Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Suryadi MT Struktur Diskrit 1 FUNGSI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-8.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 FUNGSI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-8."— Transcript presentasi:

1 Suryadi MT Struktur Diskrit 1 FUNGSI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-8

2 Suryadi MT DEFINISI FUNGSI Relasi biner f dari himp A ke himp B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Notasi : Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B. Struktur Diskrit 2

3 Suryadi MT DEFINISI FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Struktur Diskrit 3

4 Suryadi MT DEFINISI Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. Struktur Diskrit 4

5 Suryadi MT DEFINISI Fungsi adalah relasi yang khusus: Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c. Struktur Diskrit 5

6 Suryadi MT Penyajian Fungsi Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x 2, dan f(x) = 1/x. Kata-kata, Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. Struktur Diskrit 6

7 Suryadi MT Penyajian Fungsi Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; Struktur Diskrit 7

8 Suryadi MT Contoh 1: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Struktur Diskrit 8

9 Suryadi MT Contoh 2: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}. Struktur Diskrit 9

10 Suryadi MT Contoh 3: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Struktur Diskrit 10

11 Suryadi MT Contoh 4: Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Struktur Diskrit 11

12 Suryadi MT Contoh 5: Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x 2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif. Apakah f merupakan fungsi ? Struktur Diskrit 12

13 Suryadi MT DEFINISI Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to- one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Struktur Diskrit 13

14 Suryadi MT Contoh 6: Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u. Struktur Diskrit 14

15 Suryadi MT Contoh 7: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu ? Struktur Diskrit 15

16 Suryadi MT Jawab Contoh 7: a. f(x) = x adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, maka a – 1  b – 1. Misal untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3. Struktur Diskrit 16

17 Suryadi MT DEFINISI Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dpl, seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. Struktur Diskrit 17

18 Suryadi MT Contoh 8: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Struktur Diskrit 18

19 Suryadi MT Contoh 9: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada ? Struktur Diskrit 19

20 Suryadi MT Jawab Contoh 9: a. f(x) = x adalah bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1. Struktur Diskrit 20

21 Suryadi MT FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f dikatakan bijektif (bijection) jika f : fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh 10 : Relasi f = {(1, v), (2, w), (3, u)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang bijektif, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Struktur Diskrit 21

22 Suryadi MT Contoh 11: f : Z  Z. Fungsi didefinisikan f(x) = x – 1 apakah f merupakan fungsi bijektif ? Jawab : f merupakan fungsi bijektif karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Struktur Diskrit 22

23 Suryadi MT FUNGSI INVERS Jika f adalah fungsi bijektif dari A ke B, maka kita dapat menemukan fungsi invers dari f. Invers dari fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. Struktur Diskrit 23

24 Suryadi MT FUNGSI INVERS Fungsi yang bijektif sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi invers-nya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang bijektif, karena fungsi inversnya tidak ada. Struktur Diskrit 24

25 Suryadi MT Contoh 12: Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang bijektif. Invers fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} merupakan fungsi. Jadi, f adalah fungsi invertible. Struktur Diskrit 25

26 Suryadi MT Contoh 13: Tentukan fungsi invers dari f(x) = x + 1. Jawab : Fungsi f(x) = x +1 adalah fungsi yang bijektif, jadi fungsi inversnya tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 1, maka x = y – 1  f -1 (y) = y – 1. Jadi, fungsi inversnya adalah f -1 (x) = x – 1. Struktur Diskrit 26

27 Suryadi MT Fungsi Komposisi Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f  g)(a) = f(g(a)) Struktur Diskrit 27

28 Suryadi MT Contoh 14 : Diberikan fungsi g : A  B dengan g = {(1, u), (2, v), (3, v)}, A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w}, serta fungsi f : B  C dengan f = {(u, y), (v, x), (w, z)}, B = {u, v, w} dan C = {x, y, z}. Maka Fungsi komposisi dari A ke C adalah f  g = {(1, y), (2, x), (3, x) } Struktur Diskrit 28

29 Suryadi MT Contoh 15 : Diberikan suatu fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x Tentukan f  g dan g  f. Penyelesaian: (i) (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x – 1 = x 2. (ii) (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1) = x 2 – 2x + 2. Struktur Diskrit 29

30 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x:  x  menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Struktur Diskrit 30

31 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus Fungsi ceiling dari x:  x  menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dpl, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas. Struktur Diskrit 31

32 Suryadi MT Contoh 16 : Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:  3.5  = 3  3.5  = 4  0.5  = 0  0.5  = 1  4.8  = ….  4.8  = ….  – 0.5  = ….  – 0.5  = ….  –3.5  = ….  –3.5  = …. Struktur Diskrit 32

33 Suryadi MT Contoh 17 : Pada komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 132 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah : Bahwa 17  8 = 136 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 4 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits). Struktur Diskrit 33  132/8  = 17 byte.

34 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Struktur Diskrit 34

35 Suryadi MT Contoh 18 : Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = mod 10 = … 0 mod 5 = …. –25 mod 7 = …. (sebab –25 = 7  (–4) + 3 ) Struktur Diskrit 35

36 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 3. Fungsi Faktorial Struktur Diskrit 36

37 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 4. Fungsi Eksponensial Untuk kasus perpangkatan negatif, Struktur Diskrit 37

38 Suryadi MT Beberapa Fungsi Khusus 5. Fungsi Logaritmik berbentuk Struktur Diskrit 38

39 Suryadi MT Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n. Struktur Diskrit 39

40 Suryadi MT Fungsi Rekursif Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b) Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus menuju ke nilai awal (basis). Struktur Diskrit 40

41 Suryadi MT Contoh 19 Basis : n! = 1Jika n = 0 Rekurens : n! = n x (n-1)!Jika n > 0 Struktur Diskrit 41

42 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 42 Algoritma Faktorial dari n Fakt (n) IF n < 1 THEN Fakt  1 ELSE Fakt  n * Fakt (n -1) END IF;

43 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 43 Simulasi Kasus 1 : 4!....? * * *

44 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 44 Algoritma Iteratifnya Faktorial dari n INPUT n fak  1 FOR j = 1 TO n fak  fak + j NEXT J OUTPUT fak

45 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 45 Contoh 20 : Jumlah n suku pertama bilangan Asli sum (n) IF n < 2 THEN sum  1 ELSE sum  n + sum (n -1) END IF;

46 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 46 Algoritma Iteratifnya INPUT n s  0 FOR i = 1 TO n s  s + i NEXT i OUTPUT s

47 Suryadi MT Struktur Data & Algoritma - Rekursif 47 Algoritma Iteratifnya Dengan pwngulangan WHILE-DO INPUT n s  0 i  1 WHILE i ≤ n DO s  s + i i  i + 1 END WHILE OUTPUT s

48 Suryadi MT Contoh 21 : Contoh lain fungsi rekursif Struktur Diskrit 48

49 Suryadi MT Contoh 22 : Fungsi Fibonacci : f(6) = ? f(40) = ? Berapa kali pemanggilan fungsi rekursifnya ? Struktur Diskrit 49

50 Suryadi MT Struktur Diskrit 50 Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung.


Download ppt "Suryadi MT Struktur Diskrit 1 FUNGSI Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia STRUKTUR DISKRIT K-8."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google