Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Relasi. 2 Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Relasi. 2 Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara."— Transcript presentasi:

1 Relasi

2 2 Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota keduanya diambil dari B. Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi biner. Definisi. Misalkan A dan B himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari A  B. Untuk relasi biner R berlaku R  A  B. Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)  R dan aRb untuk menyatakan (a,b)  R. Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

3 3 Contoh 1 Misalkan O himpunan orang, A himpunan angkutan kota, dan N relasi yang mendeskripsikan siapa yang menaiki angkot tertentu. O = {Aang, Bida, Charlie, Dina}, A = {Cicaheum-Ledeng (CL), Kelapa-Dago (KD), Stasiun- Sadang Serang (SS)} N = {(Aang, CL), (Bida, CL), (Bida, KD), (Charlie, SS)} Artinya Aang naik Cicaheum-Ledeng, Bida naik Cicaheum-Ledeng dan Kelapa-Dago, Charlie naik Stasiun-Sadang Serang, dan Dina tidak menaiki salah satu dari angkot tersebut.

4 4 Fungsi sebagai Relasi Fungsi f dari A ke B memasangkan tepat satu anggota B pada setiap anggota A. Graf dari f adalah himpunan pasangan terurut (a,b) sehingga b = f(a). Karena graf dari f merupakan subhimpunan dari A  B, maka graf merupakan relasi dari A ke B. Untuk setiap a  A, terdapat tepat satu pasangan terurut di dalam graf dengan a sebagai anggota pertama. Sebaliknya, jika R suatu relasi dari A ke B sehingga setiap anggota A merupakan anggota pertama dari tepat satu pasangan terurut di R, maka dapat didefinisikan suatu fungsi dengan R sebagai grafnya. Ini dilakukan dengan memasangkan pada setiap anggota a  A tepat satu b  B sehingga (a, b)  R. Relasi adalah perumuman dari fungsi.

5 5 Relasi pada Himpunan Definisi. Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari A  A. Contoh 2. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapat dalam relasi R = {(a, b) | a < b} ? Solusi. R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

6 6 R XXX XX X Contoh 2…

7 7 Banyaknya Relasi pada Himpunan Ada berapa relasi berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A dengan n anggota? Suatu relasi pada A adalah subhimpunan dari A  A. Ada berapa anggota A  A ? Terdapat n 2 anggota A  A Ada berapa subhimpunan dari A  A? Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota adalah 2 m. Jadi, ada 2 n 2 subhimpunan dapat dibentuk dari A  A. Sehingga, dapat didefinisikan 2 n 2 relasi berbeda pada A.

8 8 Sifat Relasi Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)  R untuk setiap anggota a  A. Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} refleksif? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}Tidak. R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}Ya. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}Tidak. Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (b,a)  R setiap kali (a,b)  R untuk setiap a,b  A. Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris jika a = b setiap kali (a,b)  R dan (b,a)  R.

9 9 Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} simetris atau antisimetris? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}simetris R = {(1, 1)} simetris & antisimetris R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}antisimetris R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)}antisimetris Contoh 3

10 10 Definisi. Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)  R dan (b,c)  R, maka (a,c)  R untuk a,b,c  A. Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} transitif? R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}Ya. R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}Tidak. R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)}Tidak. Sifat Relasi (2)

11 11 Menghitung Relasi Ada berapa banyak relasi refleksif yang berbeda yang dapat didefinisikan pada himpunan A yang memuat n anggota? Solusi. Relasi pada A adalah subhimpunan dari A  A, yang memuat n 2 anggota. Jadi, relasi yang berbeda pada A dapat dibangun dengan memilih subhimpunan yang berbeda dari n 2 anggota, sehingga terdapat 2 n 2 relasi. Namun, suatu relasi refleksif harus memuat n anggota (a,a) untuk setiap a  A. Konsekuensinya, kita hanya dapat memilih di antara n 2 – n = n(n – 1) anggota untuk membangun relasi refleksif, sehingga terdapat 2 n(n – 1) relasi.

12 12 Kombinasi Relasi Relasi adalah himpunan, sehingga operasi himpunan dapat diaplikasikan. Jika ada dua relasi R 1 dan R 2, dan keduanya dari himpunan A ke himpunan B, maka terdapat kombinasi R 1  R 2, R 1  R 2, atau R 1 – R 2 yang merupakan suatu relasi dari A ke B. Definisi. Misalkan R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C. Komposisi dari R dan S adalah relasi yang memuat himpunan terurut (a,c), dengan a  A, c  C, di mana terdapat anggota b  B sehingga (a,b)  R dan (b,c)  S. Komposisi dari R dan S dinotasikan oleh S  R. Jika relasi R memuat pasangan (a, b) dan relasi S memuat pasangan (b,c), maka S  R memuat pasangan (a,c).

