehingga E(e) = 0, dan E(y) = X . Setiap elemen e diasumsikan memiliki varians  2 dan covarians 0, sehingga: Persamaan normal berdasarkan model diatas dapat diselesaikan dengan OLS, sehingga didapat persamaan: Materi kuliah model linier –

4 LOGO Formulasi Model Model full rank: Nonsingular/Full rank  Bagaimana jika X’X tidak full rank? Materi kuliah model linier – Estimasi dilakukan dengan G-Inverse sehingga solusi tidak unik

5 LOGO Formulasi Model Contoh: Terdapat 3 metode diet, berikut adalah data 6 orang sampel yang didata rata-rata penurunan berat badan, setelah sebulan melakukan diet. Materi kuliah model linier – Obs Penurunan Berat Badan (Kg) Metode 1Metode 2Metode 3 Member 1487 Member Member

6 LOGO Formulasi Model Contoh pada tabel diatas, y ij adalah jumlah penurunan berat badan (dalam kg) berdasarkan metode ke-i dan pengamatan ke-j, dimana j = 1,2, …,n i Yang harus dilakukan adalah mengestimasi efek metode diet pada hasil penurunan berat badan. Untuk itu, diasumsikan observasi y adalah: Dimana  adalah rata-rata populasi dari besarnya penurunan berat badan,  i adalah efek dari metode diet terhadap penurunan berat badan, dan  ij adalah random error. Materi kuliah model linier –

7 LOGO Formulasi Model Untuk membangun persamaan normal, dapat dituliskan sbb: 4 =  +  1 +  11 6 =  +  1 +  12 4 =  +  1 +  13 8 =  +  2 +  =  +  2 +  22 7 =  +  3 +  31 Dan akan lebih mudah jika dituliskan dalam bentuk matriks: Dengan Materi kuliah model linier –

8 LOGO Estimasi Parameter Model Jika X bukan matriks Full Rank, maka X’X juga tidak Full Rank, Akibatnya: Akan memiliki solusi yang tidak unik. Langkah yang diambil:  Reparameterisasi (a Possible solution)  Conditional Inverse/G-Inversesee part G-Inverse Materi kuliah model linier –

9 LOGO Estimasi Parameter Model Teorema (1): Misal Ax = g konsisten, dan X = A c g adalah sebuah solusi dari sistem, dan A c adalah conditional inverse dari A, maka: AA c AX = AX AA c g = g; X 0 = A c g AX 0 = g Analog dengan persamaan diatas: Materi kuliah model linier –

10 LOGO Estimasi Parameter Model Teorema (2): Misal Ax = g konsisten, dan A c adalah conditional inverse dari A, maka: X 0 = A c g + (I – A c A)z Dimana z adalah sembarang vektor px1. Bukti: Analog dengan persamaan diatas: Jika z = 0, maka teorema (1) dapat digunakan. Materi kuliah model linier –

11 LOGO Estimasi Parameter Model Teorema (3): Misal Ax = g konsisten, dan A c adalah conditional inverse dari A. Jika X 0 adalah salah satu solusi dari sistem, maka: X 0 = A c g + (I – A c A)z Dimana z = (I – A c A)X 0 Bukti: Analog dengan persamaan diatas: dimana z = [ I – (X’X) c (X’X) ] b 0 Materi kuliah model linier –

12 LOGO Reparameterisasi Model yang terbentuk pada contoh: ; i = 1, 2, 3 j = 1, 2, …, n i X old is less then full rank Dilakukan reparameterisasi menghasilkan model baru: ; i = 1, 2, 3 j = 1, 2, …, n i X new is full rank dan estimasi parameter bisa dilakukan Materi kuliah model linier –

13 LOGO Estimasi Varians Pada Model Full Rank, unbiased varians  2 diestimasi dg: Sehingga mengikuti distribusi chi- Squared dengan df = n – r. Materi kuliah model linier – Not full rank

14 LOGO Beberapa Konsekuensi EXPECTED VALUES: E(b) = E(GX’y) = GX’ E(y) = GX’Xb = Hb Dengan G = (X’X) c dan H = GX’X Sehingga b unbiased estimator dari Hb, bukan dari b VARIANS: var (b)= var (GX’y) = GX’ var(y) XG’ = GX’XG’  Materi kuliah model linier –

15 LOGO Estimability Pada Model tidak berpangkat penuh,  tidak dapat diestimasi secara unik. Banyak pilihan solusi dari (X’X) c, akibatnya banyak kemungkinan bentuk persamaan normal. Definisi: Misalkan y = X  + , dimana X nxp dengan rank r  p, E(  )=0, dan var  =  2 I. Fungsi t’  dikatakan estimable jika terdapat vektor c sedemikian hingga E(c’y) = t’  Teorema: Misalkan y = X  + , dimana X nxp dengan rank r  p, E(  )=0, dan var  =  2 I. Kondisi yang harus dipenuhi supaya t’  estimable adalah jika solusi sistem persamaan (X’X)z = t eksis. Materi kuliah model linier –

16 LOGO Theorem of Estimability Misal y = X  +  dimana X nxp dengan rank r  p, E(  )=0, dan var  =  2 I. Fungsi t’  dikatakan estimable jika dan hanya jika: t’(X’X) c (X’X) = t’ Dengan (X’X) c adalah suatu conditional inverse. Lemma: Jika y = X  + , dimana X nxp dengan rank r  p, E(  )=0, dan var  =  2 I. Best Linear Unbiased Estimate untuk t’  = z’X’Y, dimana z’ adalah solusi dari persamaan (X’X) z = t. Bukti : Myers, page Materi kuliah model linier –

17 LOGO Gauss Markoff Theorem Misal y = X  +  dimana X nxp dengan rank r  p, E(  )=0, dan var  =  2 I. Jika t’  estimable, kemudian salah satu solusi dari (X’X)z = t memberikan estimasi yang sama untuk t’ . Sehingga Best Linear Unbiased Estimate (BLUE) adalah t’b dimana b adalah salah satu solusi dari persamaan normal. Bukti: Misalkan z 0 dan z 1 adalah solusi dari sistem (X’X)z = t, sehingga (X’X)z 0 = t dan (X’X)z 1 = t Danz 0 ’ (X’X) = z 1 ’ (X’X) = t’ Note: Materi kuliah model linier –

18 LOGO Properties of Estimability POIN PENTING TENTANG ESTIMABILITAS  Pada model tidak berpangkat penuh, pusat perhatian ada pada fungsi estimable yaitu t’   Fungsi estimable dapat diestimasi secara unik (tunggal)  Estimasi unik (tunggal) untuk fungsi tersebut adalah t’b dimana b adalah suatu solusi dari persamaan normal  t‘b adalah Best Linear Unbiased Estimator (BLUE terhadap t’  Materi kuliah model linier –

19 LOGO Estimasi Interval Sesuai dengan teori estimabilitas, bahwa kombinasi linier t’  merupakan fungsi yang estimable, maka estimasi interval dari t’  diberikan oleh: Sebelumnya:  cari distribusi dari t’b  buktikan bahwa antara t’b dan SSres/  2 independen Materi kuliah model linier –

20 LOGO


Download ppt "LOGO Model Berpangkat Tidak Penuh (MODEL ANOVA)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google