13 13 Contoh. Misalkan D dan S relasi pada A = {1, 2, 3, 4}. D = {(a, b) | b = 5 - a} “b sama dengan (5 – a)” S = {(a, b) | a < b} “a lebih kecil dari b” D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} S  D = { D memetakan suatu anggota a ke anggota (5 – a), dan setelah itu S memetakan (5 – a) pada semua anggota yang lebih besar dari (5 – a), yang menghasilkan S  D = {(a,b) | b > 5 – a} atau S  D = {(a,b) | a + b > 5}. (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} Contoh 4

14 14 Kuasa dari Relasi Definisi. Misalkan R relasi pada himpunan A. Kuasa R n, n = 1, 2, 3, …, didefinisikan secara induktif R 1 = R R n+1 = R n  R Dengan kata lain: R n = R  R  …  R (sebanyak n kali) Teorema. Relasi R pada A transitif jika dan hanya jika R n  R untuk setiap bilangan bulat positif n.

15 15 Representasi Relasi Beberapa cara untuk merepresentasikan relasi: e.g., pasangan terurut. Dua cara: matriks nol-satu dan graf beraraf (digraf). Jika R relasi dari A = {a 1, a 2, …, a m } ke B = {b 1, b 2, …, b n }, maka R dapat direpresentasikan oleh matriks nol-satu M R = [m ij ] dengan m ij = 1, jika (a i,b j )  R, dan m ij = 0, jika (a i,b j )  R. M R merupakan matriks bujursangkar.

16 16 Representasi Relasi dengan Matriks Contoh. Bagaimana merepresentasikan relasi R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} sebagai matriks nol-satu ? Solusi. Matriks M R diberikan oleh

17 17 Matriks yang merepresentasikan relasi refleksif? Setiap elemen diagonal dari matriks M ref haruslah 1. Sifat Matriks Representasi Relasi Matriks yang merepresentasikan relasi simetris? Matriksnya juga simetri, yaitu M R = (M R ) t. matriks simetri, relasi simetris. matriks tak-simetri, relasi tak-simetris.

18 18 Misalkan relasi R dan S direpresentasikan oleh matriks Apakah matriks yang merepresentasikan R  S and R  S? Solusi: Matriks-matriks tersebut adalah Operasi pada Matriks Representasi

19 19 Hasil kali Boolean Misalkan A = [a ij ] matriks nol-satu m  k and B = [b ij ] matriks nol-satu k  n. Maka hasil kali Boolean dari A dan B, dinotasikan oleh A  B, adalah matriks m  n dengan entri ke-(i, j) [c ij ], dengan c ij = (a i1  b 1j )  (a i2  b 2i )  …  (a ik  b kj ). c ij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari (a in  b nj ) = 1 untuk suatu n; selain itu c ij = 0.

20 20 Matriks komposit Misalkan diasumsikan bahwa matriks nol-satu M A = [a ij ], M B = [b ij ] dan M C = [c ij ] mrepresentasikan matriks A, B, dan C. Untuk M C = M A  M B : c ij = 1 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari bentuk (a in  b nj ) = 1 untuk suatu n; selain itu c ij = 0. Dalam bahasa relasi, ini berarti C memuat (x i, z j ) jika dan hanya jika terdapat elemen y n sehingga (x i, y n ) anggota relasi A dan (y n, z j ) anggota relasi B. Jadi, C = B  A (komposisi dari A dan B).

21 21 Komposisi dan Komposit Ini memberikan aturan berikut: M B  A = M A  M B Jadi, matriks yang merepresentasikan komposisi dari relasi A dan B adalah hasil kali Boolean dari matriks yang merepresentasikan A dan B. Secara analog, kita dapat menemukan matriks yang merepresentasikan kuasa dari relasi: M R n = M R [n] (kuasa Boolean ke-n).

22 22 Contoh Cari matriks yang merepresentasikan R 2, dengan matriks yang merepresentasikan R sbb Solusi: Matriks untuk R 2 diberikan oleh

23 23 Digraf Definisi: Graf berarah (atau digraf) memuat himpunan titik (atau vertex) V dan himpunan E yang terdiri dari pasangan terurut dari anggota-anggota V yang disebut sisi (atau arc). Vertex a disebut vertex awal dari sisi (a,b), dan vertex b disebut vertex akhir dari sisi ini. Kita dapat menggunakan panah untuk mengilustrasikan digraf.

24 24 Representasi Relasi dengan Digraf Contoh: Ilustrasikan digraph dengan V = {a, b, c, d}, E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}.a b cd Sisi dalam bentuk (b, b) disebut loop.

25 25 Korespondensi satu-satu antara Relasi dan Digraf Jelas kita dapat merepresentasikan setiap relasi R pada himpunan A dengan menggunakan digraf di mana anggota A adalah vertex dan pasangan (a, b)  R sisi. Sebaliknya, setiap digraf dengan vertex V dan sisi E dapat direpresentasikan oleh relasi pada V yang memuat setiap pasangan di E. Korespondesi satu-satu antara relasi dan digraf berarti bahwa setiap pernyataan yang berlaku untuk relasi juga berlaku untuk digraf, dan sebaliknya.


Download ppt "Relasi. 2 Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google